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汕头市潮阳区金培学校2025-2026学年度第二学期九年级第一次中考模拟考试数学科试题
1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若超过警戒水位记作“”，则低于警戒水位可记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意，得超过警戒水位记作“”，则低于警戒水位可记作，
故答案为：C．
【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此解答即可．
2．水由水分子组成，水中约有个水分子，则水中有（　　）个水分子．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；科学记数法表示大于10的数；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：∵水中约有个水分子，，
∴，
∴水中有个水分子．
故答案为：B．
【分析】本题考查科学记数法、有理数乘方的应用，先将转换为，再利用有理数的乘方和同底数幂的乘方进行运算即可．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，选项A不符合题意；
B、，选项B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，选项C不符合题意；
D、，选项计算正确，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的乘法运算法则进行计算可判断选项A、B、D、根据二次根式加减法法则可判断选项C．
4．如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组合而成，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，看到的图形分为上中下三层，共3列，从左边数，最下面一层有1个小正方形，第2列中间一层有1个小正方形，第3列最上面一层有1个小正方形，即看到的图形如下：
，
故选：D．
【分析】根据题意从上面看，进而即可得到俯视图，再对应选项即可求解。
5．如图，点、分别是边、的中点，将沿着对折，点落在边上的点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵点、分别是边、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵是经过翻折变换得到的，
∴，
∴
．
故答案为：A．
【分析】根据题意可知DE是△ABC的中位线，由三角形的中位线平行于第三边可得DE∥BC，由二直线平行，同位角相等得∠ADE=∠B=50°，再由翻折变换的性质可知∠EDF=∠ADE=50°，最后由平角的性质即可求出∠BDF的度数.
6．某校开展安全知识竞赛，进入决赛的有名同学，他们的成绩分别是：，，，，，这名同学的决赛成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据，，，，，从大到小的排列顺序为：，，，，，，
中位数是第个，个数据的平均数即．
出现的次数最多，出现了次，
众数为；
故选：C．
【分析】根据中位数和众数的定义结合题意进行计算即可求解。
7．某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程，则x表示的意义是（　　）
A．该厂二月份的增长率
B．该厂三月份的增长率
C．该厂一、二月份平均每月的增长率
D．该厂二、三月份平均每月的增长率
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：二月份生产口罩万箱，三月份生产口罩万箱，
∴中，x表示的意义是该厂二、三月份平均每月的增长率．
故答案为：D．
【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据所列方程，可找出该厂2月份生产口罩万箱，3月份生产口罩万箱，进而可得出x表示该厂二、三月份平均每月的增长率．
8．甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，下列说法中错误的是（　　）
A．甲步行的速度为60米/分
B．乙走完全程用了30分钟
C．乙用16分钟追上甲
D．乙到达终点时，甲离终点还有360米
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知：
甲步行的速度为：米/分，故A选项不符合题意；
乙走完全程用的时间为：
（分钟），故B选项不符合题意；
乙追上甲用的时间为：（分钟），故C选项符合题意；
乙到达终点时，甲离终点的距离是：
（米），故D选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查函数图象，①根据速度=路程÷时间计算即可；②根据时间=路程÷速度计算即可；③根据（分钟）即可；④根据“起点与终点之间的距离-当乙到达终点时，甲走过的路程”列式计算即可．
9．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设的半径为r，如图，设与的切点分别为D，E，F，连接，
∵在中，，，，
∴，
∵是的内切圆，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵是的内切圆，
∴，分别平分，
∴，解得：，
∵，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是．
故答案为：C.
【分析】先证明四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，然后三角形的内切圆的性质，可得到，，从而求得，最后根据扇形面积公式计算．
10．如图，在矩形中，点E是上一点，连结交对角线于F．若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接交于点O，
四边形是矩形，
，，，，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
而，
∴．
故答案为：D．
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，连接交于点O，由四边形是矩形，可证明，通过证明可得，由可证明，得出，继而设，在和中，由勾股定理得到，求出，最后求出．
11．　 　.
【答案】
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先代入特殊角的三角函数值后，先算乘方运算，再利用有理数的减法法则进行计算，求出结果.
12．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查因式分解，先将原式变形为，然后再提取公因式即可解答．
13．三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是　 　．
【答案】
【知识点】坐标系中的两点距离公式；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，
∴，
，，，
∵与是位似图形，
∴，
∴，
∴与的位似比是：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查求位似比，分别根据两点间距离公式求出，，，，再由与是位似图形可得，故可求出位似比．
14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：是关于的一元二次方程，
故，则，
，，，
则，
解得：；
综上所述，可得且；
故答案为：且
【分析】根据一元二次方程的定义结合题意得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得到，从而即可求解。
15．若二次函数的图象关于轴对称的图象的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】列二次函数关系式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：设对称后图象上任意一点坐标为，则该点关于轴的对称点一定在原二次函数图象上；
将代入原解析式，得 ，
整理后得到对称后的解析式：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解．
16．下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务：
解：方程两边同乘，得 第一步
第二步
第三步
检验，当时，
所以，是分式方程的解 第四步
任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请写出该题的正确解题过程．
【答案】任务一：一，漏乘了；
任务二：该题的正确解题过程如下：
，
去分母得，
，
去括号得，
移项、合并同类项得，
，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：任务一：上述解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是漏乘了，
故答案为：一，漏乘了；
【分析】任务一：根据等式的性质进行判断即可求出答案.
任务二：去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
17．如图，内接于，且为的直径，过点C作的切线，交的延长线于点D．已知求的长．
【答案】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】连接，先根据切线的性质得到，进而结合等腰三角形的性质求出∠COD的度数，从而解直角三角形即可得到OC，再根据等边三角形的判定与性质结合题意即可求解。
18．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为，
又知抛物线过点，
所以，
解得，
∴；
（2）解：这辆货车能安全通过，理由如下：
根据题意，把代入解析式，得．
∵，
∴这辆货车能安全通过．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）根据题意可知B（-8，6），C（0.8），B1（8，6），利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可知，由图形的对称性可知，只需判断当时，y的值是否大于7，若大于7则货运汽车能安全通过．
（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点，
所以，
解得，
∴；
（2）略
19．如图，在中，连接对角线，分别作和的中线、．
（1）求证：；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论．
①；②．
我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）证明：，
，，
、分别是和的中线，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：若选择条件①，则四边形是矩形．理由如下：
，是的中线，
，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
若选择条件②，则四边形是菱形．理由如下：
，是的中线，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、矩形与菱形的判定，结合中线定义通过边的关系推导四边形形状。
（1）先由平行四边形的性质，得到与平行且长度相等；再根据中线的定义，、分别为、的中点，因此和分别等于、的一半，可推得与平行且长度相等；由此可判定四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，即可得到。
（2）若选择条件①，则为等腰三角形，是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得，即；结合已证的四边形是平行四边形，根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”，即可判定其形状。若选择条件②，则为直角三角形，是斜边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得；结合已证的四边形是平行四边形，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可判定其形状。
（1）证明：，
，，
、分别是和的中线，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：若选择条件①，则四边形是矩形．理由如下：
，是的中线，
，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
若选择条件②，则四边形是菱形．理由如下：
，是的中线，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
20．第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其它”，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了_______名学生，的值为_______；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？
（4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．
【答案】（1）50，30
（2）解：补全图形如下：
（3）解：
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名；
（4）解：因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次调查的学生人数为（人）；
D类的人数为（人）．
，
∴，
故答案为：50；30；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜欢阅读A类的人数除以其所占的百分比即可求出本次调查的总人数； 用总人数减去喜欢阅读A、B、C、E类图书的人数得到D类的人数，进而用喜欢阅读D类图书的人数除以总人数，即可得出m的值；
（2）根据（1）计算的喜欢阅读D类图书的人数，即可补全条形统计图；
（3）用该学校总人数乘以样本中喜欢阅读B文学艺术类图书的学生人数所占的百分比即可估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生人数；
（4）开放性命题，根据统计图表提供的信息，说的合理即可.
（1）解：这次调查的学生人数为（人）；
D类的人数为（人）．
，
∴，
故答案为：50；30；
（2）解：补全图形如下：
（3）解：
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名；
（4）解：因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等.
21．【材料阅读】：
光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．
【问题解答】：
如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，MN是法线， 测得折射角，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料解决下列问题：（参考数据：，，）
（1） =______；
（2）求的长．（结果精确到cm）
【答案】（1）
（2），，
∴在中，，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
答：的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
，
∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．
∴，
；
∴
故答案为：.
【分析】本题结合光的折射物理背景，考查解直角三角形的应用，需利用折射率公式与锐角三角函数的定义逐步计算。
（1）先在中，已知折射角和对边的长度，利用正切函数，代入数值计算即可求出的长度。再根据折射率的定义，入射角为，折射角为，代入与的数值，计算得到的值；最后根据对顶角相等，与大小相等，即可得到的值。
（2）在中，由，根据正弦函数的定义设，，再由勾股定理表示出；结合第一问求出的的长度列方程，解出的值后即可得到的长度；最后用的长度减去的长度，即可求出的长度。
（1）解：在中，，，
，
∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．
∴，
；
∴
（2），
，
∴在中，，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
答：的长约为．
22．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
（1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为　 　；
（2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值；
（3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值；
（4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为　 　．
【答案】（1）
（2）解：如图，过点作于点，与的交点为，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
；
故答案为.
（3）解：如图，过点作于点，与的交点为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
故答案为.
（4）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】解：（1）如图，令与的交点为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（4）如图，连接、，
由折叠的性质可知，，，，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
同（2）理可得：，即，
，
作点关于的对称点，连接、、，
，，，
，
当、、三点共线时，有最小值为的长，
，
有最小值为，
的最小值为．
【分析】（1）令与的交点为，根据正方形的性质证明， 通过角的关系证明三角形全等，得出线段相等 即可求解；
（2）过点作于点，与的交点为，证明四边形是矩形，
得到，，再证明，即可求出的值；
（3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值；
（4）连接、，利用折叠的性质，证明，得到，同（2）理可得：，即，则，作点关于的对称点，连接、、，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得到的最小值．
（1）解：如图，令与的交点为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，与的交点为，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，与的交点为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
；
（4）解：如图，连接、，
由折叠的性质可知，，，，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
同（2）理可得：，即，
，
作点关于的对称点，连接、、，
，，，
，
当、、三点共线时，有最小值为的长，
，
有最小值为，
的最小值为．
23．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：
（1）设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；
（2）证明：．
（3）如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
【答案】（1）解：设直线的函数表达式为，由题意得：，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，，
把点代入得：，
∴直线的函数表达式为，
∵的坐标满足，
∴点Q在直线上；
（2）解：连接，交于点S，
由题意得四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
∴，
∵轴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵直线与反比例函数交于点C，∴，解得：或（舍去），
∴，
∴，
当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例与点F，作，连接，与交于点H，，，
，
作于I，则，，，
，
则，，
即，
同理，当D点在上方时，有．
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】本题以“三等分角”的帕普斯方法为背景，综合考查反比例函数的坐标特征、矩形的判定与性质、三角形外角定理以及一次函数与反比例函数的交点计算。
（1）根据“过作轴平行线、过作轴平行线交于”的作图特征，点的横坐标与点一致，纵坐标与点一致，由此可直接写出点坐标；设直线为正比例函数，将点坐标代入即可求出斜率，得到直线的解析式；再将点的横纵坐标代入解析式，验证等式是否成立，即可判断点在直线上。
（2）连接交于点，先由四边形的四个内角均为直角，判定其为矩形；根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得，且，，因此，可推出底角；结合三角形外角定理，可得。由作图条件，可推得，即为等腰三角形，因此。再由平行于轴，根据平行线内错角相等可得，最终推导得，即。
（3）先联立与，求解得到点的坐标，再由勾股定理算出的长度。按照材料中的三等分角方法，分在下方和在上方两种情况讨论：以为圆心、为半径作弧，交反比例函数图象于点，构造对应矩形后利用三等分角的结论得到30°角关系，结合含30°角的直角三角形边长比例求出点坐标，进而得到对应直线的解析式；联立直线解析式与反比例函数解析式，求解即可得到点坐标，两种情况的结果互为横纵坐标交换。
1 / 1汕头市潮阳区金培学校2025-2026学年度第二学期九年级第一次中考模拟考试数学科试题
1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若超过警戒水位记作“”，则低于警戒水位可记作（　　）
A． B． C． D．
2．水由水分子组成，水中约有个水分子，则水中有（　　）个水分子．
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体组合而成，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，点、分别是边、的中点，将沿着对折，点落在边上的点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．某校开展安全知识竞赛，进入决赛的有名同学，他们的成绩分别是：，，，，，这名同学的决赛成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
7．某厂1月份生产口罩60万箱，第一季度生产口罩共200万箱，一位同学根据题意列出了方程，则x表示的意义是（　　）
A．该厂二月份的增长率
B．该厂三月份的增长率
C．该厂一、二月份平均每月的增长率
D．该厂二、三月份平均每月的增长率
8．甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，下列说法中错误的是（　　）
A．甲步行的速度为60米/分
B．乙走完全程用了30分钟
C．乙用16分钟追上甲
D．乙到达终点时，甲离终点还有360米
9．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，点E是上一点，连结交对角线于F．若，，则（　　）
A． B． C． D．
11．　 　.
12．因式分解：　 　．
13．三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是　 　．
14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围　 　．
15．若二次函数的图象关于轴对称的图象的解析式为　 　．
16．下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务：
解：方程两边同乘，得 第一步
第二步
第三步
检验，当时，
所以，是分式方程的解 第四步
任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：请写出该题的正确解题过程．
17．如图，内接于，且为的直径，过点C作的切线，交的延长线于点D．已知求的长．
18．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一大型货运汽车装载某大型设备后高为，宽为．若该隧道内设单向两车行车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由．
19．如图，在中，连接对角线，分别作和的中线、．
（1）求证：；
（2）从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论．
①；②．
我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
20．第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其它”，并将调查情况绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了_______名学生，的值为_______；
（2）补全条形统计图；
（3）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？
（4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．
21．【材料阅读】：
光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．
【问题解答】：
如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，MN是法线， 测得折射角，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料解决下列问题：（参考数据：，，）
（1） =______；
（2）求的长．（结果精确到cm）
22．某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
（1）【初探猜想】如图1，在正方形中，点E、F分别是、上的点，连接、，若，则线段与的数量关系为　 　；
（2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上的点，点是边上一点，连接、，若，求的值；
（3）【知识迁移】如图3，在四边形中，，点E、F分别在线段、上，且，连接，若，，求的值；
（4）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿翻折，点的对应点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为　 　．
23．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：
（1）设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；
（2）证明：．
（3）如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意，得超过警戒水位记作“”，则低于警戒水位可记作，
故答案为：C．
【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此解答即可．
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；科学记数法表示大于10的数；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解：∵水中约有个水分子，，
∴，
∴水中有个水分子．
故答案为：B．
【分析】本题考查科学记数法、有理数乘方的应用，先将转换为，再利用有理数的乘方和同底数幂的乘方进行运算即可．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，选项A不符合题意；
B、，选项B不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，选项C不符合题意；
D、，选项计算正确，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的乘法运算法则进行计算可判断选项A、B、D、根据二次根式加减法法则可判断选项C．
4．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，看到的图形分为上中下三层，共3列，从左边数，最下面一层有1个小正方形，第2列中间一层有1个小正方形，第3列最上面一层有1个小正方形，即看到的图形如下：
，
故选：D．
【分析】根据题意从上面看，进而即可得到俯视图，再对应选项即可求解。
5．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵点、分别是边、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵是经过翻折变换得到的，
∴，
∴
．
故答案为：A．
【分析】根据题意可知DE是△ABC的中位线，由三角形的中位线平行于第三边可得DE∥BC，由二直线平行，同位角相等得∠ADE=∠B=50°，再由翻折变换的性质可知∠EDF=∠ADE=50°，最后由平角的性质即可求出∠BDF的度数.
6．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：数据，，，，，从大到小的排列顺序为：，，，，，，
中位数是第个，个数据的平均数即．
出现的次数最多，出现了次，
众数为；
故选：C．
【分析】根据中位数和众数的定义结合题意进行计算即可求解。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：二月份生产口罩万箱，三月份生产口罩万箱，
∴中，x表示的意义是该厂二、三月份平均每月的增长率．
故答案为：D．
【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据所列方程，可找出该厂2月份生产口罩万箱，3月份生产口罩万箱，进而可得出x表示该厂二、三月份平均每月的增长率．
8．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图可知：
甲步行的速度为：米/分，故A选项不符合题意；
乙走完全程用的时间为：
（分钟），故B选项不符合题意；
乙追上甲用的时间为：（分钟），故C选项符合题意；
乙到达终点时，甲离终点的距离是：
（米），故D选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查函数图象，①根据速度=路程÷时间计算即可；②根据时间=路程÷速度计算即可；③根据（分钟）即可；④根据“起点与终点之间的距离-当乙到达终点时，甲走过的路程”列式计算即可．
9．【答案】C
【知识点】三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设的半径为r，如图，设与的切点分别为D，E，F，连接，
∵在中，，，，
∴，
∵是的内切圆，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵是的内切圆，
∴，分别平分，
∴，解得：，
∵，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积是．
故答案为：C.
【分析】先证明四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，然后三角形的内切圆的性质，可得到，，从而求得，最后根据扇形面积公式计算．
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接交于点O，
四边形是矩形，
，，，，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
而，
∴．
故答案为：D．
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，连接交于点O，由四边形是矩形，可证明，通过证明可得，由可证明，得出，继而设，在和中，由勾股定理得到，求出，最后求出．
11．【答案】
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先代入特殊角的三角函数值后，先算乘方运算，再利用有理数的减法法则进行计算，求出结果.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查因式分解，先将原式变形为，然后再提取公因式即可解答．
13．【答案】
【知识点】坐标系中的两点距离公式；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，
∴，
，，，
∵与是位似图形，
∴，
∴，
∴与的位似比是：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查求位似比，分别根据两点间距离公式求出，，，，再由与是位似图形可得，故可求出位似比．
14．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：是关于的一元二次方程，
故，则，
，，，
则，
解得：；
综上所述，可得且；
故答案为：且
【分析】根据一元二次方程的定义结合题意得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得到，从而即可求解。
15．【答案】
【知识点】列二次函数关系式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：设对称后图象上任意一点坐标为，则该点关于轴的对称点一定在原二次函数图象上；
将代入原解析式，得 ，
整理后得到对称后的解析式：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解．
16．【答案】任务一：一，漏乘了；
任务二：该题的正确解题过程如下：
，
去分母得，
，
去括号得，
移项、合并同类项得，
，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：任务一：上述解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是漏乘了，
故答案为：一，漏乘了；
【分析】任务一：根据等式的性质进行判断即可求出答案.
任务二：去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
17．【答案】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】连接，先根据切线的性质得到，进而结合等腰三角形的性质求出∠COD的度数，从而解直角三角形即可得到OC，再根据等边三角形的判定与性质结合题意即可求解。
18．【答案】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为，
又知抛物线过点，
所以，
解得，
∴；
（2）解：这辆货车能安全通过，理由如下：
根据题意，把代入解析式，得．
∵，
∴这辆货车能安全通过．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）根据题意可知B（-8，6），C（0.8），B1（8，6），利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可知，由图形的对称性可知，只需判断当时，y的值是否大于7，若大于7则货运汽车能安全通过．
（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点，
所以，
解得，
∴；
（2）略
19．【答案】（1）证明：，
，，
、分别是和的中线，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：若选择条件①，则四边形是矩形．理由如下：
，是的中线，
，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
若选择条件②，则四边形是菱形．理由如下：
，是的中线，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、矩形与菱形的判定，结合中线定义通过边的关系推导四边形形状。
（1）先由平行四边形的性质，得到与平行且长度相等；再根据中线的定义，、分别为、的中点，因此和分别等于、的一半，可推得与平行且长度相等；由此可判定四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，即可得到。
（2）若选择条件①，则为等腰三角形，是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得，即；结合已证的四边形是平行四边形，根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”，即可判定其形状。若选择条件②，则为直角三角形，是斜边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得；结合已证的四边形是平行四边形，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可判定其形状。
（1）证明：，
，，
、分别是和的中线，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：若选择条件①，则四边形是矩形．理由如下：
，是的中线，
，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形；
若选择条件②，则四边形是菱形．理由如下：
，是的中线，
，
由（1）得，四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形．
20．【答案】（1）50，30
（2）解：补全图形如下：
（3）解：
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名；
（4）解：因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次调查的学生人数为（人）；
D类的人数为（人）．
，
∴，
故答案为：50；30；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用喜欢阅读A类的人数除以其所占的百分比即可求出本次调查的总人数； 用总人数减去喜欢阅读A、B、C、E类图书的人数得到D类的人数，进而用喜欢阅读D类图书的人数除以总人数，即可得出m的值；
（2）根据（1）计算的喜欢阅读D类图书的人数，即可补全条形统计图；
（3）用该学校总人数乘以样本中喜欢阅读B文学艺术类图书的学生人数所占的百分比即可估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生人数；
（4）开放性命题，根据统计图表提供的信息，说的合理即可.
（1）解：这次调查的学生人数为（人）；
D类的人数为（人）．
，
∴，
故答案为：50；30；
（2）解：补全图形如下：
（3）解：
答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名；
（4）解：因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等.
21．【答案】（1）
（2），，
∴在中，，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
答：的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
，
∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．
∴，
；
∴
故答案为：.
【分析】本题结合光的折射物理背景，考查解直角三角形的应用，需利用折射率公式与锐角三角函数的定义逐步计算。
（1）先在中，已知折射角和对边的长度，利用正切函数，代入数值计算即可求出的长度。再根据折射率的定义，入射角为，折射角为，代入与的数值，计算得到的值；最后根据对顶角相等，与大小相等，即可得到的值。
（2）在中，由，根据正弦函数的定义设，，再由勾股定理表示出；结合第一问求出的的长度列方程，解出的值后即可得到的长度；最后用的长度减去的长度，即可求出的长度。
（1）解：在中，，，
，
∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．
∴，
；
∴
（2），
，
∴在中，，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
答：的长约为．
22．【答案】（1）
（2）解：如图，过点作于点，与的交点为，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
；
故答案为.
（3）解：如图，过点作于点，与的交点为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
故答案为.
（4）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】解：（1）如图，令与的交点为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（4）如图，连接、，
由折叠的性质可知，，，，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
同（2）理可得：，即，
，
作点关于的对称点，连接、、，
，，，
，
当、、三点共线时，有最小值为的长，
，
有最小值为，
的最小值为．
【分析】（1）令与的交点为，根据正方形的性质证明， 通过角的关系证明三角形全等，得出线段相等 即可求解；
（2）过点作于点，与的交点为，证明四边形是矩形，
得到，，再证明，即可求出的值；
（3）由勾股定理，得出，再根据三角形的面积，得出，然后证明，即可求出的值；
（4）连接、，利用折叠的性质，证明，得到，同（2）理可得：，即，则，作点关于的对称点，连接、、，则当、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得到的最小值．
（1）解：如图，令与的交点为，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，与的交点为，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，与的交点为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
；
（4）解：如图，连接、，
由折叠的性质可知，，，，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
同（2）理可得：，即，
，
作点关于的对称点，连接、、，
，，，
，
当、、三点共线时，有最小值为的长，
，
有最小值为，
的最小值为．
23．【答案】（1）解：设直线的函数表达式为，由题意得：，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，，
把点代入得：，
∴直线的函数表达式为，
∵的坐标满足，
∴点Q在直线上；
（2）解：连接，交于点S，
由题意得四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
∴，
∵轴，
∴，
∴，即．
（3）解：∵直线与反比例函数交于点C，∴，解得：或（舍去），
∴，
∴，
当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例与点F，作，连接，与交于点H，，，
，
作于I，则，，，
，
则，，
即，
同理，当D点在上方时，有．
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；矩形的判定与性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】本题以“三等分角”的帕普斯方法为背景，综合考查反比例函数的坐标特征、矩形的判定与性质、三角形外角定理以及一次函数与反比例函数的交点计算。
（1）根据“过作轴平行线、过作轴平行线交于”的作图特征，点的横坐标与点一致，纵坐标与点一致，由此可直接写出点坐标；设直线为正比例函数，将点坐标代入即可求出斜率，得到直线的解析式；再将点的横纵坐标代入解析式，验证等式是否成立，即可判断点在直线上。
（2）连接交于点，先由四边形的四个内角均为直角，判定其为矩形；根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得，且，，因此，可推出底角；结合三角形外角定理，可得。由作图条件，可推得，即为等腰三角形，因此。再由平行于轴，根据平行线内错角相等可得，最终推导得，即。
（3）先联立与，求解得到点的坐标，再由勾股定理算出的长度。按照材料中的三等分角方法，分在下方和在上方两种情况讨论：以为圆心、为半径作弧，交反比例函数图象于点，构造对应矩形后利用三等分角的结论得到30°角关系，结合含30°角的直角三角形边长比例求出点坐标，进而得到对应直线的解析式；联立直线解析式与反比例函数解析式，求解即可得到点坐标，两种情况的结果互为横纵坐标交换。
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