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3 用公式法求解一元二次方程
一、单选题
1．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
2．对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程 的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．下列方程中，没有实数根的方程是（　　）
A．
B．
C．
D． （ 为任意实数）
二、填空题
6．已知一次函数y=kx+b的大致图象，则关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0的根的情况是　 　.
7．关于x的一元二次方程 的两根是　 　.
8．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则c的值是　 　.
9．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是　 　．
三、解答题
10．若方程（c2＋a2）x2＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形.
四、复合题
11．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）当p=2时，求该方程的根．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，其中，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】先计算b2-4ac的值，然后根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A选项 ，则A选项有两个不等实数根，不符合题意；
B选项 ，则B选项有两个不等实数根，不符合题意；
C选项方程的一般式为： ，则 ，则C选项有两个不等实数根，不符合题意；
D选项方程 ，则D选项没有实数根，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，逐项进行判断，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ，
所以方程有两个不相等的两个实数根.
故答案为：A.
【分析】先计算出判别式 的值，然后根据判别式的意义进行判断.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A、△＝（ 12）2 4×27＝36＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A不符合题意；
B、△＝（ 3）2 4×2×2＝ 7＜0，方程没有实数根，所以B符合题意；
C、△＝342 4×2×（ 1）＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C不符合题意；
D、△＝（ 3）2 4×（ k2）＝9＋4k2＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据“一元二次方程的根的判别式：①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。”即可判断求解.
6．【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
∴kb＜0.
又∵△=（-2）2-4×（kb+1）=-4kb＞0，
∴关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根.
故答案为：有两个不相等的实数根.
【分析】根据直线所经过的象限可知：k＞0，b＜0，所以kb＜0，然后计算b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。”即可判断求解.
7．【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
∵a=1，b=-2，c=-1，
∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（-1）=8，
∴ ， ，
故答案为： ，
【分析】先确定方程中的a、b、c，然后算出根的判别式的值，最后再利用公式法求解.
8．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则有：
，解得c=4；
故答案为：4.
【分析】一元二次方程的根的判别式：①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。根据一元二次方程的根的判别式可得关于c的方程，解这个方程可求解.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
10．【答案】解：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）.
∵方程有两个相等实根.
∴Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0.
∵a，b，c是三角形的三边，
∴b+c≠0，a2+b2≠0，
只有b-c=0，
解得b=c.
∴此三角形是等腰三角形.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b、c的关系即可.
11．【答案】（1）证明：方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2=0，
△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=1+4p2．
∵p2≥0， ∴4p2+1＞0，即△＞0， ∴这个方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：当p=2时，原方程为x2﹣5x+2=0，
∴△=25﹣4×2=17，
∴x= ，
∴x1= ，x2= ．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）首先将方程整理成一般形式，找出二次项的系数，一次项的系数，常数项，再算出根的判别式的值，根据偶次幂的非负性，即可判断出根的判别式的值总是大于0，从而得出 这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）当p=2的时候得出原方程，根据求根公式x=即可直接得出该方程的解。
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