资源简介

(共30张PPT)
华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.3.2等腰三角形的判定第12章全等三角形华东师大版八年级上册12.3.2等腰三角形的判定练习题本次练习题紧扣华东师大版八年级上册12.3.2等腰三角形的判定核心知识点，是上一节“等腰三角形性质”的逆用内容，构成“性质—判定”完整几何推理体系。本节核心掌握“等角对等边”判定定理，区分“等边对等角”性质与“等角对等边”判定的互逆关系，重点考查三角形等腰判定、角度推边相等、结合平行线、对顶角、角平分线综合判定、分类讨论解题、规范几何证明等题型。针对性解决性质与判定混淆、推理条件颠倒、不会利用角度推导边长、证明步骤逻辑混乱等高频易错问题。习题分层递进、贴合课本考点，适配课后巩固与随堂检测，解析详实规范，帮助学生熟练掌握等腰三角形判定思路与书写格式。一、基础填空题（每空3分，共30分）1.在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为________。2.等腰三角形的判定定理与性质定理互为________定理。3.在△ABC中，若∠A=∠B，则________=________，可判定△ABC为等腰三角形。4.有两个角相等的三角形一定是________三角形。5.若三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，则该三角形是________三角形。6.在△ABC中，∠C=50°，∠B=50°，则可判定________=________。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列条件能判定三角形为等腰三角形的是（）A.有一个角为30°B.有两个角相等C.有两条边平行D.有一个角为90°2.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.下列说法正确的是（）A.等边对等角是判定定理B.等角对等边是判定定理C.两角互补可证等腰D.任意三角形都可判定等腰4.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，则可判定（）A.△ABC为等腰三角形B.△ABD为等腰三角形C.△BCD为等腰三角形D.无等腰三角形5.三角形三个内角度数比为2:2:5，该三角形为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.无法判断三、基础解答题（每题10分，共30分）1.在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC的形状，并说明理由。2.已知：在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，∠BAD=∠CAD，求证：BD=CD。3.辨析填空：“等边对等角”是________，“等角对等边”是________（填性质或判定）。四、拓展证明题（20分）已知：AD平分∠BAC，AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形。参考答案与详细解析一、填空题1.等角对等边解析：等腰三角形唯一核心判定定理，由角度相等推导出边长相等。2.互逆解析：性质是由边等推角等，判定是由角等推边等，二者互为逆定理。3. BC；AC解析：∠A、∠B对应对边分别为BC、AC，等角对等边，两角相等则对边相等。4.等腰解析：两角相等直接满足等腰三角形判定条件。5.等腰解析：利用平行线性质与角平分线可推导底角相等，进而判定等腰。6. AB；AC解析：∠B=∠C，根据等角对等边，可得对应边AB=AC。二、选择题1. B解析：有两个内角相等，可直接用等角对等边判定等腰三角形。2. B解析：∠C=180° 40° 70°=70°，∠B=∠C，两角相等，三角形为等腰三角形。3. B解析：等边对等角是性质，等角对等边是判定，二者不可混淆。4. B解析：由平行得内错角相等，角平分线得角度等量代换，可推出△ABD两角相等，为等腰三角形。5. A解析：角度比2:2:5，存在两个角度数相等，满足等腰三角形判定条件。三、解答题1.解析：△ABC为等腰三角形。理由：∠C=180° 50° 65°=65°，∴∠B=∠C，根据等角对等边，AB=AC，三角形为等腰三角形。2.解析：∵AB=AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一性质，顶角平分线也是底边上的中线，∴BD=CD。3.解析：等边对等角（性质）；等角对等边（判定）。性质是已知边相等得角相等，判定是已知角相等得边相等。四、拓展证明题证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。∵AD∥BC，∴∠BAD=∠B，∠CAD=∠C。∴∠B=∠C。根据等角对等边，可得AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。本题综合平行线、角平分线完成角度转化，是等腰三角形判定经典题型。核心易错总结：本节最大易错点为性质与判定混淆、推理因果颠倒、不会角度转化证等腰；牢记口诀：边等推角等是性质，角等推边等是判定；所有等腰判定核心落脚点都是“证两角相等”，常结合平行线、角平分线、对顶角、外角进行角度代换，推理必须因果对应，杜绝逻辑倒置、步骤缺失。 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
AB = AC
你能验证你的结论吗？
等腰三角形的判定
1
在△BAD 与△CAD 中，
∠1 =∠2，
∴△BAD≌△CAD(AAS).
∵∠B =∠C，
AD = AD，
∴AB = AC (全等三角形的对应边相等).
如图，作∠BAC 的平分线 AD.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC 是等腰三角形.
∴ AC = AB ( )，
即△ABC 为等腰三角形.
∵∠B =∠C ( )，
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等，那么这个两个角所对应的边也相等（简写成“等角对等边”）.
已知
等角对等边
在△ABC 中，
应用格式：
B
C
A
(
(
等角对等边
等边对等角
知识要点
例1 如图，在△ABC 中，已知∠A = 40°，∠B = 70°.求证：AB = AC.
A
B
C
证明 ∵∠A + ∠B + ∠C = 180°
(三角形的内角和等于180°)，
∠A = 40°，∠B = 70°，
∴∠C = 180° -∠A -∠B，
= 180° - 40° - 70° = 70°.
∴∠C =∠B.
∴ AB = AC(等角对等边).
典例精析
40°
70°
证明：∵ AB∥CD (已知)，
∴∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等).
又∵∠1 =∠2，
∴∠B =∠1 (等量代换).
∴AB = AC (等角对等边).
例2 如图，AB∥CD，∠1 =∠2，求证：AB = AC.
A
B
C
（
（
1
2
D
分析 要证 AB = AC，可以设法证明∠B =∠1，而∠1 =∠2，因此只要证明∠B =∠2.
一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1. 三个角都相等的三角形是等边三角形；
2. 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些定理吗？
等边三角形的判定
2
A
B
C
已知：如图，∠A =∠B =∠C.
求证： AB = AC = BC.
证明：∵ ∠A =∠B，
∴ AC = BC.
∵ ∠B =∠C，
∴ AB = AC.
∴ AB = AC = BC.
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定2：有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形.
证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.
由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.
若顶角 ∠A = 60°，
则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.
又 AB = AC，
∴∠B =∠C.
∴∠B =∠C =∠A = 60°.
∴△ABC 是等边三角形.
如果是底角∠B = 60°
(或∠C = 60°) 呢？
例3 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED .
∴△ADE 是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
典例精析
变式 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 AD = AE，△ADE 还是等边三角形吗？试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ ∠A + ∠ADE +∠AED = 180°，AD = AE，
∴ ∠ADE +∠AED = 120°.
∴ ∠ADE = ∠AED = 60°.
∴ △ADE 是等边三角形.
例4 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
求证：AB = AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)，
∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C.
∴ AB = AC (等角对等边)．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
例5 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，
∠ACB =∠A'C'B' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'，
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明：由于直角边
AC = A'C'，我们移动 Rt△ABC 使点 A 与点 A' 重合，点 C 和点 C' 重合，且使点 B 和点 B' 分别位于 A'C' 两侧.
A
C
B
B'
A'
C'
B
(A)
(C)
∵ ∠A'C'B =∠A'C'B' = 90° (已知)，
∴ ∠B'C'B =∠A'C'B +∠A'C'B' = 180°.
即点 B、C'、B' 在同一条直线上.
在△A'B'B 中，∵AB = A'B' = A'B (已知)，
∴ ∠B =∠B' (等边对等角).
在△ABC 和△A'B'C' 中，
∵∠B =∠B' (已证)，
∠ACB =∠ A'C'B' (已知)，
AC = A'C' (已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(AAS).
B'
A'
A
C
B
C'
B
(A)
(C)
这样我们就证明了前面给出的 HL .判定定理
1．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC＝∠ACB，AB＝10 cm，则AC的长为(　　)
A．9 cm B．10 cm
C．11 cm D．12 cm
1星题 夯实四基
B
2．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠B＝40°，∠C＝80°
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C．2∠A＝∠B＋∠C
D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶1
D
3．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有________个．
3
4．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF.
求证：△GEC是等腰三角形．
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE. ∴∠ACB＝∠DEF，
∴EG＝CG，∴△GEC是等腰三角形．
【思维模型】三角形的关系
∠A＝60°(答案不唯一)
5．如图是我们作圆(或作弧)时使用的圆规，已知圆规两脚OA＝OB＝8 cm.作圆或作弧时要调整圆规两脚张开的角度，若圆规两脚张开的角度为60°，则A，B两点间的距离为________cm.
8
6．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DF⊥BC于点F，延长FD，CA交于点E.若∠E＝30°，AD＝AE.求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AD＝AE，∠E＝30°，∴∠E＝∠ADE＝30°，
∴∠CAB＝∠E＋∠ADE＝30°＋30°＝60°.
∵DF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∴∠C＝90°－∠E＝60°，
∴∠B＝180°－∠C－∠CAB＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠C＝∠B＝∠CAB，∴△ABC为等边三角形．
7．如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F在△ABC的内部，点D在AE上，点E在BF上，点F在CD上，且∠BAE∶∠CBF∶∠ACD＝1∶2∶3，则△DEF的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2星题 提升四能
A
8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC＝∠ACD＝2∠B，若AB＝27，△ADC的周长为43，则CD＝________．
11
9.(原创题)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°.求证：△ABE是等边三角形．
证明：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形，∴∠BDC＝60°，DB＝DC.
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC，
∴∠ADB＝∠ADC＝ (360°－∠BDC)＝150°.
∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC.
在△ABD和△EBC中，
∴△ABD≌△EBC，∴AB＝EB.
又∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等边三角形．
(一题练透)在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.
(1)【识别等腰】如图①，若AB＝AC，图中有_____个等腰三角形，且EF与BE，CF间的数量关系是____________．
5
EF＝BE＋CF＝2BE＝2CF
即时练透/角平分线+平行线→等腰三角形/
(2)【探索建模】如图②，若AB≠AC，其他条件不变，(1)问中EF与BE，CF间的数量关系还成立吗？请说明理由．
解：EF与BE，CF间的数量关系EF＝BE＋CF成立，
EF＝2BE＝2CF不成立．
理由如下：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO.
∵EF∥BC，∴∠BOE＝∠CBO，∠COF＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF，
∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF.
∵AB≠AC，∴易知OE≠OF，∴EF≠2BE≠2CF.
(3)【模型应用】在(2)的条件下，若AB＝10，AC＝15，则△AEF的周长为________．
(4)【变式探究】如图③，在△ABC中，若AB≠AC，∠ABC的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F，则EF与BE，CF间的数量关系为_______________．
25
EF＝BE－CF
等腰三角形
等腰三角形的判定：等角对等边.
等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.

展开更多......

收起↑