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4正方形的性质与判定
一、单选题
1．如图，在边长为4的正方形中，点E在边上，，交于点F，则与的面积比是（　　）
A． B． C． D．
2．正方形内接于，P是劣弧上任意一点，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，四边形是正方形，O，A两点的坐标分别是，点在第二象限，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．正方形的对角线长度为2，则其边长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
二、填空题
6．2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛．参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为　 　（结果保留根号）．
7． 2025年10月29日，阳江市举办了国际风筝邀请赛。参赛的一个风筝的主骨架由一个边长为2m的正方形构成，副骨架由该正方形的两条对角线构成，则副骨架的总长为　 　m(结果保留根号)。
8．是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为　 　．
9．如图，在菱形中，对角线，相交于点，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是正方形，则应选择　 　(限填序号)．
三、解答题
10．如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边，上，是边上的高，与相交于点O，已知，，则正方形的边长是多少？
四、复合题
11．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
2．【答案】C
【知识点】正方形的性质；圆周角定理
3．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；圆的相关概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
4．【答案】D
【知识点】点的坐标；正方形的性质
5．【答案】D
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
6．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
7．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
正方形的对角线长为
∴骨架的总长为
故答案为：
【分析】根据勾股定理，结合正方形性质即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆内接正多边形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
9．【答案】②
【知识点】正方形的判定
10．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
11．【答案】（1）解：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵ 四边形DEFG是矩形，
∴∠DEF＝90°，
∵∠DEN+∠NEF=∠DEF＝90°，∠MEF+∠NEF=∠MEN＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
又∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）解：CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，
∴DE＝DG，AD＝DC，∠ADC=90°，∠EDC=90°，
∵∠CDG+∠CDE＝∠EDC=90°，∠ADE+∠CDE＝∠ADC=90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC，
在Rt△ABC中，
即CE+CG的值是定值，定值为6．
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的对角线平分对角，角平分线上的点到两边的距离相等可得EM＝EN，根据矩形的四个角都是直角可得∠DEF＝90°，推得∠DEN＝∠MEF，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等可得DE=EF，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可证明；
（2）根据正方形的四条边都相等可得DE＝DG，AD＝DC，∠ADC=90°，∠EDC=90°，推得∠CDG＝∠ADE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等可得AE＝CG，
可得CE+CG=CE+AE=AC，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC的值，即可得出答案.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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