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3矩形的性质与判定
一、单选题
1．由二次函数可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为
C．其最大值为1 D．当时，y随x的增大而减小
2．下列命题中正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
3．设A ，B ，C 是抛物线 上的三点，则 ， ， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，则P′A∶PB＝（　　）
A．1∶ B．1∶2 C． ∶2 D．1∶
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边O在x轴上，OC在y轴上，OA＝6，OC＝4，PC＝ BC.将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，则第2019秒时，点P的坐标为（　　）
A．（3 ， ） B．（2，﹣1）
C．（ ，﹣3 ） D．（﹣1，2）
二、填空题
6．在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有　 　．
7．方程x2＝2x的解是　 　.
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝　 　.
9．如图，在正方形纸片 中，对角线 、 交于点O，折叠正方形纸片 ，使 落在 上，点A恰好与 上的点F重合，展开后，折痕 分别交 、 于点E，G，连接 ，下列结论中正确的是　 　. （填序号）
① ；②四边形 是菱形；③ ；④ .
10．如图所示，在矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠得分别连接、，若为等腰三角形，则的长为　 　．
11．如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，且动点，同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动那么运动到第　 　秒时，点，，以及的边上一点恰能构成一个平行四边形．
三、解答题
12．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠BCD＜90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，试在边AB上确定点P的位置，使得以P、C、D为顶点的三角形是直角三角形.
13．如图，在 中， ， ，点 从点 出发沿 边想向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 同时出发，经过几秒后 和 相似？
四、复合题
14．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
（1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
.教师评委打分：
.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）：
.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
教师评委
学生评委
根据以上信息，回答下列问题：
①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委1 评委2 评委3 评委4 评委5
甲
乙
丙
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________.
15．阅读下面材料：小吴遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点，求的值．
小吴发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答：的值为　 　．
（2） 如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且．求的值；
（3）如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，直接写出的值为　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
函数有最小值1，
当时，随的增大而减小.
故答案为：D.
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时，图象开口向上，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），最小值为k，当xh时，y随x的增大而增大，据此即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】∵函数的解析式是 ，如图，
∴对称轴是 ，
∴点A关于对称轴的点A′是 ，
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边 随 的增大而减小，
∴于是 ，
故答案为：A.
【分析】由题意知，A、B、C三点不在抛物线对称轴的同一侧，根据抛物线的对称性找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性即可作出判断.
4．【答案】B
【知识点】代数式求值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AP，
∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，∵BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC，∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP=P′C，∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A，连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P=45°，PP′= PB，∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°﹣45°=90°，∴△APP′是直角三角形，设P′A=x，则AP=3x，根据勾股定理，PP′= = = x，∴PP′= PB= x，解得PB=2x，∴P′A：PB=x：2x=1：2．故答案为：B．
【分析】如图，连接AP，根据旋转的性质得出BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，根据同角的余角相等得出∠ABP=∠CBP′，然后利用SAS判断出△ABP≌△CBP′，根据全等三角形的对应边相等得出AP=P′C，连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出∠BP′P=45°，PP′= PB，根据角的和差得出∠AP′P=90°，设P′A=x，则AP=3x，根据勾股定理算出PP′的长，进而得出PB的长，从而即可求出 P′A∶PB 的值。
5．【答案】C
【知识点】点的坐标；旋转的性质；探索图形规律
【解析】【解答】 解：∵将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，360°÷45°＝8，
∴8秒循环一次，
∵2019÷8＝252余数为3，
∴第2019秒时，点P旋转到如图P′处，作C′E⊥OC于E，P′F⊥C′E，
由题意△P′C′F，△OEC′都是等腰直角三角形，
∴OE＝C′E＝ ×4＝2 ，P′F＝C′F＝ ×2＝ ，
∴P′（ ，﹣3 ），
故答案为：C.
【分析】将矩形OABC绕点O以每秒45°的速度沿顺时针方向旋转，360°÷45°＝8，8秒循环一次，因为2019÷8＝252余数为3，推出第2019秒时，点P旋转到如图P′处，作C′E⊥OC于E，P′F⊥C′E，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题.
6．【答案】13
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：设袋中有黑球x个，
由题意得： ＝0.2，
解得：x＝13，
经检验x＝13是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有13个.
故答案为：13.
【分析】设袋中有黑球x个，根据黑球的个数除以球的总数=摸到黑球的概率可得关于x的方程，求解即可.
7．【答案】x1＝0，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2.
故答案为：x1＝0，x2＝2.
【分析】把方程整理成一般形式，然后将方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，即可求出原方程的解。
8．【答案】100°或120°
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：
①当点B落在AB边上时，
∵DB＝DB1，
∴∠B＝∠DB1B＝40°，
∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×40°＝100°，
②当点B落在AC上时，
在Rt△DCB2中，
∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，
∴∠CB2D＝30°，
∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，
综上所述，m的值为100°或120°.
故答案为：100°或120°.
【分析】如图：①当点B落在AB边上时，根据旋转的性质得出DB＝DB1，根据等边对等角得出∠B＝∠DB1B＝40°，进而根据三角形的内角和由m＝∠BDB1＝180°-∠B-∠BB1D即可算出答案；②当点B落在AC上时，在Rt△DCB2中，根据含30°直角三角形的边之间的关系判断出∠CB2D＝30°，进而由m＝∠C+∠CB2D即可算出答案，综上所述即可得出答案.
9．【答案】①②③
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，
∵折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的F重合，
∴∠1=∠2= ∠ODA=22.5°，EA=EF，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°，
∴∠3=∠GAD+∠1=45°+22.5°=67.5°，即∠AGE=67.5°；故①正确，
∵∠4=90°-∠1=67.5°，
∴∠3=∠4=∠5，
∴AE=AG=EF，AG∥EF，
∴四边形AEFG为菱形；故②正确，
∴GF∥AB，EF=GF，
∴∠6=∠7=45°，
∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，
∴BE= EF，GF= OF，
∴BE= OF=2OF；故③正确，
设OF=a，则GF= a，BF= a，
∴OB=（ +1）a，
∴OD=（ +1）a，DF=DO+OF=（2+ ）a，
∵∠DOG=∠DFE=90°，
∴△DOG∽△DFE，
∴S△DOG：S四边形OGEF=1：1.
故④错误.
故答案为①②③
【分析】根据正方形的性质及折叠的性质可得∠1=∠2= ∠ODA=22.5°，再利用三角形外角的性质求出∠3=∠GAD+∠1=67.5°，据此判断①；可求出AE=AG=EF，AG∥EF，从而可证四边形AEFG为菱形，据此判断②；可证出△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，可得BE= EF，GF= OF，从而求出BE= OF=2OF，据此判断③；证明△DOG∽△DFE，利用相似三角形的性质可得从而得出S△DOG：S四边形OGEF=1：1，据此判断④.
10．【答案】 或6
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： ，
可知M的轨迹是以D为圆心，6为半径的圆，
①当 MC=MB时，则M在BC的垂直平分线上，
，
，
，
，
；
②当CM=CB=6时，DM=AD=6，四边形ANMD为正方形，
；
③∵BM的最小值为 ，
∴MB不能等于BC ；
故答案为： 或6.
【分析】由题意可得M的轨迹是以D为圆心，6为半径的圆，①当MC=MB时，则M在BC的垂直平分线上，此时DP=DM，∠DMP=30°，根据折叠的性质可得∠ADN=∠MDN=30°，然后根据三角函数的概念可得AN；②当CM=CB=6时，DM=AD=6，此时四边形ANMD为正方形，AN=AD，据此解答.
11．【答案】2或6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，
①当0＜t＜时，点M、N、D的位置如图所示：
由题意得BM=3t，CN=2t，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC=10，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°，
∴∠NDC=∠C，∠B=∠BDM，
∴ND=NC=2t，BM=DM=3t，
∵DM+DN=AN+NC=AC=10，
∴3t+2t=10，
解得t=2；
②当≤t≤5时，点A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③当5＜t＜时，点M、N、D的位置如图，
由题意得：AM=3t-10，AN=2t-10，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC=10，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDC=∠B=60°，∠NDB=∠C=60°，
∴∠NDB=∠B，∠C=∠CDM，
∴ND=BN=3t-10，AN=DM=2t-10，
∵DM+DN=AN+BN=AB=10，
∴3t-10+2t-10=10，
解得t=6；
④当≤t≤10，点M、N、D的位置如图，
由题意得：BN=20-2t，BM=30-3t，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴MN∥AC，
∴∠NMB=∠C=60°，
∴∠NMB=∠B=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=BN，即20-2t=30-3t，
解得t=10，
此时M与N重合，不能构成平行四边形，
综上所述，t的值为2或6.
故答案为：2或6.
【分析】分四种情况：①当0＜t＜时；②当≤t≤5时，点A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；③当5＜t＜时，点M、N、D的位置如图；④当≤t≤10，分别画出图形，从而根据等边三角形的性质及平行四边形的性质列出方程，求解即可.
12．【答案】解：（1）如图，当∠DPC＝90°时，
∴∠DPA+∠BPC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠DPA+∠PDA＝90°，
∴∠BPC＝∠PDA，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=90°，
∴∠A＝∠B，
∴△APD∽△BCP，
∴ ，
∵AB=7，BP=AB-AP，AD=2，BC=3，
∴ ，
∴AP2﹣7AP+6＝0，
∴AP＝1或AP＝6，
（ 2 ）如图：
当∠PDC＝90°时，过D点作DE⊥BC于点E，
∵AD//BC，∠A=∠B=∠BED=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE＝AB＝7，AD=BE=2，
∵BC＝3，
∴EC＝BC-BE=1，
在Rt△DEC中，DC2＝EC2+DE2＝50，
设AP＝x，则PB＝7﹣x，
在Rt△PAD中PD2＝AD2+AP2＝4+x2，
在Rt△PBC中PC2＝BC2+PB2＝32+（7﹣x）2，
在Rt△PDC中PC2＝PD2+DC2 ，即32+（7﹣x）2＝50+4+x2，
解方程得： .
（ 3 ）当∠PDC＝90°时，
∵∠BCD＜90°，
∴点P在AB的延长线上，不合题意；
∴点P的位置有三处，能使以P、A、D为顶点的三角形是直角三角形，分别在线段AB上且距离点A为1、6、 处.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】分∠DPC＝90°，∠PDC＝90，∠PDC＝90°三种情况讨论，在边AB上确定点P的位置，根据相似三角形的性质求得AP的长，使得以P、A、D为顶点的三角形是直角三角形.
13．【答案】解：设经过 秒后 和 相似.
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
① 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 ，
② 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 .
综上所述，经过 秒或 秒后 和 相似.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】设经过 秒后 和 相似. ， ，分两种情况：① 与 边是对应边，② 与 边是对应边进行讨论即可.
14．【答案】（1）①，；②
（2）甲，
【知识点】解一元一次不等式组；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】
解：（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
（2）
，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
【分析】
（1）根据众数的定义：分出现的次数最多可得m的值；根据中位数的定义：共有45名学生评委给每位选手打分，每位选手打分的中位数应当是第个可得n的分组；根据算术平均数的定义计算解答即可；
（2）根据方差的公式计算并判断得，再根据方差越小越稳定，求解即可；
（3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为，
所以，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组，
故答案为：，；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
依题意，当，则
解得：
当时，
此时
∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
当时，
此时
∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
故答案为：甲，．
15．【答案】（1）
（2）解：如图3，过A作，交延长线于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
，
∵，
，
；
（3）
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1） 解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F=∠APF，∠FCE=∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE=CE，
∴△AEP≌△CEF（AAS），
∴AP=FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD∽△BFC，
∴，
∴.
（2）如图4，过点C作交PB于点F，
设又∵
，∴∵∴设DC=x，则DB=3x，∴又∵则故又∵∴则故
故答案为：.
【分析】 （1）如图2，证明△AEP≌△CEF，可得AP=FC，再根据PD∥FC，得△BPD∽△BFC，列比例式可得结论；
（2） ，过A作，交延长线于点F， 可得到，然后根据三角形相似的性质可求得， 设， 然后求得BD，再根据得到，然后根据三角形相似的性质即可求解；
（3）过点C作交PB于点F，可得，然后根据三角形相似的性质可求得设同理再根据平行线的性质及三角形相似的性质可求得DB=3x，根据线段的关系求出然后根据三角形相似的性质进行求解即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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