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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.1直角三角形三边的关系第13章勾股定理华东师大版八年级上册13.1.1直角三角形三边的关系练习题本次练习题紧扣华东师大版八年级上册13.1.1直角三角形三边的关系核心知识点，即勾股定理内容，是直角三角形计算与应用的核心基础，承接三角形基础性质，是后续解直角三角形、几何求值、折叠与最短路径问题的重要铺垫。本节重点考查勾股定理的文字与公式表述、已知直角三角形两边求第三边、勾股定理简单变形计算、分类讨论求解边长、基础几何求值应用，针对性解决斜边直角边混淆、公式套用错误、遗漏分类讨论、边长计算失误等高频易错问题。习题分层递进、贴合课本考点，适配课后巩固与随堂检测，解析详实规范，帮助学生熟练掌握勾股定理的核心用法与规范解题步骤。一、基础填空题（每空3分，共30分）1.在直角三角形中，________的平方和等于________的平方，这就是勾股定理。2.若Rt△ABC中，∠C=90°，三边为a、b、c（c为斜边），则三边关系式为________。3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则c=________。4.直角三角形的两条直角边长为5、12，则斜边长为________。5.勾股定理只适用于________三角形，不适用于任意三角形。6.在Rt△ABC中，∠B=90°，斜边为AC，若AB=6，AC=10，则BC=________。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，下列三边关系正确的是（）A. $$a^2+b^2=c^2$$ B. $$a^2+c^2=b^2$$ C. $$b^2+c^2=a^2$$ D. $$a^2-b^2=c^2$$2.直角三角形两直角边为6、8，则斜边为（）A. 10 B. 12 C. 14 D. 163.已知直角三角形两边长为3、4，则第三边长为（）A. 5 B. $$\sqrt{7}$$ C. 5或$$\sqrt{7}$$ D. 74.在Rt△ABC中，斜边AB=13，一条直角边AC=5，则另一条直角边BC长为（）A. 8 B. 10 C. 12 D. 145.下列关于勾股定理的说法正确的是（）A.任意三角形三边都满足勾股定理B.直角三角形任意两边平方和等于第三边平方C.直角三角形两直角边平方和等于斜边平方D.钝角三角形满足勾股定理三、基础解答题（每题10分，共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=5，b=12，求斜边c的长度。2.在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=25，一条直角边a=7，求另一条直角边b的长。3.已知直角三角形两边长为6、8，求第三边的长度。四、拓展应用题（20分）已知：在△ABC中，∠C=90°，AB=20，AC=12，求BC的长，并求该直角三角形的周长。参考答案与详细解析一、填空题1.两直角边；斜边解析：勾股定理标准定义，明确直角边与斜边的平方关系，是定理核心。2. $$a^2+b^2=c^2$$解析：勾股定理标准公式，c为直角对应的斜边，a、b为两条直角边。3. 5解析：代入公式$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$，经典勾股数3、4、5。4. 13解析：$$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$$，常见勾股数5、12、13。5.直角解析：勾股定理是直角三角形专属性质，普通三角形、钝角、锐角三角形均不适用。6. 8解析：∠B为直角，AC为斜边，$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$$。二、选择题1. A解析：直角对斜边，两直角边平方和等于斜边平方，公式固定不变。2. A解析：$$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$，基础勾股数计算。3. C解析：分两种情况：①3、4均为直角边，第三边为5；②4为斜边、3为直角边，第三边为$$\sqrt{7}$$，需分类讨论。4. C解析：$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$$，逆向运用勾股定理。5. C解析：勾股定理专属直角三角形，仅限两直角边平方和等于斜边平方，其余说法均错误。三、解答题1.解析：∵∠C=90°，由勾股定理得$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$$，斜边c长为13。2.解析：由勾股定理变形得$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$$，直角边b长为24。3.解析：①当6、8均为直角边时，第三边（斜边）$$=\sqrt{6^2+8^2}=10$$；②当8为斜边，6为直角边时，第三边$$=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$$。综上，第三边长为10或$$2\sqrt{7}$$。四、拓展应用题解：在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理得：$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16$$。三角形周长$$=12+16+20=48$$。本题考查勾股定理逆向运算与三角形周长结合，基础综合性强，步骤规范简单。核心易错总结：本节高频易错点为混淆直角边与斜边、不分类讨论直接求值、勾股定理公式逆向套用错误、非直角三角形乱用定理；牢记核心规则：勾股定理仅适用于直角三角形，永远是「直角边平方和=斜边平方」；已知两边求第三边，无说明边长类型时必须分双情况讨论，杜绝漏解，熟练掌握公式正向、逆向变形计算。 国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议.2002 年在北京召开了第 24 届国际数学家大会.如图就是大会的会徽的图案.
它由哪些基本图形组成？
你见过这个图案吗？
小优去朋友家做客，看到她朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
观察右边地面的图形，猜想小优发现了什么？
A
B
C
直角三角形三边的关系
1
1. 观察正方形瓷砖铺成的地面，如果每一个小方格表示 1 cm2，那么可以得到：
(1) 正方形 P 的面积是 cm2；
(2) 正方形 Q 的面积是 cm2；
(3) 正方形 R 的面积是 cm2.
1
2
1
R
Q
P
A
C
B
SP + SQ = SR
2.上面三个正方形的面积之间有什么关系？
合作探究
AC 2 + BC 2 = AB 2
3.等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？
Sp = AC2 SQ = BC2 SR = AB2
R
Q
P
A
C
B
总结：在等腰直角三角形 ABC 中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
思考 那么，在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？
Q
P
R
Q
P
R
把 R 看作是四个直角三角形的面积
+
小正方形面积.
这两幅图中 Q，P 的面积都好求，该怎样求 R 的面积呢？
方法一：割
Q
P
R
Q
P
R
把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
S正方形R
= 72 - 4× ×3×4
= 25
方法二：补
P 的面积(单位长度) Q 的面积(单位长度) R 的面积(单位长度)
图 2
图 3
P、Q、R 面积关系 直角三角形三边关系
Q
P
R
Q
P
R
A
B
C
A
B
C
9
16
25
9
4
13
SP + SQ = SR
BC2 + AC2 = AB2
BC2 + AC2 = AB2
图 2
图 3
做一做
分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
13
5
12
A
B
C
∵ S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴ S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
赵爽弦图证明勾股定理
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
a
b
c
b-a
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 .
(a + b)2
即 a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab，
∴ a2 + b2 = c2.
证明
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有 a2 + b2 = c2 .
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
文字描述：
知识要点
几何语言：
∵ 在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，
∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）.
勾股定理：
a
b
c
公式变形：
a，b，c 为正数
典例精析
例1 在Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6，BC = 8.
求 AC 的长.
解 根据勾股定理，可得
AB + BC = AC .
所以 AC = = 10.
总结：应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长.
1. 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度.
练一练
100+225=325
x2+152=172,x=8
勾股定理的应用
2
例2 如图，Rt△ABC 的斜边 AC 比直角边 AB 长 2 cm，另一条直角边 BC 的长为 6 cm. 求 AC 的长.
解：由已知 AB = AC－2，BC = 6 cm，
根据勾股定理，可得
AB + BC = (AC－2) + 6 = AC ，
解得 AC = 10 (cm).
A
B
C
A
B
C
128 m
160 m
例3 如图，为了求出位于湖两岸的点 A、B 之间的距离，一名观测者在点 C 处设桩，使△ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到 AC 的长为 160 m，BC 的长为 128 m.
问：从点 A 穿过湖到点 B 有多远？
解 如图，在Rt△ABC 中，
AC = 160 m，BC = 128 m，
根据勾股定理，可得
答：从点 A 穿过湖到点 B 有 96 m.
AB = = 96 (m).
1. 【思维生长】测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：
1星题 夯实四基
三角尺 直角边a 直角边b 斜边c 关系
①含30°角
②含45°角
根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的数量关系为____________．
7.4 cm
12.8 cm
14.8 cm
a2＋b2≈c2
8.6 cm
8.6 cm
12.2 cm
a2＋b2≈c2
a2＋b2＝c2
向“数形结合思想”生长：如图，大正方形的面积是________，另一种方法计算大正方形的面积是_________，两种结果相等，推得的等式是______________，这个等式被称为____________．
a2＋b2＝c2
2ab＋c2
a2＋b2＝c2
勾股定理
向“正向应用”生长：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠B＝90°，则下列结论正确的是(　　)
A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2 D．以上均不正确
C
2. 求下列图中直角三角形相应边的长．
(1) c＝__________
(2) b＝__________
13
8
向“转化思想”生长：如图①，A，B，C是三个正方形，B的面积为56，C的面积为28，则A的面积为(　　)
A．28 B．56 C．84 D.
向“迁移思想”生长：如图②，以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆形B、半圆形C的面积分别是4、5，则半圆形A的面积是________．
C
1
向“数形结合思想”生长：如图③，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1.以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点P，则点P所表示的数是________．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交边BC于点D，AB＝5，BC＝6，则AD＝______．
4
4.(方程思想)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．若c＝25，a∶b＝3∶4，求a，b.
解：设a＝3x，b＝4x，则(3x)2＋(4x)2＝252，
解得x＝5(负值已舍去)，
所以a＝15，b＝20.
5. (分类讨论思想)若直角三角形的两边长分别为15 cm和8 cm，则第三边长为(　　)
C
2星题 提升四能
6．如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4.若∠ABD＝90°，则AD的长为(　　)
A．10 B．13
C．8 D．11
B
7.(数学文化)(南通中考)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n(m>n)．若小正方形的面积为7，(m＋n)2＝23，则大正方形的面积为(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
D
8. 【思维可视化】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连结BD，DE.将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上
的点F处，求CE的长．
【思维过程】(1)条件分析：D是AC的中点，则CD＝_______；由翻折的性质可知，EF＝_______，DF＝_____＝________．
3
CE
CD
3
(2)问题转化：求CE或求EF，尝试勾股定理．以CE或EF为边的直角三角形中，哪个三角形已知两条边或各边可用含有CE的式子表示？
(3)计算求值：CE＝________．
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)在边BC上求作点Q，使得AQ平分∠BAC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，点Q即为所作．
(2)在(1)的条件下，若AC＝4，AB＝5，求点Q到直线AB的距离．
解：如图，作QH⊥AB于点H.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，
由勾股定理，得BC＝
∵AQ平分∠CAB，∠C＝90°，QH⊥AB，∴CQ＝HQ.
在Rt△ACQ和Rt△AHQ中，
∴Rt△ACQ≌Rt△AHQ，∴AH＝AC＝4，
∴BH＝AB－AH＝1.
设HQ＝CQ＝x，则BQ＝BC－CQ＝3－x.
在Rt△BHQ中，由勾股定理，得BQ2＝BH2＋HQ2，
即(3－x)2＝12＋x2，解得x＝ .
10. (推理能力)如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝10，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BC向终点C运动，设点P运动的时间为t s.
(1)CP＝__________；(用含t的代数式表示)
10－2t
3星题 发展素养
(2)连结AP、PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求t的值．
解：在长方形ABCD中，AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，
∠ABC＝∠BCD＝90°.
当DP＝AD＝10时，如图①所示，
在Rt△DCP中，根据勾股定理，得DP2＝CP2＋CD2，
即102＝(10－2t)2＋62，
解得t＝1(t＝9不合题意，舍去)；
当AP＝AD＝10时，如图②所示，
在Rt△ABP中，根据勾股定理，得AP2＝BP2＋AB2，
即102＝(2t)2＋62，
解得t＝4(负值舍去)．
综上可知，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，t＝1或t＝4.
认识勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c ，那么 a2 + b2 = c2
利用勾股定理进行计算

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