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第二章 一元二次方程
一、单选题
1．下列是关于的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
4．用配方法解方程 ，下列变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．设方程 的两个根为α，β，那么 的值等于（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
二、填空题
6．一元二次方程x2=x的解为　 　．
7．方程 的根是　 　.
8．用配方法解一元二次方程 ，配方后的方程为 ，则n的值为　 　.
9．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，则a的最大整数值是　 　.
三、解答题
10．若方程（c2＋a2）x2＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形.
四、复合题
11．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
12．解方程：
（1）2x2+10x+4＝0；
（2）y（y﹣1）+2y﹣2＝0.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是分式方程，故本选项不合题意；
B、是关于的一元二次方程，故本选项符合题意；
C、当时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D、未知数最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不合题意.
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数、未知数的最高次数是2，且二次项的系数不为0的整式方程叫作一元二次方程”结合各选项即可判断求解.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，其中，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C．
【分析】先计算b2-4ac的值，然后根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， ，整理后得，
，
故答案为：D.
【分析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是方程 的两个根， ， ，
∴ ， ，
∴原式＝ .
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=、x1·x2=”可得α+β=-1，αβ=-2，然后用整体代换计算即可求解.
6．【答案】x1=0，x2=1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2=x，
移项得：x2﹣x=0，
∴x（x﹣1）=0，
x=0或x﹣1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1．
【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
7．【答案】0和-4
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解
∴x1=0，x2=-4，
故答案为：0和-4.
【分析】将方程右边的项移到方程的左边，再将方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解。
8．【答案】7
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：7.
【分析】根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n的值.
9．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0无解，
∴a≠0且△＝22﹣4×a×（﹣1）＜0，
解得a＜﹣1，
∴a的取值范围是a＜﹣1.
∴a的最大整数值是﹣2，
故答案是：﹣2.
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系和题意可知b2-4ac＜0，把a、b、c的值代入不等式可求得a的范围，结合题意即可求解.
10．【答案】解：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）.
∵方程有两个相等实根.
∴Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0.
∵a，b，c是三角形的三边，
∴b+c≠0，a2+b2≠0，
只有b-c=0，
解得b=c.
∴此三角形是等腰三角形.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的判定
【解析】【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△=0，再得出b、c的关系即可.
11．【答案】（1）解：当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；
（2）解：设每件商品降价x元，
根据题意，得：（50-x）（30+2x）=2000，
整理，得：，
解得：，
∵商城要尽快减少库存，
∴x=25．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际与销售问题的实际运用.
（1）根据“盈利=单件利润销售数量”，即可求解；
（2）根据“盈利=单件利润销售数量”列出关于x的一元二次方程，解出未知数x，再根据 为了尽快减少库存 即可确定x的值.
12．【答案】（1）解：2x2+10x+4＝0，
x2+5x＝﹣2，
x2+5x+ ＝﹣2+ ，即（x+ ）2＝ ，
∴x+ ＝± ，
∴x1＝ ，x2＝ ；
（2）解：y（y﹣1）+2y﹣2＝0，
y（y﹣1）+2（y﹣1）＝0，
（y﹣1）（y+2）＝0，
∴y﹣1＝0或y+2＝0，
∴y1＝1，y2＝﹣2.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程，①移项，将常数项移到方程的右边，②方程的两边都除以二次项的系数2将二次项的系数化为1，③配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方 ，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法求解即可；
（2）把方程左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
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