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2.3 用频率估计概率
一、单选题
1．笑笑和妈妈买了包核桃牛奶和包红枣牛奶，这些牛奶外观除了包装袋上的字不同外，其他均相同，现将它们装在一个不透明的盒子里，笑笑每次从盒子中随机摸出一袋牛奶，记下口味后放回盒子中搅匀，通过大量重复试验后发现，摸到核桃牛奶的频率稳定于，则估计的值为（　　）
A． B． C． D．
2．一个不透明的盒子里装有120个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3，那么估计盒子中红球的个数为（　　）
A．36 B．48 C．70 D．84
3． 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为，该事件的概率为．下列说法正确的是（　　）
A．试验次数越多，越大
B．试验次数越多，越大
C．与都可能发生变化
D．试验次数大量增加时，在附近摆动，并趋于稳定
4．某射击运动员在同一条件下射击，结果如表所示：根据频率的稳定性，这名运动员射击一次击中靶心的概率约是（　　）
射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000
击中靶心的次数m 8 17 40 79 158 390 780
击中靶心的频率
A． B． C． D．
5．在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有4个红球，每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后发现摸到红球的频率稳定在，因此可以估算出m的值大约是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．20
二、填空题
6．晓刚用瓶盖设计了一个游戏：任意掷出一个瓶盖，如果盖面朝上则甲胜，如果盖面朝下则乙胜，你认为这个游戏　 　（是否公平）；如果以硬币代替瓶盖，同样做上述游戏，你认为这个游戏　 　（是否公平）．
7．瑞安某服装厂对一批服装质量抽检情况如下：
抽检件数（件） 10 100 200 500 1000
正品件数（件） 10 97 194 475 950
根据表格中的数据，从这批服装中任选一件是正品的概率约为　 　.
8．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了表格，则该结果发生的概率约为　 　（精确到0.01）．
试验次数 100 500 1000 2000 4000
频率 0.37 0.32 0.34 0.339 0.333
9．一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子可能有　 　 颗．
10．第24届世界冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日在中国北京市和河北省张家口市联合举行，其会徽为“冬梦”，这是中国历史上首次举办冬季奥运会．如图，是一幅印有北京冬奥会会徽且长为3m，宽为2m的长方形宣传画，为测量宣传画上会徽图案的面积，现将宣传画平铺，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，由此可估计宣传画上北京冬奥会会徽图案的面积约为　 　．
三、解答题
11．查阅相关资料，了解概率论的发展历史和成就，并在班级内分享。
12．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格：
抽取件数(件) 50 100 200 300 500 1000
合格频数 49 94 192 285 m 950
合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n
（1）表格中 m 的值为　 　，n的值为　 　；
（2）估计任抽一件该产品是不合格品的概率；
（3）该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了 460件产品，估计要在他的奖金中扣除多少元的材料损失费.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
经检验，为原方程的解且符合题意，
∴估计的值为．
故答案为：B．
【分析】利用“ 摸到核桃牛奶的频率稳定于 ”列出方程，再求解即可.
2．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：盒子中黄球的个数约为120×0.3=36个，
则盒子中红球的个数为120﹣36=84个.
故答案为：D.
【分析】利用黄球的个数除以摸到黄球的频率可得球的总数，减去黄球的个数即为红球的个数.
3．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵ 概率P是常数，不随试验次数改变；
频率f随试验次数增加而逐渐稳定于P附近.
∴ 选项D正确.
故答案为：D .
【分析】概率P是固定值，频率f随试验次数增加在P附近波动并趋于稳定.
4．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据射击总次数越大，击中靶心的频率的稳定在0.78，
所以估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是，
故选：A．
【分析】利用频率估计概率求解；
5．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意得，=，
解得，m=20．
故选D．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答．
6．【答案】不公平；公平
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】因为瓶盖不是均匀的，故盖面朝上和盖面朝下的机会不是均等的；故这个游戏不公平．如果以硬币代替瓶盖，因为硬币是均匀的，故正面与反面向上机会相等；故这个游戏公平．
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．根据实际情况即可解答．瓶盖不是均匀的，而硬币均匀，所以两种情况不一样．
7．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】正品的概率=(10+97+194+475+950) ÷(10+100+200+500+1000)= 0.95.
【分析】用正品数分别除以抽检件数得到正品的频率.
8．【答案】0.33
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据某一结果出现的频率统计表，估计在一次实验中该结果出现的概率为0.33，
故答案为：0.33．
【分析】由表中数据可判断频率在0.33左右摆动，于是利用频率估计概率可判断该结果发生的概率为0.33．
9．【答案】14
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得n=14．
故估计盒子中黑珠子大约有14个．
故答案为：14．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
10．【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意可得：长方形的面积为，
∵骰子落在会徽图案上的频率稳定在0.15左右，
∴会徽图案的面积为：，
故答案为：0.9．
【分析】利用频率估计概率以及概率的应用，即可得出会徽图案的面积。
11．【答案】解：起源与早期发展：概率论起源于17世纪的赌博问题研究，当时数学家帕斯卡和费马通过通信讨论了这一问题，奠定了概率论的基础。早期的概率论主要关注的是等可能性问题的计算，例如掷骰子和抽牌等。
古典概率论的建立：18世纪，概率论作为一门独立的数学分支开始形成，这一时期的代表人物包括伯努利家族、棣莫弗等，他们对概率论的基础理论进行了深入研究，提出了概率的古典定义，并发展了大数定律等重要理论。
概率论的近代发展：19世纪，概率论进入了快速发展阶段，尤其是高斯对正态分布的研究，以及泊松对泊松分布的研究，使得概率论在自然科学中的应用更加广泛。这一时期，概率论开始与统计学紧密结合，形成了数理统计的基础。
现代概率论的形成：20世纪初，概率论进一步发展成为现代概率论，主要代表人物有柯尔莫哥洛夫，他提出了概率论的公理化体系，奠定了现代概率论的理论基础。这一时期的概率论不仅在数学上有了长足的进步，而且在物理学、经济学、工程学等领域也得到了广泛的应用。
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】本题要求学生查阅关于概率论的发展历史及其成就的资料，并在班级内分享。这不仅考察学生的资料搜集能力，也考验学生的信息整理与分享能力。需要学生能够准确把握概率论的发展脉络，了解其在数学领域的地位和贡献。
12．【答案】（1）475；0.95
（2）解：由表格可知，合格频率越来越稳定在0.95左右，
答：任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05
（3）解：460×0.05×2=46(元)。
答：估计要在他奖金中扣除46元
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：(1)表格中m的值为500×0.95=475；n=，
故答案为： 475；0.95；
【分析】(1)根据频率=频数÷总数求解即可；
(2)用1减去合格品频率的稳定值即可.
(3)总数量乘以不合格品的概率，再乘以每件的损失费即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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