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第1章 二次函数
一、单选题
1．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）
A．y=（x-1）2+2 B．y=（x+1）2+2
C．y=x2+1 D．y=x2+3
2．关于二次函数，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象开口向下 B．函数图象的顶点坐标为
C．该函数有最小值，最小值为3 D．当，y随x的增大而减小
3．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
4．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象一定经过的点是（　　）
A．（0，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，4）
5．对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．当时，的值随值的增大而减小
B．当时，的值随值的增大而减小
C．的值随值的增大而减小
D．的值随值的增大而增大
6．抛物线 与坐标轴的交点个数为 (　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空题
7．若抛物线上的顶点坐标为，则的值为　 　．
8．若点A（1，y1），B（4，y2）都在二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1　 　y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
9．将抛物线y1=x2﹣2x﹣1先向右平移2个为单位，再向下平移1个单位得到抛物线y2，则抛物线y2的顶点坐标是　 　．
10．抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，那么　 　0．（填“>”或“<”）
11．已知二次函数y=（m-3）x2的图象开口向下，则m的取值范围是　 　
12．若二次函数 的图像经过（2，0），且其对称轴为直线x=-1，则当函数值y>0成立时，x的取值范围是　 　.
三、计算题
13．计算题
（1）解方程：x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0；
（2）利用配方法求抛物线y=﹣x2+4x﹣3的对称轴和顶点坐标．
14．已知．
（1）化简T；
（2）若点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，求T的值．
四、解答题
15．已知二次函数（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点，求a的值；
（2）在（1）的条件下，当时，直接写出y的取值范围： ．
16．已知二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3），且图象过点（﹣3，﹣2），求这个二次函数的解析式．
17．已知二次函数中的，满足下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 ■ 3 …
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）直接写出当时，的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y=x2+2-1，即y=x2+1．
故答案为：C
【分析】根据抛物线图像的几何变换规律：“上加下减，左加右减”，从而得出答案。
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，该函数有最小值，最小值为3，当，y随x的增大而增大；
综上，只有选项C说法正确；
故选C．
【分析】
本题考查二次函数的图象和性质，对于二次函数形式 y=a（x-h）2+k ：（h，k）是顶点坐标， 开口方向由系数 a 决定（ a＞0 开口向上， a＜0 开口向下），最小值或最大值由顶点给出，增减性由开口方向及对称轴决定，分析这些性质，即可判断出正确的选项.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到.
故答案为：D.
【分析】抛物线经过平移后，a的值不会发生改变，据此判断.
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】根据二次函数图象上点都满足二次函数解析式，将各选项中点的坐标代入验证：
A：当x=0时，y=-2≠2，故点（0，2）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意；
B：当x=2时，y=-2，故点（2，-2）在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，满足题意；
C：当x=1时，y=0≠-2，故点（1，-2）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意；
D：当x=-1时，y=-8≠4，故点（-1，4）不在抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2 上，不满足题意；
故答案为：B.
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，依次将选项中的点代入抛物线解析式验证即可.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为轴，
∴当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；
故选：B．
【分析】根据二次函数的图象，性质与系数的关系即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时，y=0+0=0，
当y=0时，即，
解得：x=2或x=0，
则抛物线 与坐标轴的交为（0，0）或（2，0）.
故答案为：B.
【分析】 分别计算与x轴和y轴的交点， 进而得出答案.
7．【答案】1
【知识点】二次函数的最值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵抛物线上的顶点坐标为，
∴，，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据二次函数的顶点坐标，得到，，然后代入计算即可．
8．【答案】<
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=2，且.
∵a=2>0，开口向上
∴y1 【分析】已知抛物线的开口方向和对称轴，可以利用增减性或点离对称轴的远近来判断函数值的大小，开口向上时，点离对称轴越远，函数值越大.
9．【答案】y=（x﹣3）2﹣3
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=x2-2x-1向右平移2个单位，得：y=（x-3）2-2；
再向下平移1个单位，得：y=（x-3）2-2-1=（x-1）2-3；即y=（x-3）2-3；
故答案是：y=（x-3）2-3．
【分析】首先将抛物线y=x2-2x-1配成顶点式，然后根据平移规律向右平移2个单位，得：y=（x-3）2-2；再向下平移1个单位，得：y=（x-3）2-2-1=（x-1）2-3；即y=（x-3）2-3；从而得出答案。
10．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，
∴抛物线开口向上，
∴．
故答案为：．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)中，当a＞0时，图象开口向上，在对称轴直线左侧图象下降，y随x的增大而减小，在对称轴直线右侧，图象上升，y随x的增大而增大；当a＜0时，图象开口向下，在对称轴直线左侧图象上降，y随x的增大而增大，在对称轴直线右侧，图象下降，y随x的增大而减小，据此解题即可.
11．【答案】m<3
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵二次函数y=（m-3）x2的图象开口向下，
∴m-3＜0，
∴m＜3，
故答案为：m＜3．
【分析】根据图象的开口方向得到m-3＜0，从而确定m的取值范围．
12．【答案】-4【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；轴对称的性质
【解析】【解答】如图所示：∵图象经过点(2，0)，且其对称轴为x= 1，
∴图象与x轴的另一个交点为：( 4，0)，
则使函数值y>0成立的x的取值范围是： 4故答案为： 4【分析】因为图象经过点(2，0)，且其对称轴为x= 1，所以根据轴对称的性质可得图象与x轴的另一个交点为：( 4，0)，因为函数值y>0，所以抛物线的在x轴的上方，所以使函数值y>0成立的x的取值范围是： 413．【答案】（1）解：分解因式得：（x﹣3）（x+4）=0，
x﹣3=0，x+4=0，
x1=3，x2=﹣4；
（2）解：y=﹣（x2﹣4x+3）
=﹣（x2﹣4x+4﹣4+3）
=﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标是（2，1），对称轴是直线x=2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的三种形式
【解析】【分析】（1）将方程的作边用提公因式法分解因式，然后根据两个因式的积为零，则这几个因式种至少有一个为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解一元一次方程求出原方程得解；
（2）将解析式右边提公因式使二次项的系数为一，然后在括号里加上一次项系数一半的平方4，为了不改变原式的值，再减去4，然后利用完全平方公式改写成顶点式y=﹣（x﹣2）2+1，从而得出抛物线的顶点坐标及对称轴。
14．【答案】（1）解：
．
（2）解：∵点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，
∴0＝（x+1）（x+2），解得或，
由（1）中分母可知，故舍去，
把代入，；
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式运算先化简，再进行同分母分式的减法运算即可解答；
（2）将点代入二次函数表达式，可求出x，选出符合条件的x的值，再带入原式求出T，解答即可．
（1）解：
．
（2）解：∵点（x，0）在二次函数y＝（x+1）（x+2）的图象上，
∴0＝（x+1）（x+2），解得或，
由（1）中分母可知，故舍去，
把代入，；
故答案为：．
15．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：；
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（2）解：当时，二次函数为，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，y随x的增大而增大，
当时，；
∴当时，；
故答案为：．
【分析】（1）根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质即可求出答案.
（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：；
（2）解：当时，二次函数为，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，y随x的增大而增大，
当时，；
∴当时，；
故答案为：．
16．【答案】解：设解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，
将（﹣3，﹣2）代入得出：﹣2＝a（﹣3+2）2﹣3，
解得：a＝1．
故这个二次函数的解析式为：y＝（x+2）2﹣3．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式即可.
17．【答案】（1）解：根据表格数据，该二次函数图象的顶点坐标为，
故设该二次函数的解析式为，
将代入，得，
解得，
该二次函数的解析式为；

（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】（2）解：在二次函数中，令，得，
解得：，
二次函数的图象与轴交点分别为，
由中，，可得二次函数图象开口向上，
当时，的取值范围是．
【分析】（1）设该二次函数的解析式为，根据待定系数法将点代入即可求出答案.
（2）当二次函数的图象在x轴下方时，有，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：根据表格数据，该二次函数图象的顶点坐标为，
故设该二次函数的解析式为，
将代入，得，
解得，
该二次函数的解析式为；
（2）在二次函数中，令，得，
解得：，
二次函数的图象与轴交点分别为，
由中，，可得二次函数图象开口向上，
当时，的取值范围是．
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