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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.4.2线段垂直平分线第12章全等三角形华东师大版八年级上册12.4.2线段垂直平分线练习题本次练习题紧扣华东师大版八年级上册12.4.2线段垂直平分线核心知识点，承接互逆命题、互逆定理的逻辑基础，是几何线段关系、对称图形推理的核心内容。本节重点考查线段垂直平分线的定义、性质定理、判定定理、性质与判定的互逆关系、利用垂直平分线求线段长度、角度计算及规范几何证明，针对性解决性质判定混用、不会利用垂直平分线转化线段、遗漏垂直平分线上点的特征、证明步骤不规范等高频易错问题。习题分层递进、题型贴合课本考点，适配课后巩固与随堂检测，解析详实规范，帮助学生掌握线段垂直平分线的解题逻辑与书写规范。一、基础填空题（每空3分，共30分）1.垂直并且平分一条线段的直线，叫做线段的________。2.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的________相等，这是线段垂直平分线的性质定理。3.到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上，这是线段垂直平分线的判定定理。4.线段垂直平分线的性质定理与判定定理互为________定理。5.若点P在线段AB的垂直平分线上，且PA=6，则PB=________。6.线段的垂直平分线是这条线段的________对称轴，线段共有________条对称轴。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.如图，点P在线段AB的垂直平分线上，则一定成立的是（）A. PA=PB B. PA⊥PB C. PA=AB D. PB=AB2.若PA=PB，则点P一定在（）A.线段AB上B.线段AB的垂直平分线上C.直线AB的上方D.直线AB的下方3.下列说法正确的是（）A.垂直于线段的直线是垂直平分线B.平分线段的直线是垂直平分线C.垂直且平分线段的直线才是垂直平分线D.线段的垂直平分线是线段4.已知△ABC中，AB=AC，点P在BC的垂直平分线上，则PA、PB、PC的关系是（）A. PB=PC B. PA=PB C. PA=PC D. PA=PB=PC5.线段垂直平分线的性质与判定的关系是（）A.互逆命题B.互逆定理C.无关命题D.等价定理三、基础解答题（每题10分，共30分）1.简述线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并说明二者关系。2.已知：直线l是线段AB的垂直平分线，点P在直线l上，若AB=8，PA=5，求PB的长度。3.已知：PA=PB，QA=QB，求证：直线PQ垂直平分线段AB。四、拓展证明题（20分）已知：在△ABC中，AB=AC，边BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，求证：EB=EC。参考答案与详细解析一、填空题1.垂直平分线解析：线段垂直平分线的基础定义，需同时满足垂直、平分两个条件。2.距离解析：性质定理核心，垂直平分线上任意一点，到线段两端点距离相等。3.垂直平分线解析：判定定理核心，距离相等的点，在对应线段的垂直平分线上。4.互逆解析：性质由“在垂直平分线上”推“距离相等”，判定由“距离相等”推“在垂直平分线上”，互为互逆定理。5. 6解析：依据垂直平分线性质定理，PA=PB=6。6.一条；两解析：线段垂直平分线是一条对称轴，线段自身所在直线为另一条对称轴，共两条。二、选择题1. A解析：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，是核心性质。2. B解析：依据线段垂直平分线判定定理，到两端点距离相等的点在垂直平分线上。3. C解析：垂直平分线必须同时满足垂直、平分线段两个条件，缺一不可，且是直线不是线段。4. A解析：点P在BC垂直平分线上，直接可得PB=PC，无法直接推出PA与两边相等。5. B解析：性质和判定均为真命题，题设结论互换，属于互逆定理。三、解答题1.解析：性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；二者题设与结论互换，均为真命题，是一对互逆定理。2.解析：∵直线l是AB的垂直平分线，点P在l上，根据性质定理可得PB=PA=5，即PB长度为5。3.解析：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上，∵QA=QB，∴点Q在AB的垂直平分线上，两点确定一条直线，故直线PQ垂直平分线段AB。四、拓展证明题证明：∵DE是线段BC的垂直平分线，点E在DE上，根据线段垂直平分线的性质定理，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，∴EB=EC。推理简洁严谨，直接运用核心性质，步骤规范完整。核心易错总结：本节高频易错点为混淆性质与判定、忽略垂直平分线双重条件、误用单点判定直线垂直平分、漏记线段两条对称轴；牢记核心逻辑：点在线上→距离相等（性质），距离相等→点在线上（判定）；证明垂直平分线需两个点满足距离相等，不可仅凭单点判定，严格区分性质与判定的因果关系，避免逻辑倒置。 高 速 公 路
A
B
在某高速公路 l 的同侧，有两个工厂 A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么
生活中的数学
l
如图，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，P 是 MN 上任一点，连结 PA、PB. 将线段 AB 沿
直线 MN 对折，你发现了什么？如何
表达，并简述你的证明过程.
对折后 PA、PB 能够完全重合，PA = PB.
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
线段垂直平分线的性质定理
1
M
A
B
N
C
P
下面我们来证明刚才得到的结论：
证明： ∵MN ⊥AB（已知），
∴∠ACP =∠BCP = 90° (垂直的定义).
在△ACP 和△BCP 中，
∵ AC = BC，∠ACP =∠BCP，PC = PC，
∴ △ACP≌△BCP (SAS).
∴PA = PB (全等三角形的对应边相等).
你能用一句话来描述刚得到的结论吗？
M
N
P
A
C
B
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
几何语言叙述：
∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上
（或 PC⊥AB，AC = BC），
∴ PA = PB.
M
N
P
A
C
B
知识要点
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在线段的垂直平分线上
这个点到线段两端的距离相等
一个点到线段两端的距离相等
这个点在线段的垂直平分线上
想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定定理
2
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上．
分析：为了证明点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，可以先经过点 Q 作线段 AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段 AB；
也可以先平分线段 AB，设线段 AB 的中点为点 C，然后证明 QC 垂直于线段 AB．
证明：过点 Q 作 MN⊥AB，垂足为点 C，
∵ QA = QB，QC⊥AB，
∴ AC = BC (等腰三角形的三线合一).
∴ 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上．
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？
线段垂直平分线的判定
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
知识要点
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
怎样证明这个结论呢
试一试
点拨：要证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
O
l
n
m
l 是 AB 的垂直平分线
m 是 BC 的垂直平分线
OA = OB
OB = OC
OA = OC
点 O 在 AC的垂直平分线 n 上
证明：连接 PA，PB，PC.
∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，
∴ PA = PB，PA = PC
(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等).
∴ PB = PC.
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).
B
C
A
P
l
n
m
1. 【思维生长】如图①，PQ是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AP＝BP B．BQ＝AP
C．AB＝AP D．PQ＝BQ
1星题 夯实四基
A
向“实践应用”生长：如图②是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼D所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若AC＝3，则BC＝________．
3
2．[镇江中考]如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连结BD.若AC＝8，CD＝5，则BD＝________．
3
3. 【思维生长】如图①，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于G，BC＝6，AB＝7，则△BCG的周长是________．
向“逆向思维”生长：如图②，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连结AF，若△FAC的周长为16，△ABC的周长为22，
则AE的长为________．
13
3
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是________．
40°
5．如图，点D在线段BC上，DE垂直平分AB，垂足为点E，DF垂直平分AC，垂足为点F.求证：DB＝DC.
证明：连结AD.
∵DE垂直平分AB，∴DB＝DA.
∵DF垂直平分AC，∴DA＝DC，
∴DB＝DC.
6. 【新情境】某市为推进“体重管理年”三年行动，普及健康生活方式，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置与该市的三个城镇中心P，Q，R的距离相等(P，Q，R三点不共线)，则体育中心的位置应选在(　　)
A．△PQR三边的垂直平分线的交点处
B．△PQR的三条角平分线的交点处
C．△PQR的三条高线的交点处
D．△PQR的三条中线的交点处
A
7．如图，平面上的四边形ABCD是一个“风筝”形的骨架，其中AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°.求证：直线AC是线段BD的垂直平分线．
证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，∴CB＝CD，
又∵AB＝AD，∴A，C两点都在线段BD的垂直平分线上．
∴AC垂直平分BD，即直线AC是线段BD的垂直平分线．
8．[江苏南京期末]在△ABC中，ACD
2星题 提升四能
9．[江苏扬州模拟]如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点D，且AD＝CD，点P是直线a上一动点，连结PB，PC.若AB＝5，AC＝6，BC＝3，则△PBC周长的最小值是________．
8
10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为12.
(1)求BC的长；
解：∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC，
∴AD＝BD，AE＝CE.
∵△ADE的周长为12，∴AD＋DE＋AE＝12，
∴BD＋DE＋CE＝12，∴BC＝12.
10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为12.
(2)若∠ABC＝20°，∠ACB＝40°，则∠DAE的度数为________；
60°
(3)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．
解：点O在边BC的垂直平分线上，理由如下：
连结OA，OB，OC，如图．
∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC，
∴OB＝OA，OA＝OC，∴OB＝OC，
∴点O在边BC的垂直平分线上．
11.(几何直观)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在直线AC上，AF垂直平分线段DE交直线BE于点F，连结DF，CD.
(1)如图①，若点D在线段BA的延长线上，点E在线段AC上．求证：△ABE≌△ACD；
3星题 发展素养
证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝180°－∠BAC＝90°＝∠BAC.
∵AF垂直平分DE，∴AD＝AE.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD.
(2)如图②，当点D在线段BA的延长线上，点E在线段AC的延长线上时．
①请写出CD，DF，BF之间的数量关系并证明；
解：CD＋BF＝DF.
证明：∵AF垂直平分DE，∴FD＝FE，
同(1)可证明△ABE≌△ACD，∴BE＝CD.
∵EF＝BE＋BF，∴DF＝BE＋BF＝CD＋BF.
②若S△ADF＝2S△ABE，CD＝ ，则BF的长为________．
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上

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