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1.2 二次函数的图象
一、单选题
1．二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向上，直线x＝4，（4，5）
B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）
C．向上，直线x＝4，（4，﹣5）
D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）
2．将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（　　）
A． B． C． D．
3．抛物线 的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1）
C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
4．将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，抛物线 经过变换后得到抛物线 ，则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
二、填空题
6．如果将抛物线 向上平移，使它经过点 ，那么所得新抛物线的表达式是　 　.
7．将抛物线y（x+1）2﹣3向右平移1个单位，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为　 　.
8．将二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数解析式是　 　.
9．已知抛物线y=-x2+2x的顶点坐标是　 　.
三、解答题
10．已知函数，求这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴．
四、复合题
11．如图，抛物线 向右平移 个单位得到抛物线 .回答下列问题：
（1）抛物线 的顶点坐标是　 　.
（2）求阴影部分的面积；
（3）若再将抛物线 绕原点O旋转 得到抛物线 ，则抛物线 开口方向　 　，顶点坐标是　 　.
12．如图①，已知抛物线 经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数y＝（x+4）2+5，
∵
∴该函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5），
故答案为：D.
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k中，当a>0时，开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），据此判断.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】将 化为顶点式，得 .将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ，
故答案为：B.
【分析】由题意先将抛物线的解析式根据公式y=a(x+)2+配成顶点式，再根据平移规律“左加右减、上加下减”可求解。
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】抛物线 的顶点坐标是（3，1）.
故答案为：A.
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是，即．
故答案为：A．
【分析】 根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）.
y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）.
所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），
故答案为：B.
【分析】由题意先将抛物线的解析式根据公式y=a(x+)2+配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”即可求解.
6．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x-1+b，
把A（0，3）代入，得
3=-1+b，
解得b=4，
则该函数解析式为y=x2+2x+3.
故答案为：y=x2+2x+3.
【分析】根据平移规律上加下减可得平移后的解析式为y=x2+2x-1+b，然后把（0，3）代入平移后的解析式计算即可求解.
7．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y（x+1）2﹣3向右平移1个单位，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为，化简得：.
故答案为：.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
8．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y=x2+2x1=（x+1）22，
∴二次函数y=x2+2x1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：
y=（x+12）22=（x1）22.
故答案为：.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c，据此解答.
9．【答案】(1，1)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：因为抛物线的对称轴为：x= =1，
将x=1代入y=-x2+2x得：y=-1+2=1
即抛物线的顶点坐标为（1，1）.
【分析】先求出对称轴，将对称轴代入解析式中求出y值，即得结论.
10．【答案】开口方向向上，顶点坐标是，对称轴为直线
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
11．【答案】（1）(1，3)
（2）解：如图所示，根据平移前后图形的全等性，图中阴影部分的面积等于平行四边形 的面积.
，
即阴影部分的面积等于3.
（3）向上；(-1，-3)
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；平行四边形的面积；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y1=-x2+3向右平移1个单位得到的抛物线y2，
∴抛物线y2的顶点坐标为（1，3）.
故答案为：（1，3）；
（3）∵将抛物线y2绕原点O旋转180°后，得到抛物线y3的顶点坐标为：（-1，-3），
∴抛物线y3的解析式为y3=（x+1）2-3，开口方向向上.
故答案为：向上，（-1，-2）.
【分析】（1）抛物线y1=-x2+3的顶点坐标为（0，3），将其向右平移1个单位可得到抛物线y2的顶点坐标；
（2）根据平移前后图形的全等性，图中阴影部分的面积等于平行四边形ABCD的面积，据此求解；
（3）易得抛物线y3的顶点坐标为：（-1，-3），据此可得其解析式，进而确定出开口方向.
12．【答案】（1）解：∵抛物线 经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴ ，解得 。
∴抛物线的函数表达式为
（2）解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2。
（3）解：如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1。
又由平移的性质知，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
而平行四边形A′APP′的面积=1×2=2。
∴阴影部分的面积=2。
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）将点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，建立关于a、b、c的三元一次方程组，求出方程组的解，就可得出函数解析式。
（2）将（1）中的函数解析式配方转化为顶点式，就可得出此抛物线的顶点坐标及对称轴。
（3）根据已知画出函数图象，就可求出PP′的长， 再根据平移的性质，可得出阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，利用平时四边形的面积公式可求解。
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