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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.2.5斜边直角边第12章全等三角形华东师大版八年级上册12.2.5斜边直角边（HL）练习题本次练习题紧扣华东师大版八年级上册12.2.5斜边直角边（HL）核心知识点，是专门适用于直角三角形的专属全等判定定理，区别于SAS、ASA、AAS、SSS通用判定方法，是直角三角形证明全等的最简核心依据。本节重点考查HL定理的专属适用条件、斜边与直角边的对应识别、普通三角形与直角三角形判定区分、隐含直角条件运用、规范几何证明，针对性解决乱用HL定理、混淆边角对应、遗漏直角前提、与普通判定定理混用等高频易错问题。习题分层递进、题型贴合课本考点，适配课后巩固与随堂检测，所有题目均配有标准详细解析，帮助学生精准掌握直角三角形全等判定技巧，完善全等判定知识体系。一、基础填空题（每空3分，共30分）1. ________三角形中，斜边和一条________对应相等的两个直角三角形全等，简写成________。2. HL定理是________三角形独有的全等判定方法，不适用于普通三角形。3.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，若用HL判定全等，需补充条件________。4.直角三角形全等判定中，已知一条直角边和斜边相等，________（填“能”或“不能”）判定全等。5.在几何图形中，垂直条件可直接推出________，作为HL定理的隐含判定前提。6.运用HL定理证明全等时，无需用到________条件，是直角三角形专属简便判定方法。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列判定方法只适用于直角三角形的是（）A. SAS B. ASA C. SSS D. HL2.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠A=∠D=90°，斜边BC=EF，直角边AB=DE，判定全等的依据是（）A. HL B. SAS C. ASA D. SSS3.下列说法正确的是（）A. HL定理可用于任意三角形B.两条直角边相等即可用HL判定全等C.斜边和一条直角边相等可判定Rt△全等D. HL判定需要角度辅助条件4.不能用HL判定两个直角三角形全等的条件是（）A.斜边、一条直角边对应相等B.两直角边对应相等C.斜边、锐角对应相等D.以上都不对5.直角三角形全等判定中，HL定理规避了普通三角形哪种易错情况（）A. SSA B. SAS C. ASA D. SSS三、基础解答题（每题10分，共30分）1.判断下列条件能否用HL判定直角三角形全等，并说明理由。（1）斜边和一条直角边对应相等；（2）两条锐角对应相等。2.已知：∠C=∠D=90°，AC=AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ABD（用HL证明）。3.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，求证：可用HL判定相关直角三角形全等（简述条件）。四、拓展证明题（20分）已知：AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，求证：Rt△ABC≌Rt△BAD（用HL证明）。参考答案与详细解析一、填空题1.直角；直角边；HL（斜边直角边）解析：HL定理标准定义，是直角三角形专属全等判定依据，条件固定唯一。2.直角解析：五大全等判定中，仅HL为直角三角形独有，其余四种适用于任意三角形。3. $$AC=DF$$（或$$BC=EF$$）解析：已知斜边相等，补充任意一组对应直角边相等，满足HL完整判定条件。4.能解析：符合HL定理核心条件，可直接判定两个直角三角形全等。5.直角（90°角）解析：垂直的定义即为夹角90°，是HL判定必备的隐含前提条件。6.角度解析：HL仅需斜边、直角边两组边条件，无需任何角度即可判定全等。二、选择题1. D解析：HL为直角三角形专属判定定理，其余判定方法通用所有三角形。2. A解析：直角三角形中，斜边与一条直角边对应相等，严格符合HL判定定理。3. C解析：HL仅适用于直角三角形，只需斜边+一条直角边，无需角度，两直角边相等适用SAS。4. C解析：斜边、锐角相等为AAS判定条件，不满足HL边角结构要求。5. A解析：普通三角形SSA不能判定全等，直角三角形中HL完美规避SSA漏洞，可直接判定全等。三、解答题1.解析：（1）能，符合HL定理核心条件，直角三角形斜边与一条直角边对应相等，可判定全等；（2）不能，仅有锐角相等，只能证明三角形相似，无边的条件，无法判定全等。2.解析：$$\because\angle C=\angle D=90^\circ$$，∴△ABC、△ABD为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△ABD中，$$\begin{cases}AB=AB（公共斜边）\\AC=AD\end{cases}$$，$$\therefore\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle ABD$$（HL）。3.解析：在垂直结构中，若满足斜边相等、一组直角边相等，即可用HL判定直角三角形全等，核心前提为三角形是直角三角形，找准对应斜边与直角边即可。四、拓展证明题证明：$$\because AC\perp BC，AD\perp BD$$，$$\therefore\angle C=\angle D=90^\circ$$，△ABC、△BAD均为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△BAD中，$$\begin{cases}AB=BA（公共斜边）\\AC=BD（已知）\end{cases}$$，$$\therefore\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle BAD$$（HL）。条件完整，推理严谨，符合HL判定规范。核心易错总结：本节高频易错点为非直角三角形乱用HL、混淆直角边与斜边、遗漏直角前提、HL与AAS/SAS混用；牢记HL铁律：只用于直角三角形，只需斜边+一条直角边；解题优先判定是否为直角三角形，找准公共斜边、对应直角边，严格区分五大全等判定的适用范围，杜绝定理错用、条件缺失，规范书写证明步骤。1. 全等三角形的对应边 　 ，对应角 　 ．
相等
相等
2. 判定三角形全等的方法有：
SAS ，ASA ，
AAS ，SSS .
再忆直角三角形
Rt△ABC
直角边
斜边
A
B
C
直角边
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住，无法测量．
(1) 你能帮他想个办法吗？
根据“SAS”可测量其余两边与这两边的夹角.
根据“ASA”，“AAS”可测量对应一边和一锐角.
利用“HL”判定直角三角形全等
1
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定
“两个直角三角形是全等的”.
你相信这个结论吗？
(2) 如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗 　
下面，让我们来验证这个结论.
斜边和一条直角边对应相等 → 两个直角三角形全等
如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.
2 cm
3 cm
步骤：
1. 画一条线段 AB，使它等于 2 cm；
2. 画∠MAB = 90°(用量角器或三角尺)；
3. 以点 B 为圆心、3 cm 长为半径画圆弧，交射线 AM 于 C；
△ABC 即为所求.
4. 连结 BC.
M
A
B
C
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？
画一画
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简写成“斜边、直角边”或“HL ”).
几何语言：
A
B
C
A′
B′
C′
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL ).
∵AB = A′B′，
BC = B′C′，
“SSA ”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
知识要点
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，
求证：BC = AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
∵AB = BA，
AC = BD .
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
A
B
D
C
应用“HL ”的前提条件是在直角三角形中
这是应用“HL”判定方法的书写格式
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路
典例精析
练一练
变式1 如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
A
B
D
C
AD ＝ BC
∠DAB ＝∠CBA
BD ＝ AC
∠DBA ＝∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
如图，AC、BD 交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC.
求证：BD = AC.
变式2
HL
BD ＝ AC
Rt△ABD ≌ Rt△BAC
如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系.
变式3
HL
∠ADB ＝ ∠CBD
Rt△ABD ≌ Rt△CDB
AD∥BC
证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，
∴∠D＝∠F＝90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，
AC＝AE，
AD＝AF，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF.
在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，
例2 如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE.
AB＝AB，
AD＝AF，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴ BD＝BF.
∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
“斜边直角边”
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可
（两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等）
1．尺规作图：如图，分别以线段a，c的长为一直角边和斜边的长，作直角三角形．(保留作图痕迹，不写作法)
1星题 夯实四基
解：如图，△ABC即为所求．
2．如图，BD⊥AB，BD⊥CD，添加下列条件后能用“HL”判定△ABD≌△CDB的是(　　)
A．AD＝CB B．AB＝CD
C．∠A＝∠C D．AD∥BC
A
3．[山西运城期中]如图，一架梯子AB斜靠在竖直的墙CE上，梯子底部B到点C的距离为1 m．若梯子底部B沿水平方向向右滑动至点D，梯子顶部A落在竖直墙体的点E处，此时梯子与水平地面的夹角∠EDC＝32°，点E到点C的距离为1 m，则∠AOE的度数为__________．
26°
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E.求证：点E在∠ABC的平分线上．
证明：连结BE，∵ED⊥BC，∴∠BDE＝∠A＝90°.
在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵
∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)．∴∠ABE＝∠DBE.
∴点E在∠ABC的平分线上．
5．[江苏徐州期中]下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是(　　)
A．两个锐角对应相等
B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和斜边对应相等
A
6. 过程性学习【新趋势·】如图，在△ABC中，AD⊥BC，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD.
求证：BD＝AD.
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△BFD和△ACD中，
∴△BFD≌△ACD.∴BD＝AD.
解：不正确，理由：边边角无法证明三角形全等．
正确的证明过程如下：
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△BFD和Rt△ACD中，∵BF＝AC，FD＝CD，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)，∴BD＝AD.
上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明理由，并写出正确的证明过程．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点D，BC＝BD.如果AC＝3 cm，那么AE＋DE＝(　　)
A．2 cm B．4 cm
C．3 cm D．5 cm
C
2星题 提升四能
8.(分类讨论思想)如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝____________时，△ABC与△APQ全等．
5或10
9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.求证：△ABE≌△CDF.
证明：在Rt△ADC和Rt△CBA中，∵
∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL)，∴DC＝BA.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)．
10. (推理能力)在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
(1)若B，C在DE的同侧(如图①所示)，且AD＝CE.求证：AB⊥AC；
3星题 发展素养
证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中，∵
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)．∴∠DBA＝∠EAC.
易知∠DAB＋∠DBA＝90°，∴∠DAB＋∠EAC＝90°.
∴∠BAC＝180°－(∠DAB＋∠EAC)＝90°.
∴AB⊥AC.
(2)若B，C在DE的两侧(如图②所示)，且AD＝CE，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
解：AB⊥AC.证明如下：
同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE，∴∠DAB＝∠ECA.
易知∠CAE＋∠ECA＝90°，∴∠CAE＋∠DAB＝90°，
即∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.

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