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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.2勾股定理的应用第13章勾股定理华东师大版八年级上册13.2勾股定理的应用练习题本次练习题紧扣华东师大版八年级上册13.2勾股定理的应用核心知识点，是勾股定理与逆定理的实操运用章节。本节摆脱单纯的公式计算，重点考查将生活实际问题、几何折叠问题、最短路径问题、立体图形展开问题转化为直角三角形模型，是初中几何数形结合的核心考点。针对性解决不会构造直角三角形、立体图形不会展开、最短路径思路混乱、实际题意理解偏差、计算遗漏分类讨论等高频易错问题。习题分层递进、贴合课本经典题型与考试真题，适配课后巩固与随堂检测，解析步骤完整，帮助学生掌握建模解题思路，熟练运用勾股定理解决各类实际几何问题。一、基础填空题（每空3分，共30分）1.运用勾股定理解实际问题的核心是：把实际问题转化为________三角形问题。2.平面内两点之间，线段最短，立体图形最短路径需要先________，转化为平面线段求解。3.一根竖直的竹竿高12m，底端距地面固定点5m，则竹竿顶端到固定点的直线距离为________m。4.长方形长8、宽6，则长方形对角线长为________。5.折叠问题解题关键：折叠前后对应边________、对应角________，结合勾股定理列方程求解。6.一艘船先向正东航行6km，再向正北航行8km，此时船距离出发点________km。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.测量池塘两端距离，构造直角三角形两直角边为9、12，则池塘两端距离为（）A. 15 B. 21 C. 10 D. 132.圆柱侧面最短路径问题需要将圆柱（）A.对折B.侧面展开成长方形C.切割成圆形D.立体观察直接测量3.梯子长13m，底端离墙5m，则梯子顶端离地高度为（）A. 8m B. 10m C. 12m D. 14m4.长方形纸片折叠后形成直角三角形，已知两边为3、4，则斜边长为（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 85.下列问题不能用勾股定理直接求解的是（）A.求长方形对角线B.立体最短路径C.任意三角形周长D.梯子靠墙高度三、基础解答题（每题10分，共30分）1.一架梯子长25米，斜靠在墙上，梯子底端离墙7米，求梯子顶端距离地面的高度。2.已知长方形门框宽60cm，高80cm，求能通过门框的最长直杆长度。3.一棵树高16m，被大风折断，树顶落在离树根8m处，求折断部分的高度。四、拓展应用题（20分）有一个圆柱，底面周长12cm，高12cm，将圆柱侧面展开，求底面圆周上一点到顶端对应点的最短路径长。参考答案与详细解析一、填空题1.直角解析：勾股定理仅适用于直角三角形，所有实际应用核心都是构造直角三角形建模。2.展开解析：立体图形最短路径必须平面化，展开后利用两点之间线段最短求解。3. 13解析：$$\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$$，经典勾股数应用。4. 10解析：$$\sqrt{8^2+6^2}=10$$，长方形对角线构造直角三角形求解。5.相等；相等解析：折叠属于轴对称变换，前后边角对应相等，是折叠计算题的核心等量条件。6. 10解析：正东、正北互相垂直，$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$，方位直角三角形模型。二、选择题1. A解析：$$\sqrt{9^2+12^2}=15$$，直角三角形实际测距模型。2. B解析：圆柱曲面无直线距离，必须侧面展开为平面长方形，再求线段最短。3. C解析：$$\sqrt{13^2-5^2}=12$$，经典梯子靠墙题型，逆向运用勾股定理。4. A解析：3、4、5为基础勾股数，直接得出斜边长度。5. C解析：任意三角形无直角条件，无法套用勾股定理，其余均可构造直角三角形求解。三、解答题1.解析：由题意构造Rt△，斜边25m，直角边7m。高度$$=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24$$米。答：梯子顶端离地24米。2.解析：最长直杆为门框对角线，$$\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{10000}=100$$cm。答：最长直杆长度为100cm。3.解析：设折断部分长x m，则剩余直立部分(16-x)m。由勾股定理：$$(16-x)^2+8^2=x^2$$，展开得$$256-32x+x^2+64=x^2$$，解得$$x=10$$。答：折断部分高度为10m。四、拓展应用题解：圆柱侧面展开为长方形，长方形长为底面周长的一半11cm，宽为圆柱高12cm。最短路径为长方形对角线，$$\sqrt{11^2+12^2}=\sqrt{121+144}=\sqrt{265}$$cm。答：最短路径长为$$\sqrt{265}$$cm。本题考查立体转平面的核心建模思想，是考试高频压轴基础题型。核心易错总结：本节高频易错点为不会构造直角三角形、立体图形忘记展开、折叠题不会设未知数、方位角分不清垂直关系、公式正向逆向混用；牢记解题步骤：先建模（找直角）、再定边长、最后套公式；折叠问题必用方程思想，立体路径必先展平再计算，所有实际问题全部转化为标准直角三角形求解，杜绝凭感觉解题。
如图所示，一个圆柱体的底面周长为 20 cm，高 AB 为 4 cm，BC 是上底面的直径.一只蚂蚁从 A 点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程.(精确到 0.01 cm)
A
B
C
分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动，如果将这半个侧面展开，得到长方形 ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图 — — 长方形ABCD 的对角线 AC 之长.
A
B
C
A
C
B
D
解：如图，在 Rt△ABC 中，
BC = 底面周长的 一半 = 10 cm.
由勾股定理，可得：
答：爬行的最短路程约为 10.77 cm.
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题.
变式 如果圆柱换成如图的棱长为 10 cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到 0.01 cm)
A
B
勾股定理的应用
1
A
B
10
10
10
B
C
A
解：最短路程即为长方形的对角线 AB，
答：爬行的最短路程约是 22.36 cm.
例1 如果盒子换成如图长 AB 为 3 cm，宽 BC 为 2 cm，高 BB1 为 1 cm 的长方体，蚂蚁沿着表面由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程又是多少呢？
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
分析：蚂蚁由 A 爬到 C1 过程中较短的路线有多少种？
(1)经过前面和上底面；
(2)经过前面和右面；
(3)经过左面和上底面.
典例精析
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
2
3
A
1
B
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
B
C
B1
C1
A1
3
2
1
A
D
D1
A1
B1
C1
解： (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
2
3
A
1
B
B1
C1
D1
A1
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
B
C
B1
C1
A1
(3)当蚂蚁经过左面和上面时，如图，最短路程为
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
3
2
1
A
D
D1
A1
B1
C1
5.10＞4.47＞4.24
所以由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程是 4.24 cm.
A
B
C
D
2米
2.3 米
例2 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂房上方为半圆形拱门)？说明理由.
典例精析
MN＝
MH＝0.6＋2.3＝2.9 (米)＞2.5 (米).
答：卡车能通过厂门．
解：在Rt△ONM 中，∠MNO = 90°，
由勾股定理，得
A
B
D
C
O
M
┏
N
H
2 米
2.3 米
勾股定理及其逆定理的综合应用
2
例3 如图，在 3×3 的方格图中，每个小方格的边长都为 1 ，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1）画出所有从点 A 出发，另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 的线段；
（2）画出所有以小题（1）中所画线段为腰的等腰三角形.
A
分析 利用勾股定理找到以格点为端点满足要求的线段.
解 (1)如图，AB、AC、AE、AD 的长度均为 .
(2)如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、
△ACD、△AED 就是所要画的等腰三角形.
A
E
D
C
B
例4 如图，已知 CD＝6 cm，AD＝8 cm， ∠ADC＝90°，BC＝24 cm，AB＝26 cm，求图中着色部分面积.
解：在 Rt△ADC 中，
∵AC2 = AD2 + CD2
= 82 + 62 = 100 (勾股定理)，
∴AC = 10(cm).
∵AC2 + BC2 = 102 + 242 = 676 = 262 = AB2，
∴△ACB 为直角三角形（勾股定理的逆定理）.
∴S着色部分 = S△ACB - S△ACD
= 96 (cm2).
1. 【思维生长】如图①，若圆柱的底面周长是5 cm，高是12 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的长度最小是(　　)
A．17 cm B．7 cm
C．14.5 cm D．13 cm
1星题 夯实四基
D
向“空间位置分析”生长：如图②，一只昆虫从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为16 cm，圆柱的底面半径为 cm，那么最短的路线长是________cm.
10
向“场景迁移”生长：如图③是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60 cm、30 cm、10 cm.A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是________cm.
100
向“迁移能力”生长：某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图④)．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9 cm，底面边长为4 cm，则这圈金属丝的长度至少为________cm.
知识点2 利用勾股定理解决实际问题
15
2.小明到图书馆借书时，了解到图书馆要购买一批宽为2.4 m的书架，欲通过如图所示形状的门(下方为长方形，上方为半圆形)，则书架的外形不得高于(　　)
A．4.1 m B．4.0 m
C．3.9 m D．3.8 m
A
【主题情境】在校园生活的各种场景中都隐藏着有趣的数学挑战，需要我们用所学知识去解决，请完成2～4题.
3．如图，教学楼自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝2 m，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，身高1.5 m的小明(CD)走到离门间距CB＝1.2 m的地方时，感应门恰好自动打开，则该感应器感应长度AD为________m.
1.3
4．如图，小明为了测得学校旗杆AB的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面C点，此时，C点到杆底B点12 m，他又将旗绳拉直到杆底部B点，此时，绳子多出一截BP，量得多出部分长度为4 m，请你帮他计算出旗杆的高度．
解：设旗杆的高度为x m，则AC＝(x＋4)m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得x2＋122＝(x＋4)2，
解得x＝16.
所以旗杆的高度为16 m.
5.(数学文化)我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5 m，将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD＝3 m)，踏板离地的垂直高度CF＝2.5 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是________m.
3.25
2星题 提升四能
6. 【新情境】如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是8 cm，内壁高为15 cm.将一支长20 cm的铅笔放在圆柱形笔筒中(铅笔的粗细不计)，那么这支铅笔露在笔筒外的部分长度x (单位：cm)的范围是________________．
3 cm≤x≤5 cm
7．如图，一个长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B与点C间的距离为5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求需要爬行的最短距离．
解：根据题意知蚂蚁爬行的路线有三种情况，把蚂蚁爬行经过的面展开，如图①②③.
8.(模型观念)(平顶山期末)综合与实践：
【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25 m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC＝24 m，∠DCE＝90°.
(1)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从底部B沿水平方向向前滑动到B′位置上(云梯长度不改变)，
则顶端A向上滑到A′，若BB′＝9 m，求AA′的长度；
3星题 发展素养
解：在Rt△ABC中，
AC＝
∵BC＝24 m，BB′＝9 m，∴B′C＝BC－BB′＝15 m.
在Rt△A′B′C中，
A′C＝
∴AA′＝A′C－AC＝20－7＝13(m)．
(2)【问题解决】在演练中，高24 m的窗口有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24 m高的窗口去救援被困人员？
解：当云梯的顶端到达24 m高的窗口时，根据勾股定理得，云梯的底端离墙的距离为
∵25× ＝5(m)，7 m>5 m，
∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达24 m高的窗口去救援被困人员．
勾股定理的应用
最短路程问题
勾股定理与其逆定理的应用

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