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2菱形的性质与判定
一、单选题
1．菱形的两条对角线长分别为6与8，则此菱形的面积为（　　）
A．48 B．20 C．14 D．24
2．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm
3．下列可以判断是菱形的是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形
B．对角线相等的平行四边形
C．对角线垂直的四边形
D．对角线互相垂直且平分的四边形
4．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，CA，BC的中点．若四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD的边需满足的条件是（　　）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=DC
5．如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（　　）
A．20 B．40 C．28 D．24
二、填空题
6．如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接、、．若，，则的长为　 　．
7．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则对角线的长　 　．
8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中CA＝2，OB＝3，则菱形ABCD的面积为　 　．
9．菱形的两条对角线长分别是6和 8，则菱形的周长为　 　。
三、解答题
10．如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：．
四、复合题
11．如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝5，对角线AC，BD的长为x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＜BD.
（1）请判断四边形ABCD为何特殊的平行四边形，说明你的理由；
（2）在（1）成立的情况下，如图②，作AE⊥BC，试求BE的长.
12．在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．过C点作CG∥AD，交BA的延长线于G，过A作BC的平行线交CG于H点．
（1）若∠BAC＝900，求证：四边形ADCH是菱形；
（2）求证：△ABC∽△FCD；
（3）若DE＝3，BC＝8，求△FCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】6×8÷2=24
故答案为：D.
【分析】根据S菱形等于两对角线乘积的一半可求解.
2．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA= AC=4，OB= BD=3，AC⊥BD，
∴AB= = =5，
∵菱形ABCD的面积=AB DE= AC BD= ×8×6=24，
∴DE= =4.8；
故答案为：B．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理得出AB的长度，然后根据菱形的面积计算方法列出方程求解即可。
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是菱形，故A选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故B选项不符合题意；
C、对角线垂直的四边形不一定是菱形，故C选项不符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理分别判断，即对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，四边相等的四边形是菱形.
4．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中 AD、BD、BC、CA 的中点，
∴
∵四边形EFGH是菱形，
∴EF=FG=GH=EH
∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．
故答案为：D．
【分析】由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得EF=GH=AB，EH=FG=CD，根据菱形的可知EF=FG=GH=EH，则结论可求解.
5．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解： 菱形的面积为6×8÷2=24，
故答案为：D.
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．
6．【答案】
【知识点】菱形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
7．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（舍负）
∴
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，求出OD的长，最后求出BD的长即可.
8．【答案】6
【知识点】菱形的性质
9．【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设菱形的对角线，，对角线相交于点。
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴，，且。
在中，由勾股定理得。
∵菱形的四条边长度相等，
∴菱形的周长为
故答案为：20
【分析】本题考查菱形的性质（对角线互相垂直平分）及勾股定理的应用，核心是利用对角线的一半和菱形的边长构成直角三角形，求出边长后计算周长。解题时先根据菱形对角线的性质求出对角线一半的长度，再在直角三角形中用勾股定理求出菱形的边长，最后根据菱形四条边相等的特征计算周长。
10．【答案】证明：四边形是菱形，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用菱形的性质得到边相等，再根据 SAS 判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等。
11．【答案】（1）解：
平行四边形ABCD为菱形，理由如下：
解方程x2﹣14x+48＝0得x1＝6，x2＝8，
∵AC＜BD，
∴AC＝6，BD＝8，
∴BO＝4，CO＝3，
∵32+42＝52，
∴BO2+CO2＝BC2，
∴∠BOC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，且AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形：
（2）解：
∵四边形ABCD为菱形：
∴AE BC＝ BD，
∴5AE＝ ，
∴AE＝ ，
∴BE＝ ＝ ＝1.4.
故BE的长为1.4.
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，可得到AC，BD的长，利用平行四边形的性质可求出BO，CO的长；再求出BO2+CO2和BC2的值，利用勾股定理的逆定理可证得∠BOC=90°，然后利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证得结论；
（2）利用菱形的两个面积公式可求出AE的长，再利用勾股定理求出BE的长.
12．【答案】（1）证明：∵CG∥AD，AH∥CD，
∴四边形ADCH是平行四边形。
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=CD，
∴四边形ADCH是菱形
（2）证明：∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠FCD，
∴△ABC∽△FCD
（3）解：过A作AM⊥CD，垂足为M.
∵AD=AC，
∴DM=CM，
∴BD：BM=2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AM，
∴△BDE∽△BMA，
∴ED：AM=BD：BM=2：3，
∵DE=3，
∴AM=4.9，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴ .
∵S△ABC= ×BC×AM= ×8×4.5=18，
∴S△FCD= S△ABC= .
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，由 CG∥AD，AH∥CD， 得出 四边形ADCH是平行四边形；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 AD=CD， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论；
（2）根据等边对等角得出 ∠ADC=∠ACD， 根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 BE=CE，根据等边对等角得出 ∠B=∠FCD， 根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出 △ABC∽△FCD ；
（3） 过A作AM⊥CD，垂足为M. 根据等腰三角形的三线合一得出 DM=CM， 进而得出 BD：BM=2：3， 根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 ED∥AM， 根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 △BDE∽△BMA， 根据相似三角形对应边成比例得出 ED：AM=BD：BM=2：3， 根据比例式即可求出AM的长，由根据相似三角形面积的比等于相似比的平方， △ABC∽△FCD 得出 ，再根据三角形的面积计算方法算出△ABC的面积，然后根据比例式即可求出△FCD的面积。
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