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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.4.3角平分线第12章全等三角形华东师大版八年级上册12.4.3角平分线练习题本次练习题紧扣华东师大版八年级上册12.4.3角平分线核心知识点，承接线段垂直平分线的性质与判定体系，是几何距离转化、全等证明、角度计算的重要工具。本节重点考查角平分线的定义、性质定理、判定定理、互逆定理关系、利用角平分线转化垂线段长度、几何证明与综合计算，针对性解决性质判定混用、忽略“垂直距离”条件、错用线段相等代替垂线段相等、证明步骤缺失条件等高频易错问题。习题分层递进、题型贴合课本考点，适配课后巩固与随堂检测，解析详实规范，帮助学生熟练掌握角平分线的解题逻辑与标准书写格式。一、基础填空题（每空3分，共30分）1.从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的________。2.角平分线上的点到角两边的________相等，这是角平分线的性质定理。3.在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的________上，这是角平分线的判定定理。4.角平分线的性质定理与判定定理互为________定理。5.已知OP平分∠AOB，点P在OP上，且P到OA的距离为4，则P到OB的距离为________。6.三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形________的距离相等。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.角平分线的性质定理核心是（）A.平分角度B.点到角两边距离相等C.线段相等D.对顶角相等2.若点P在∠AOB内部，且点P到OA、OB的距离相等，则可判定（）A. OP=OA B. OP平分∠AOB C. OP垂直平分OA D. OA=OB3.下列说法正确的是（）A.角平分线上的任意线段相等B.角平分线上的点到角两边垂线段相等C.距离相等的点一定在角平分线上D.角平分线是直线4.三角形三条角平分线的交点是三角形的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心5.运用角平分线性质的必备条件是（）A.点在角平分线上+垂直两边B.点在角内部C.角度相等D.线段平行三、基础解答题（每题10分，共30分）1.写出角平分线的性质定理和判定定理，并说明两者的逻辑关系。2.已知：OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，PC=3，求PD的长度。3.已知：点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD，求证：OP平分∠AOB。四、拓展证明题（20分）已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，求证：DB=DC。参考答案与详细解析一、填空题1.角平分线解析：角平分线基础定义，是平分已知角的射线。2.距离解析：性质定理核心，特指点到角两边的垂直距离相等，非任意线段相等。3.角平分线解析：判定定理核心，角内部距离相等的点，必在角平分线上。4.互逆解析：性质由“在平分线上”推“距离相等”，判定由“距离相等”推“在平分线上”，互为互逆定理。5. 4解析：依据角平分线性质，两角边垂直距离相等。6.三边解析：三角形内心性质，三条角平分线交点到三边距离相等。二、选择题1. B解析：角平分线核心性质为点到角两边垂直距离相等。2. B解析：满足判定定理条件，可直接判定OP为角平分线。3. B解析：必须是垂线段距离相等，普通线段不成立，角平分线是射线非直线。4. B解析：三角形角平分线交点为内心，是内切圆圆心。5. A解析：性质使用必须同时满足点在平分线上、向两边作垂直两个条件。三、解答题1.解析：性质定理：角平分线上的点到角两边的垂直距离相等；判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。二者题设与结论互换，均为真定理，属于互逆定理。2.解析：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，根据角平分线性质，∴PD=PC=3。3.解析：∵PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD，且点P在∠AOB内部，根据角平分线判定定理，可得OP平分∠AOB。四、拓展证明题证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的垂直距离相等，∴DB=DC。条件齐全，推理严谨，符合几何规范书写要求。核心易错总结：本节高频易错点为忽略“垂直距离”条件、混用性质与判定、忘记限定角的内部、误将斜线段当作距离；牢记铁律：角平分线只保证垂线段相等，不保证任意线段相等；知平分线证距离相等用性质，知距离相等证平分线用判定，严格区分因果逻辑，杜绝缺条件推理。 在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？
A
B
C
如图，点 P 是∠AOB 的角平分线 OC 上的任意一点，且 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，将∠AOB 沿 OC 对折，你发现了什么？
如何表达，并简述你的证明过程.
对折后 PD、PE 能够完全重合，PD = PE.
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的性质定理
1
下面我们来证明刚才得到的结论.
已知：OC 平分∠AOB，P 是 OC 上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB. 求证：PD = PE.
证明：∵ OC 平分∠AOB，P 是 OC 上一点，
∴ ∠DOP =∠BOP.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴ ∠ODP =∠OEP = 90°.
在△OPD 和△OPE 中，
∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP = OP，
∴ △OPD≌△OPE ( AAS ). ∴PD＝PE.
D
P
A
C
B
E
O
由上面证明，我们得到角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言描述：
∵ OC 平分∠AOB，
且 PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD = PE.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
角平分线性质定理的逆定理
2
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：为了证明点 P 在∠AOB 的平分线上，可以先作射线 OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠DOP =∠EOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上.
B
A
D
O
P
E
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP（公共边），
PD = PE（已知），
证明：
作射线 OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL ).
(全等三角形的对应角相等).
∴ ∠DOP =∠EOP
B
A
D
O
P
E
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边距离相等.
定理的作用：判断点在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
怎样证明这个结论呢
A
B
C
P
N
M
试一试
点拨：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AO 是∠BAC 的平分线
BO 是∠ABC 的平分线
OI = OH
OG = OI
OH = OG
点 O 在∠BCA 的平分线上
A
B
C
O
F
H
D
E
I
G
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 也在∠A 的平分线上.
A
B
C
P
N
M
典例精析
证明：过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC， PF⊥AC，
垂足分别为 D、E、F.
∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PF.
∴ 点 P 在∠A 的平分线上.
A
B
C
P
E
D
F
M
N
1. 【思维生长】如图①，如果点M在∠ANB的平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么AM＝________．
向“ 动态分析”生长：如图②，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，连结PN.若PM＝6，则PN的长度不可能是(　　)
A．18 B．7.2
C．6 D．4.5
1星题 夯实四基
BM
D
向“转化思想”生长：如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.
(1)若BC＝5，DE＝2，则DB的长为________；
(2)若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________．
3
15
2．如图，OP是∠AOB的平分线，且PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.求证：OP垂直平分AB.
证明：∵OP是∠AOB的平分线，∴∠AOP＝∠BOP.
∵PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.
在△AOP和△BOP中，
∵∠AOP＝∠BOP，∠PAO＝∠PBO，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP，∴OA＝OB，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB.
3．[知识初练]如图，PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，PM＝2.当PN＝________时，点P在∠BAC的平分线上．
2
4．如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOC＝25°，则∠OCF的度数是_________．
65°
5．如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离OF，OD，OE相等，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝________°.
125
6．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE交于点F，AE＝AD.求证：点F在∠A的平分线上．
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠CEB＝∠BDC＝∠ADB＝90°.
在△AEC和△ADB中，
∴△AEC≌△ADB，∴AC＝AB，∴BE＝DC.
在△BEF和△CDF中，
∴△BEF≌△CDF，∴EF＝DF，
∴点F在∠A的平分线上．
7.(立德树人·关注生活)如图，有三条公路两两相交，要选择一地点建一座充电桩，若要使充电桩到三条公路的距离相等，则满足此要求的充电桩的位置有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
2星题 提升四能
8. 【新题型】将两把相同的直尺按如图放置在∠AOB上，两直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的对应读数分别是2和5，则OC的长度是________cm.
3
9．如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB ∶ S△OAC∶S△OBC＝__________．
2∶3∶4
10．[广东广州期中]如图，已知∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD＝35°，则∠MAB的度数是________．
35°
11．如图，已知∠AOB与点M，N，求作一点P，使点P到边OA，OB的距离相等，且PM＝PN(保留作图痕迹，不写作法)．
解：如图，点P即为所求．
12．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE＝FD.
证明：∵∠B＝60°，
∴∠BAC＋∠BCA＝180°－60°＝120°.
∵AD，CE分别平分∠BAC与∠BCA，
∴∠ACE＝∠BCE，∠BAF＝∠CAF，
∴∠FAC＋∠FCA＝ (∠BAC＋∠BCA)＝ ×120°＝60°，
∴∠CFD＝∠AFE＝60°，∠AFC＝120°.
在AC上截取AG＝AE，连结GF.
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF，∴∠AFG＝∠AFE＝60°，FE＝FG，∴∠CFG＝∠CFD＝60°.
又∵CF＝CF，∴△CDF≌△CGF，
∴FD＝FG，∴FE＝FD.
13.(推理能力)如图，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且满足ab－ac＝b2－2bc＋c2，AD⊥BC于点D，点P为AD上任意一点，PM⊥AC于点M，连结PC.
(1)判断△ABC的形状；
解：∵ab－ac＝b2－2bc＋c2，∴a(b－c)－(b－c)2＝0，
∴(b－c)(a－b＋c)＝0.
∵a＋c＞b，∴a－b＋c＞0，∴b－c＝0, 即b＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
3星题 发展素养
(2)当PC＋PM最小时，求∠BAC与∠PCD之间的数量关系．
解：∵b＝c，AD⊥BC，∴∠BAD＝ ∠BAC.
如图，过点P作PN⊥AB于点N，∴PM＝PN，
∴PC＋PM＝PC＋PN.易得当C，P，N三点在同一直线上时，PC＋PM＝PC＋PN＝CN最小，
此时CN⊥AB，∴∠PCD＋∠B＝90°.
又∵∠B＋∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠PCD，
∴∠PCD＝ ∠BAC.
角平分线的性质及判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

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