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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.2直角三角形的判定第13章勾股定理华东师大版八年级上册13.1.2直角三角形的判定练习题本次练习题紧扣华东师大版八年级上册13.1.2直角三角形的判定核心知识点，本节为上一节勾股定理的逆用内容，核心掌握勾股定理逆定理，是判断三角形形状、几何求值、几何证明的重要依据。本节重点考查直角三角形的判定定理、勾股数识别、利用三边长度判断三角形是否为直角三角形、结合线段长度综合判定、解决简单几何证明问题，针对性学生不会找最大边、平方和判断出错、混淆勾股定理与逆定理、陌生勾股数辨析失误等高频易错问题。习题分层递进、贴合课本考点，适配课后巩固与随堂检测，解析详实规范，帮助学生熟练掌握直角三角形的判定方法，完善直角三角形知识体系。一、基础填空题（每空3分，共30分）1.如果三角形的三边长a、b、c满足________，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。2.勾股定理的用途是已知直角三角形，求________；逆定理的用途是已知________，判定直角三角形。3.满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数，称为________。4.判断三角形是否为直角三角形，只需检验最短两边的平方和是否等于________的平方。5.常见勾股数：3、4、5；5、________、13；6、8、________。6.若三角形三边长为7、24、25，则该三角形是________三角形。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列各组数中，是勾股数的是（）A. 1、2、3 B. 6、8、10 C. 2、3、4 D. 4、5、62.三角形三边长为5、12、13，则该三角形为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.下列说法正确的是（）A.三边平方和相等即为直角三角形B.勾股数可以是小数C.勾股数必须是正整数D.任意三角形都可用逆定理判定4.一个三角形三边长为9、12、15，则最长边上的角为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°5.不能判定三角形为直角三角形的是（）A. $$3^2+4^2=5^2$$ B. $$5^2+12^2=13^2$$ C. $$2^2+3^2=4^2$$ D. $$7^2+24^2=25^2$$三、基础解答题（每题10分，共30分）1.判断以6、8、10为三边的三角形是否为直角三角形。2.判断以5、7、9为三边的三角形是否为直角三角形。3.简述勾股定理与勾股定理逆定理的区别与用途。四、拓展应用题（20分）已知△ABC的三边长分别为15、20、25，判断△ABC的形状，并求出该三角形的面积。参考答案与详细解析一、填空题1. $$a^2+b^2=c^2$$解析：直角三角形判定核心定理，即勾股定理逆定理，是判定直角三角形的核心依据。2.边长；三边长解析：勾股定理是性质（知形求边），逆定理是判定（知边判形），二者互为逆定理。3.勾股数解析：勾股数定义，必须为满足公式的三组正整数。4.最长边解析：判定关键技巧，只需验证短边平方和与最长边平方的关系，避免无效计算。5. 12；10解析：经典基础勾股数，是考试高频常用数组，需熟练记忆运用。6.直角解析：$$7^2+24^2=49+576=625=25^2$$，满足逆定理，为直角三角形。二、选择题1. B解析：6、8、10为3、4、5的倍数，是标准勾股数，其余选项均不满足平方关系。2. B解析：满足$$5^2+12^2=13^2$$，依据逆定理可判定为直角三角形。3. C解析：勾股数硬性要求为三组正整数，小数、分数均不属于勾股数。4. C解析：9、12、15满足勾股逆定理，最长边对角为直角90°。5. C解析：$$2^2+3^2=13\neq16=4^2$$，不满足平方关系，无法判定直角三角形。三、解答题1.解析：最长边为10，$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形。2.解析：最长边为9，$$5^2+7^2=25+49=74\neq81=9^2$$，不满足平方关系，不是直角三角形。3.解析：勾股定理（性质）：已知三角形是直角三角形，可求边长、进行边长计算；勾股逆定理（判定）：已知三角形三边长，通过平方关系判定是否为直角三角形，二者题设结论互换。四、拓展应用题解：最长边为25，$$15^2+20^2=225+400=625=25^2$$，∴△ABC是直角三角形，且15、20为直角边。三角形面积$$=\frac{1}{2}\times15\times20=150$$。本题综合判定与面积计算，是本节经典基础题型，步骤规范、逻辑清晰。核心易错总结：本节高频易错点为找错最长边、混淆勾股定理与逆定理用途、误将小数当作勾股数、平方计算失误；牢记核心判定步骤：先找最长边，再算两短边平方和，最后与最长边平方对比；知直角求边长用勾股定理，知边长判直角用逆定理，坚决杜绝定理混用，熟练掌握常见勾股数，快速解题避坑。 据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
问题：试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
(1) a = 3，b = 4，c = 5； (2) a = 4，b = 6，c = 8；
(3) a = 6，b = 8，c = 10.
可以发现，按 (1)、(3) 所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按 (2) 所画的三角形不是直角三角形.
直角三角形的判定
1
这三组数都满足 a2 + b2 = c2 吗？
在这三组数据中，(1)、(3) 两组数据恰好都满足 a2 + b2 = c2.
对于任意一个三角形，若三边长满足 a2 + b2 = c2，则该三角形是直角三角形吗？
△ABC≌△ A′B′C′ 　　
∠C 是直角　　　
△ABC 是直角三角形　　
A　
B　
C　
a
b
c
构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′
证一证
已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC 是直角三角形．
A
B
C
B′
C′
A′
证明：如图，作△A'B′C′，使∠C′ = 90°，A′C′ = b，B′C′ = a，
则 A′B′ = a + b = c ，即 A′B′ = c.
在△ABC 和△A′B′C′ 中，
∵ BC = a = B′C′，
AC = b = A′C′，
AB = c = A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′ .
∴∠C = ∠C′ = 90°.
如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角.
A
C
B
a
b
c
勾股定理的逆定理
这是判定直角三角形的一个依据.
形
数
知识要点
思维轴
1
找
2
算
3
判
最长边
算出两短边的平方和与最长边的平方
判断等量关系
最长边为斜边，其所对应的角为直角
利用边的关系判断直角三角形
归纳总结
例1 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a = 15，b = 8，c = 17；
解：(1) ∵ 152 + 82 = 289，172 = 289，
∴ 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角.
(2) a = 13 ，b = 14，c = 15.
(2) ∵ 132 + 142 = 365，152 = 225，
∴ 132 + 142 ≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴ 这个三角形不是直角三角形.
典例精析
例2 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，你说这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
典例精析
在△BCD 中，
所以△BCD 是直角三角形，
∠DBC 是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD 中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
例3 已知△ABC，AB = n - 1，BC = 2n，AC = n +1 (n 为大于 1 的正整数). 试问△ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵ AB + BC = (n - 1) + (2n)
= n4 - 2n + 1 + 4n
= n4 + 2n + 1
= (n + 1)
= AC ，
∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角.
先确定
AB、BC、AC、
的大小
典例精析
概念：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数
常见勾股数： ① 3，4，5 ；② 6， 8， 10；
③ 5，12，13； ④ 8，15，17； ⑤ 7，24，25.
2
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
如：3，4，5
6，8，10
扩大 2 倍
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A. 6，8，10 B. 7，8，9
C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数即可.
练一练
1．如图，将长为5 m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面4 m，则梯子底端B距离墙底端的距离BC为(　　)
A．3 m B．4 m C．5 m D．1 m
1星题 夯实四基
A
2．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为(　　)
A．10 m B．15 m C．18 m D．20 m
C
3. 【新情境】如图是一块长方形草坪，AB是一条被踩踏的小路，已知AC＝12 m，BC＝9 m．为了避免行人继续踩踏草坪(走线段AB)，小梅分别在A，B处挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
D
4．如图，在高为6 m，坡面长为10 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要(　　)
A．12 m B．13 m
C．14 m D．15 m
C
5. 【新题型】如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100 m，以点O为原点，过数轴上的每一刻度点作同心圆，并将同心圆平均分成十二份．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群之间的距离是(　　)
A．5 m B．400 m
C．500 m D．300 m
C
6.(跨学科·语文)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为_________________．
x2＋22＝(x＋0.5)2
7. 【新情境】某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬20 m长的云梯，到21 m高的宿舍楼顶M处营救“被困”学生．已知消防车按如图所示停放，云梯的底端A距离地面(ON)3 m，与宿舍外墙OM的距离是7 m．请问云梯够长吗？说明理由．
解：够长，理由如下：
画示意图如图，过点A作AC⊥OM于点C，AA′⊥ON于点A′，连结AM，则AC＝7 m，∠ACM＝90°，OM＝21 m，OC＝AA′＝3 m，∴CM＝OM－OC＝18(m)，
∴AM＝
∵ <20，∴云梯够长．
8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，则边AB上的中线长为_______．
2星题 提升四能
9.(方程思想)如图，点P为Rt△ABC的边BC上一点，已知PC＝5，AC＝10，折线P→B→A与折线P→C→A的长度相等，则直角边BC的长为(　　)
A．6.5 B．7 C．7.5 D．8
C
10.(数学文化)如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是(　　)
A．52 B．68 C．72 D．76
D
11.(立德树人·传统文化)在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些数学问题，他设计了如下的方案：如图，先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15 m，根据手中余线长度，计算出AC的长度为17 m，牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5 m．已知点A，B，C，D在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则易得AE＝BD＝15 m，AB＝DE＝1.5 m，∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，由勾股定理得CE＝
∴CD＝CE＋ED＝8＋1.5＝9.5(m)，
即风筝离地面的垂直高度CD为9.5 m.
(2)在余线仅剩7.5 m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12 m，请问能否成功？请说明理由．
解：不能成功，理由如下：
假设能上升12 m，如图，延长DC至点F，使CF＝12 m，连结AF，∴EF＝CE＋CF＝8＋12＝20(m)．
在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝
∵AC＝17 m，余线仅剩7.5 m，
而17＋7.5＝24.5<25，∴不能上升12 m，即不能成功．
即时练透/构造直角三角形解题/
【模型归纳】
条件：已知△ABC的三边长(如图)．
方法：作AD⊥BC，垂足为D.
结论：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2.
1．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，则△ABC的面积是________．
2．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝13，AB＝15，则△ABC的面积为________．
84
24
【元认知·总结】非直角三角形的边长、面积问题，核心是运用“化斜为直”的转化思想，通过作高构造“双直角三角形”模型，将斜三角形问题转化为我们熟悉的直角三角形问题来解决．
直角三角形的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数

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