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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.小结与复习第13章勾股定理华东师大版八年级上册第13章勾股定理章节综合练习题本章是初中几何数形结合的核心章节，实现几何图形与代数运算的深度结合，主要包含直角三角形三边关系（勾股定理）、直角三角形判定（勾股逆定理）、反证法、勾股定理的实际应用四大模块。本章知识是后续几何计算、折叠问题、最短路径、解直角三角形内容的基础。本套综合习题覆盖全章所有核心考点、重难点、高频易错点，题型分层梯度清晰，适配单元复习、随堂检测、期末基础巩固，配套标准详尽解析，帮助学生构建完整的勾股定理知识体系，熟练掌握公式运算、几何判定、实际建模与反证法推理。一、基础填空题（每空3分，共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边，则三边关系公式为________。2.勾股定理的逆定理：若三角形三边长a、b、c满足$$a^2+b^2=c^2$$，则该三角形为________三角形。3.常见勾股数：5、________、13；9、12、________。4.反证法三步解题步骤：反设、________、存真。5.立体图形最短路径问题，解题核心是将立体图形________，转化为平面直角三角形求解。6.直角三角形两直角边长为6、8，则斜边长为________，面积为________。7.用反证法证明“三角形中最多有一个直角”，第一步反设为________。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列各组数中，不属于勾股数的是（）A. 3、4、5 B. 6、8、10 C. 4、5、6 D. 7、24、252.已知直角三角形两边长为5、12，则第三边长为（）A. 13 B. $$\sqrt{119}$$ C. 13或$$\sqrt{119}$$ D.无法确定3.下列命题适合用反证法证明的是（）A.对顶角相等B.两直线平行，同位角相等C.三角形中至少有两个锐角D.两点之间线段最短4.圆柱表面最短路径的解题关键是（）A.直接测量B.侧面展开为长方形C.切割圆柱D.平移线段5.若三角形三边长为9、12、15，则该三角形最长边上的高为（）A. 7.2 B. 8 C. 9 D. 10三、基础解答题（每题10分，共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=9，b=12，求斜边c的长度和三角形周长。2.判断三边长为10、24、26的三角形是否为直角三角形，并说明理由。3.用反证法证明：在一个三角形中，不可能有两个钝角。四、综合应用题（20分）一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m。（1）求梯子顶端距离地面的高度；（2）若梯子顶端下滑4m，求梯子底端水平滑动的距离。参考答案与详细解析一、填空题1. $$a^2+b^2=c^2$$解析：勾股定理标准公式，仅适用于直角三角形。2.直角解析：勾股逆定理核心作用，通过三边数量关系判定直角三角形。3. 12；15解析：经典基础勾股数，是考试高频计算数组。4.归谬解析：反证法标准三步：反设、归谬、存真。5.展开解析：立体图形曲面无最短直线，展平为平面后利用勾股定理求最短路径。6. 10；24解析：斜边$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$，面积$$\frac12\times6\times8=24$$。7.假设三角形中有两个（或三个）直角解析：“最多一个”的反面为“至少两个”。二、选择题1. C解析：$$4^2+5^2\neq6^2$$，不满足勾股数条件。2. C解析：分类讨论：5、12均为直角边，第三边13；12为斜边、5为直角边，第三边$$\sqrt{119}$$。3. C解析：至多、至少、唯一性命题适合反证法，其余可直接证明。4. B解析：圆柱侧面展开为长方形，将立体路径转化为平面线段求解。5. A解析：三角形为直角三角形，面积$$\frac12\times9\times12=54$$，最长边15，高$$=54\times2\div15=7.2$$。三、解答题1.解析：由勾股定理得$$c=\sqrt{9^2+12^2}=15$$，周长$$=9+12+15=36$$。2.解析：最长边为26，$$10^2+24^2=100+576=676=26^2$$，满足勾股逆定理，该三角形是直角三角形。3.解析：反设：假设一个三角形中有两个钝角。归谬：钝角大于90°，两个钝角和大于180°，与三角形内角和为180°矛盾。存真：假设不成立，故三角形不可能有两个钝角。四、综合应用题解：（1）由勾股定理得，顶端高度$$=\sqrt{25^2-7^2}=24$$m。（2）顶端下滑4m后，高度为$$24-4=20$$m，此时底端距离墙面$$\sqrt{25^2-20^2}=15$$m，滑动距离$$=15-7=8$$m。答：（1）梯子顶端离地24m；（2）梯子底端水平滑动8m。全章核心易错总结：1.已知直角三角形两边求第三边，未说明边角位置必须分类讨论；2.混淆勾股定理（知形求边）与逆定理（知边判形）；3.反证法反设不完整、推理无明确矛盾；4.立体最短路径忘记展平图形；5.直角三角形求高不会活用等面积法；6.误将小数、分数当作勾股数。牢记核心：勾股定理专属直角三角形，解题优先构造直角模型，定理用途不混用，推理步骤规范完整。知识梳理
①平方　②面积　③直角三角形
④c　⑤正整数
1．勾股定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 　 .
即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c ，那么一定有　 　.
平方
a2＋b2＝c2
勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，
勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a、b (且 a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝_________；当 a 是斜边时，第三边 c＝_________.
注意事项 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边．
据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：
2．勾股定理的验证
∵四个直角三角形与中间的小正方形
拼成了一个大正方形，
∴4×ab＋(b－a)2＝c2，
∴a2＋b2＝c2.
3．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2＋b2＝ ，那么这个三角形是直角三角形．
利用此定理判定直角三角形的一般步骤：
(1) 确定最大边；
(2) 算出最大边的平方与另两边的　 　 ；
(3) 比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是　 　三角形．
平方和
直角
c2
4．勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个　 　数，称为勾股数，即满足 a2＋b2＝c2 的三个　 　数 a、b、c，称为勾股数．
[注意] 勾股数都是正整数．
正整
正整
5．勾股定理的应用
应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：
(1) 已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；
(2) 说明线段的平方关系问题；
(3) 在　 上作表示 等数的点的问题；
(4) 解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理．
直角
数轴
1．下列不能用来证明勾股定理的是(　　)
核心知识巩固
D
2. Rt△ABC中，斜边AB＝1，则AB2＋BC2＋AC2的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
B
3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(　　)
A．13 B．26 C．34 D．47
D
4. 【新题型】通过学习我们发现可以用“面积法”采用不同的方案去证明勾股定理，现有若干个如图所示的直角三角形可选用，请你拼出一个图形，并用你所拼的图形证明勾股定理．
解：(答案不唯一)拼出的图形如图所示．
由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积＝ (a＋b)(a＋b)，从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积和，即 ，两者列成等式为 (a＋b)(a＋b)＝ ，化简即可得a2＋b2＝c2.
5．已知a，b，c为△ABC的三边长，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是(　　)
A．a∶b∶c＝5∶12∶13
B．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
C．a＝9k，b＝40k，c＝41k(k＞0)
D．a＝7，b＝8，c＝9
D
6．下列各组数：①6，8，10；②1.5，2，2.5；③32，42，52；④70，240，250；⑤ ，1，其中是勾股数的是_______．(填序号)
①④
7．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则∠ABC＝________°.
135
8．[浙江绍兴模拟]如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°的方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15 n mile的速度前进，2 h后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，则乙船沿____________方向航行．
南偏东30°
9．如图，有一只小鸟从大树顶飞到小树顶上，它飞行的最短路程是________．
13 m
10．如图，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝3，BC＝3，BF＝2，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到棱CG的中点P处吃食物，则它爬行的最短路程是__________．
11.(跨学科·物理)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图①所示(AC⊥BC)，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6 dm，绳长(AB＋AC)为18 dm.(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮A、滑块B和物体C的大小忽略不计，都看作一点)
(1)求AB的长；
解：设AB＝x dm，则AC＝(18－x)dm.
在Rt△ABC中，
由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2，
即62＋(18－x)2＝x2，解得x＝10.
答：AB的长为10 dm.
(2)如图②，若滑块B水平向左滑动9 dm，求物体C上升的高度．
解：如图． 由题意，得BE＝9 dm，
AD＝18－10＝8(dm)，所以BD＝BE＋ED＝9＋6＝15(dm)．
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得AB＝
17－10＝7(dm)．
答：物体C上升的高度为7 dm.
12．用反证法证明“等腰三角形的底角小于90°”时，第一步应假设(　　)
A．底角大于90° B．底角等于90°
C．底角小于90° D．底角大于或等于90°
D
13.(方程思想)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上的点B′处，AE为折痕，则EB′＝______．
15
14. (分类讨论思想)在△ABC中，已知AB＝15，AC＝13，AD是BC上的高，且AD＝12，则△ABC的周长为_________．
42或32

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