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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.3.1等腰三角形的性质第12章全等三角形华东师大版八年级上册12.3.1等腰三角形的性质练习题本次练习题紧扣华东师大版八年级上册12.3.1等腰三角形的性质核心知识点，是三角形特殊性质学习的重点内容，承接全等三角形的判定与证明基础，是后续等边三角形、轴对称几何学习的关键铺垫。本节重点考查等腰三角形的定义、等边对等角性质、三线合一核心性质、角度计算、分类讨论求值、性质几何证明等考点，针对性解决顶角底角混淆、忽略分类讨论、误用三线合一、角度计算出错、证明条件缺失等高频易错问题。习题分层递进、题型贴合课本考点，适配课后巩固与随堂检测，所有题目均配有标准详细解析，帮助学生熟练掌握等腰三角形的核心性质与规范解题思路。一、基础填空题（每空3分，共30分）1.有________条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。2.等腰三角形的两底角相等，这一性质简称为________。3.等腰三角形的顶角平分线、________、________互相重合，简称“三线合一”。4.若等腰三角形的一个顶角为80°，则它的底角度数为________。5.等腰三角形的一个内角为90°，则另外两个内角的度数均为________。6.等腰三角形是________图形，对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的对称轴条数为（）A. 1条B. 2条C. 3条D.无数条2.已知等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为（）A. 50°B. 60°C. 80°D. 100°3.下列关于等腰三角形“三线合一”的说法正确的是（）A.任意角平分线、中线、高重合B.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合C.底角平分线、任意中线、高重合D.三条角平分线互相重合4.等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为（）A. 100°B. 80°C. 40°D. 50°5.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°，则该三角形的顶角为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°三、基础解答题（每题10分，共30分）1.已知等腰三角形顶角为70°，求它的两个底角的度数。2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：AD平分∠BAC。3.已知等腰三角形一个内角为70°，求其余两个内角的度数。四、拓展应用题（20分）已知：在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=CD，求证：AD⊥BC。参考答案与详细解析一、填空题1.两解析：等腰三角形基础定义，两条边相等的三角形为等腰三角形。2.等边对等角解析：等腰三角形核心角度性质，等边对等角是角度计算的核心依据。3.底边上的中线；底边上的高解析：三线合一专属性质，仅限顶角平分线、底边上的中线和高。4. 50°解析：三角形内角和180°，底角=(180° 80°)÷2=50°。5. 45°解析：90°角只能是顶角，两底角相等，均为(180° 90°)÷2=45°。6.轴对称解析：等腰三角形沿对称轴折叠可完全重合，属于轴对称图形。二、选择题1. A解析：普通等腰三角形仅有1条对称轴，等边三角形有3条。2. C解析：顶角=180° 2×50°=80°，依据等边对等角和内角和定理计算。3. B解析：三线合一有严格范围，仅针对顶角和底边，不适用于底角和腰。4. C解析：100°为钝角，只能是顶角，底角=(180° 100°)÷2=40°。5. B解析：根据等腰三角形性质，腰上的高与底边夹角等于顶角的一半，故顶角为60°。三、解答题1.解析：∵AB=AC，∴两底角相等。底角=(180° 70°)÷2=55°，其余两个角均为55°。2.解析：∵AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质，底边上的高也是顶角平分线，∴AD平分∠BAC。3.解析：分两种情况：①70°为顶角，底角均为55°；②70°为底角，另一底角70°，顶角40°。综上，其余两角为55°、55°或70°、40°。四、拓展应用题证明：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形。又∵BD=CD，即AD为底边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”性质，底边上的中线也是底边上的高，∴AD⊥BC。推理严谨，性质运用规范，步骤完整。核心易错总结：本节高频易错点为角度计算不分类讨论、三线合一乱用范围、混淆腰与底、误将钝角当作底角；牢记核心规则：等腰三角形两底角必为锐角，钝角只能是顶角；三线合一仅限“顶角、底边”对应线段；遇未知内角必须分顶角、底角两种情况讨论，杜绝漏解，规范运用性质解题。这些图形有什么共同点？它们属于哪种三角形？
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
等腰三角形的定义与性质
1
如图，AB＝AC，
△ABC 是等腰三角形.
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰 AB、AC 重叠在一起，折痕为 AD. 你能发现什么现象吗？
D
A
B
C
做一做
1.等腰三角形是轴对称图形.
我们可以得出结论：
A
C
B
D
折痕 AD 所在直线是等腰三角形的对称轴.
你还有新的发现吗？
∠B，∠C 是等腰三角形的 .
底角
所以我们可以描述为:
等腰三角形的两个底角相等.
2. ∠B ＝∠C
探究归纳
等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
已知：如图，△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C .
分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线 AD，然后证明△ABD ≌ △ACD.
证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD.
在△ABD 与△ACD 中，
∵AB＝AC，∠1＝∠2， AD＝AD，
∴ △ABD≌△ACD（SAS），
∴ ∠B＝∠C.
A
B
C
D
(
(
1
2
知识要点
例1 已知：在△ABC 中，AB = AC，∠B = 80°，
求∠C 和∠A 的大小.
解：
典例精析
想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么
重合的线段 重合的角
　
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B＝∠C
∠BAD＝∠CAD
∠ADB＝∠ADC＝90°
性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”.
例2 在△ABC 中 ，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，∠B = 30°. 求：（1）∠ADC 的大小；（2）∠1 的大小.
A
D
C
1
2
B
(2)∵∠1 +∠B +∠ADB = 180° ，∠B = 30° ，
∴∠1 = 180° - ∠B - ∠ADB
= 180° - 30° - 90° = 60°.
∴AD⊥BC.
∴∠ADC =∠ADB = 90°.
解：(1) ∵AB = AC，BD = DC，
典例精析
如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段 AB 的垂直平分线 PQ，现在你能证明所得的直线 PQ 确实是已知线段 AB 的垂直平分线吗？
P
Q
A
B
O
思考
在△APQ 和∠BPQ 中，
∵AP = BP，AQ = BQ，PQ = PQ，
∴△APQ≌△BPQ(SSS).
∴∠APQ =∠BPQ(全等三角形的对应角相等).
又∵AP = BP，
∴ AO = BO 且 PQ⊥AB (等腰三角形的三线合一).
因此直线 PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线.
例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线.
证明：如图，设 AB 与 PQ 相交于点 O，连结 PA、PB、QA、QB.
P
Q
A
B
O
思考
如图所示，我们还曾利用尺规作图过点 C 作出已知直线 AB 的垂线 CP. 当点 C 在直线 AB 上时，垂线 CP 即是平角 ACB 的平分线，所在的直线，那么当点 C 在直线 AB 外时，你能证明所作的直线 CP 确实是直线 AB 的垂线吗？
A
B
C
M
N
P
A
B
C
P
点 C 在直线 AB 上
点 C 在直线 AB 外
A
B
C
M
N
P
A
B
C
P
点 C 在直线 AB 上
点 C 在直线 AB 外
相当于作线段 MN 的垂直平分线
就可以证明过点 C 所作的直线 CP
确实是已知直线 AB 的垂线
类似
类似垂直平分线的证明
试写出整个证明过程.
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C，
同理可得 ∠A＝∠B
所以 ∠A＝∠B＝∠C，
又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，
从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
C
B
等边三角形的性质
2
也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60°.
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
三条对称轴
A
C
B
A
B
C
D
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数.
分析：(1) 找出图中所有的相等角；
(2) 图中有哪些等腰三角形；
∠A =∠ABD，
∠C =∠BDC =∠ABC.
△ABC，
△ABD，
△BCD.
典例精析
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
(3) 观察∠BDC 与∠A、∠ABD 的关系，∠ABC、∠C 呢
∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD，
∠ABC =∠BDC = 2∠A，
∠C =∠BDC = 2∠A.
(4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x
的式子表示出来.
∵∠A +∠ABC +∠C = 180°，
∴ x + 2x + 2x = 180°.
解：∵AB = AC，BD = BC = AD，
∴∠ABC = ∠C = ∠BDC，∠A = ∠ABD.
设∠A = x，则∠BDC =∠A + ∠ABD = 2x，
从而∠ABC = ∠C = ∠BDC = 2x.
于是在△ABC 中，有
∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°.
在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x.
方法总结
1．图①是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成等腰三角形ABC(如图②)，若AB＝AC，∠B＝35°，则∠C的度数为(　　)
A．70° B．45°
C．35° D．110°
1星题 夯实四基
C
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以C为圆心，CB的长为半径作弧，交AB于点D，连结CD，则∠BDC的度数为________．
75°
3．如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线．求证：AD∥BC.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵∠EAC＝∠B＋∠C，∴∠EAC＝2∠B.
∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD.
∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC.
4．[知识初练]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，若BD＝2，则BC＝________；若∠BAC＝100°，则∠BAD＝________．
4
50°　
5．如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中AB＝AC，中柱AD(D为底边中点)，且顶角∠BAC＝110°，则∠DAB的度数为________．
55°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，则下列结论中不一定正确的是(　　)
A．BD＝CD
B．AD⊥BC
C．∠B＝∠C
D．AB＝2BD
D
7. 如图①是利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线CD，为了探究线段垂直平分线的作法，点点尝试改变作弧半径，按图②的步骤作图．
①分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为
半径作弧，两弧在AB的上方相交于P；
②分别以点A，B为圆心，改变半径的大小，仍保证大于 AB的长为半径作弧，两弧在AB的下方相交于Q；
③作直线PQ.
PQ就是所求作的直线．
按上述步骤作出的直线PQ是否是线段AB的垂直平分线，请说明理由．
解：是．理由如下：如图，连结PA，PB，QA，QB，AB与PQ的交点记为O.
由作图可得：PA＝PB，QA＝QB，
在△PAQ和△PBQ中，PA＝PB，QA＝QB，PQ＝PQ，
∴△PAQ≌△PBQ.∴∠APQ＝∠BPQ.
又∵PA＝PB，∴AO＝BO且PQ⊥AB，
∴直线PQ是线段AB的垂直平分线．
8．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则∠E＝________，BE＝________．
30°
9
9. 【新题型】如图，△ABC，△ADE及△EFG都是等边三角形，D，G分别为AC，AE的中点，AB＝4，则多边形ABCDEFG外围的周长是(　　)
A．12 B．14 C．15 D．16
C
2星题 提升四能
10．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AB，BD＝AB，则∠ADC的度数为________．
30°
11.(数学文化)“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图①的三等分角仪可以三等分角．图②是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB，可以绕点P转动，点C固定，点D，E在槽中可以滑动，且CE＝DE＝CP.若∠DEB＝87°，则∠APB的度数为________°.
29
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，延长BC至点E，连结AE，使得∠DAE＝∠BAC，延长AD至点F，使得AF＝AE，连结BF.
(1)求证：△ABF≌△ACE；
证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，
即∠BAF＝∠CAE.
在△ABF与△ACE中，
∴△ABF≌△ACE.
(2)若AD⊥BC，BF＝17，BC＝16，求DE的长．
解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝ BC＝8.
∵△ABF≌△ACE，BF＝17，
∴CE＝BF＝17，
∴DE＝CE＋CD＝17＋8＝25.
即时练透/等腰三角形边角的性质/
【思路点拨】(1)等腰三角形中有两边相等，计算时注意满足三角形的三边关系；
(2)等腰三角形中有两个角相等，计算时注意满足三角形内角和定理．
1. 【思维生长】已知等腰三角形ABC的一边等于5，另一边等于6，则这个三角形的周长为__________．
向“非负性”生长：若等腰三角形其中两边长a，b满足(a－2)2＋|b－4|＝0，则此三角形的周长为__________．
16或17
10
2．若等腰三角形的一个角的度数是50°，则它的顶角的度数是____________．
50°或80°
3. 【思维生长】等腰三角形ABC中，CD是腰AB上的高线，若∠A＝50°，则∠DCB＝____________．
向“分类讨论高的位置”生长：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为____________．
25°或10°
60°或120°
向“分类讨论垂直平分线的位置”生长：等腰三角形ABC中，腰AB的垂直平分线交AC所在直线于点D，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为____________．
60°或30°
等腰三角形的性质
等边对等角
等边三角形
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质.
三线合一
有三条对称轴，每个内角等于 60°.

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