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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.3反证法第13章勾股定理华东师大版八年级上册13.1.3反证法练习题本次练习题紧扣华东师大版八年级上册13.1.3反证法核心知识点，是初中几何第二种核心证明方法（直接证明、间接证明），承接直角三角形判定知识，用于解决“正面证明困难、结论唯一性、否定型命题”的几何证明题。本节重点考查反证法的定义、证明三步步骤、反设书写、推出矛盾类型、经典命题反证证明，针对性解决反设错误、遗漏所有反面情况、不会找矛盾、推理逻辑混乱、步骤书写不规范等高频易错问题。习题分层递进、贴合课本考点，适配课后巩固与随堂检测，解析详实规范，帮助学生掌握反证法的推理逻辑与标准书写格式。一、基础填空题（每空3分，共30分）1.反证法是一种________证明方法，适用于正面证明较难的命题。2.反证法的三大步骤：先________、再________、最后________。3.用反证法证明命题时，第一步反设需要假设命题的________成立。4.证明“一个三角形中最多有一个直角”，反设应为“假设一个三角形中________”。5.反证法推出的常见矛盾类型：与________矛盾、与________矛盾、与已知条件矛盾。6. “至少有一个”的反面是“________”。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列命题最适合用反证法证明的是（）A.对顶角相等B.两直线平行，同位角相等C.一个三角形中不能有两个直角D.等边三角形三边相等2.用反证法证明“△ABC中，若∠A≠∠B，则BC≠AC”，第一步反设正确的是（）A.假设∠A=∠B B.假设BC=AC C.假设BC≠AC D.假设∠A≠∠B3. “三角形中至少有一个内角小于或等于60°”的反面是（）A.至少一个内角大于60°B.至多一个内角大于60°C.三个内角都大于60°D.三个内角都小于60°4.下列关于反证法说法正确的是（）A.不需要反设，直接推理B.只需推出结论即可，不用找矛盾C.先否定结论，再推出矛盾，最后肯定原命题D.反证法属于直接证明5.证明“两条直线相交只有一个交点”，反设为（）A.假设两条直线没有交点B.假设两条直线有两个或两个以上交点C.假设两条直线垂直D.假设两条直线平行三、基础解答题（每题10分，共30分）1.简述反证法的完整证明步骤。2.用反证法证明：一个三角形中最多有一个钝角。3.写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”的反设。四、拓展证明题（20分）用反证法证明：直角三角形的两个锐角互余（不能用三角形内角和定理直接证明）。参考答案与详细解析一、填空题1.间接解析：反证法不属于直接推理，是间接证明的核心方法。2.反设；归谬；存真解析：反证法标准三步：假设结论不成立、推出矛盾、否定假设、肯定原命题。3.结论不成立解析：反设核心规则：只否定结论，不否定已知条件。4.有两个（或三个）直角解析：“最多一个”的反面为“至少两个”。5.公理；定理解析：归谬阶段可与已知、公理、定理、事实产生矛盾。6.一个也没有解析：常用逻辑反面词汇，是反设高频考点。二、选择题1. C解析：限定型、否定型、至多至少型命题适合反证法，其余均可直接证明。2. B解析：反设只否定结论，原命题结论为“BC≠AC”，反设为“BC=AC”。3. C解析：“至少一个≤60°”的完整反面是“全部＞60°”。4. C解析：反证法核心逻辑：否定结论→推出矛盾→肯定原命题，为间接证明。5. B解析：“只有一个交点”反面为“不止一个交点”，即两个及以上交点。三、解答题1.解析：①反设：假设原命题的结论不成立；②归谬：从假设出发，结合已知条件、公理、定理进行推理，推出矛盾；③存真：否定假设，确认原命题成立。2.解析：反设：假设三角形中有两个钝角。归谬：钝角大于90°，两个钝角和大于180°，与三角形内角和为180°矛盾。存真：假设不成立，故一个三角形最多有一个钝角。3.解析：反设：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线不平行（即相交）。四、拓展证明题证明：在Rt△ABC中，∠C=90°，假设∠A+∠B≠90°。∵三角形内角和为180°，∴∠A+∠B+∠C≠180°，与三角形内角和定理矛盾。∴假设不成立，故直角三角形的两个锐角互余。步骤规范，逻辑严谨，完全符合反证法书写要求。核心易错总结：本节高频易错点为反设写错、反面情况不完整、否定条件而非结论、推理无矛盾、步骤缺失；牢记铁律：反证法只反设结论，不改动已知；熟记常用反义词：至多 至少、存在 不存在、唯一 不唯一；证明必须出现明确矛盾，三步步骤完整书写，杜绝逻辑漏洞。 如图，在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b (a≤b≤c) 有关系 a2 + b2 = c2 时，这个三角形一定是直角三角形吗？
解析：由 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理可知∠C = 90°，这个三角形一定是直角三角形.
c
a
b
A
C
B
思考 若将上面的条件改为“在△ABC 中，AB = c，
BC = a，AC = b (a≤b≤c)，a2 + b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.
探究： (1) 假设它是直角三角形；
(2) 根据勾股定理，一定有 a2 + b2 = c2 ，与已知条件 a2 + b2≠c2 矛盾；
(3) 因此假设不成立，即它不是直角三角形.
c
a
b
A
C
B
反证法
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1) 先假设结论的反面是正确的；
(2) 然后通过逻辑推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相矛盾；
(3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
像这样的证明方法叫“反证法”.
知识要点
例1 写出下列各结论的反面：
(1) a∥b；
(2) a≥0；
(3) b 是正数；
(4) a⊥b.
a＜0
b 是 0 或负数
a 不垂直于 b
a 不平行于 b
典例精析
例2 在△ABC 中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
A
B
C
证明：假设　　　　　，
则　　　　　(　　　　　 ).
这与　　　　　　　　　矛盾．
假设不成立．
∴　　　　　　　　．
∠B＝∠C
AB＝AC
等角对等边
已知 AB≠AC
∠B≠∠C
小结：反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C = 90°，那么 a2 + b2 = c2”是一个真命题.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢
即“在△ABC 中，如果 AB = c，BC = a，CA = b，且∠C≠90°，那么a2 + b2≠c2 ”是真命题吗
想一想
1. 反设：
证明：
3. 得出结论：
2. 推出矛盾：
假设在△ABC 中，∠C≠90° 时，
a2 + b2 = c2 成立.
根据勾股定理的逆定理，当 a + b = c 时，△ABC 是直角三角形且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90° 矛盾.
所以假设不成立，即原命题“在△ABC 中，如果 AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么 a + b ≠c ”是真命题.
例3 求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：如图，两条相交直线 a，b.
求证：a 与 b 只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线 a，b”出发，经过推理，得出结论“a，b只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
a
b
A
●
典例精析
证明：假设 a 与 b 不止一个交点，
不妨假设有两个交点 A 和 A'，
因为两点确定一条直线，即经过
点 A 和 A' 的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾，假设不成立.
所以两条直线相交只有一个交点.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
a
b
A
●
A'
●
例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　，
即　 　　　　　　　　　　　，
于是　 　　　　　　　　　　　　　　，
这与　 　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立．
所以　 　　　　　　　　　　　　　　　　．
△ABC 中没有一个内角小于或等于 60°
∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°
三角形的内角和为180°
△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°
点拨：至少的反面是没有！
∠A +∠B +∠C＞60° + 60° + 60° = 180°
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 任意的
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有 n 个
小于 至多有 n 个
对所有 x成立 对任何 x 不成立
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有（n - 1)个
至少有（n + 1)个
存在某个 x 不成立
存在某个 x 成立
不等于
某个
1．用反证法证明命题“如果a∥b，c∥b，那么a∥c”时，应假设(　　)
A．a⊥c B．c不平行于b
C．a不平行于b D．a不平行于c
1星题 夯实四基
D
2．用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”，应假设(　　)
A．a2C．a2≤b2 D．a2≥b2
C
3．用反证法证明“若ab＝0，则a＝0或b＝0”时，第一步应假设_________________．
a≠0且b≠0
4．[上海模拟]小明在用反证法解答“已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”这道题时，写出了下面的四个推理步骤：
①又因为∠A>0°，所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B<90°；③假设∠B≥90°；
④由AB＝AC，得∠B＝∠C，所以∠C≥90°；
请写出这四个步骤正确的顺序：____________．(填序号)
③④①②
5. (教材改编题)用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”．
已知：如图，直线l1、l2被直线l3所截，∠1＋∠2_____180°.
求证：直线l1与l2________．
证明：假设l1________l2，
则∠1＋∠2______180°(__________________________)．
这与__________________矛盾，故________不成立．
所以____________________．
≠
不平行
∥
＝
两直线平行，同旁内角互补
∠1＋∠2≠180°
l1∥l2
直线l1与l2不平行
6. 在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小点和小训三个同学，其中有一个小球颜色是红色．
小雅说：“红色球在我手上．”
小点说：“红色球不在我手上．”
小训说：“红色球肯定不在小雅手上．”
三个同学只有一个说对了，则红色球在______的手上．
小点
2星题 提升四能
7．用反证法证明命题“在一个三角形中，至多有一个内角是直角”，正确的假设是(　　)
A．在一个三角形中，至少有一个内角是直角
B．在一个三角形中，至少有两个内角是直角
C．在一个三角形中，没有一个内角是直角
D．在一个三角形中，至多有两个内角是直角
B
8．[陕西西安期末]已知：如图，D是△ABC内一点．
求证：△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形(用反证法证明)．
证明：假设△ABD，△BDC，△ADC都是锐角三角形，则∠ADB，∠BDC，∠ADC都是锐角，
∴∠ADB＋∠BDC＋∠ADC<360°，这与∠ADB＋∠BDC＋∠ADC＝360°矛盾，∴假设不成立，
∴△ABD，△BDC，△ADC不可能都是锐角三角形．
9. 【新趋势·代数推理】设a，b，c是不全相等的任意实数，若x＝b2－ac，y＝c2－ab，z＝a2－bc.求证：x，y，z中至少有一个大于0.
解：假设x，y，z都小于0，则b2－ac＋c2－ab＋a2－bc<0，
∴2b2－2ac＋2c2－2ab＋2a2－2bc<0，
∴(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2<0，这与偶次方的非负性相矛盾，
∴假设不成立，∴x，y，z中至少有一个大于0.
反证法
概念
反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理，得出矛盾→肯定待定命题的结论.
证明步骤

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