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5 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．设方程 的两个根为α，β，那么 的值等于（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
2．一元二次方程x2－2x＋b＝0的两根分别为x1和x2，则x1＋x2为（　　）
A．－2 B．b C．2 D．－b
3．设一元二次方程 两个实根为x1和x2，则下列结论正确的是（　　）
A．x1+x2=2 B．x1+x2=-4 C．x1·x2=2 D．x1·x2=4
4．已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知 是关于 的方程 的两根，且满足 ，那么 的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知 是一元二次方程 的一个根，则另一个根为　 　.
7．若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是　 　.
8．设 、 是方程 的两个实数根，则 的值为　 　．
9．一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1，x2，则x1 x2的值是　 　．
三、解答题
10．若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，求的值．
四、复合题
11．阅读理解：
材料 ．若一元二次方程 的两根为 ， ，则 ， ．
材料 ．已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，
根据材料 得 ， ，
∴ ．
解决问题：
（1）一元二次方程 的两根为 ， ，则 　 　， 　 　．
（2）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
（3）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
12．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
（1）每天的销售量为　 　瓶，每瓶洗手液的利润是　 　元；（用含x的代数式表示）
（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵α，β是方程 的两个根， ， ，
∴ ， ，
∴原式＝ .
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系“x1+x2=、x1·x2=”可得α+β=-1，αβ=-2，然后用整体代换计算即可求解.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】根据一元二次方程根与系数的关系代入：
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系： 代入计算即可.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：已知a=1，b=﹣2，c=﹣4，根据根与系数的关系可知：x1+x2=﹣ =2，x1 x2= =﹣4，
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由x1+x2=﹣ ，x1 x2= 即可一一判断得出答案。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x-k-1=0的两根，
∴x1x2=-k-1．
∵x1x2=-3，
∴-k-1=-3，
解得：k=2．
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1x2=-k-1．又x1x2=-3，故可得出关于k的方程，求解得出k的值。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，
∴x1+x2=﹣b，x1x2=﹣3，
∵x1+x2﹣3x1x2=4，
∴﹣b+9=4，
解得：b=5，
故答案为：A
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2=，x1.x2=，再把x1+x2、x1.x2的值代入已知的等式可得关于b的方程，解方程即可求解。
6．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设另一个根为t，
根据题意得 ，
解得 ，
即另一个根为-1.
故答案为：-1.
【分析】另一个根为t，根据根与系数的关系得到 ，然后解一次方程即可.
7．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系即可由一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，得到x1+x2=﹣ =﹣2.
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，由x1+x2=﹣ 即可直接得出答案。
8．【答案】-2017
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 、 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为：-2017．
【分析】根据根与系数的关系可得出 ， ，然后将代数式去括号后将其整体代入 即可得出结论．
9．【答案】﹣3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1，x2，
∴x1 x2=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】根据根与系数的关系即可得出x1 x2=﹣3，此题得解．
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；相反数的意义与性质
11．【答案】（1）4；-3
（2）解：∵m、n满足2m2-2m-1=0，2n2-2n-1=0，
∴m、n可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，
∴m+n=1，mn=- ，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=- ×1=-
（3）解：设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，
则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，
∴p+2q=3，p 2q=-2，
∴p2+4q2=（p+2q）2-2p 2q=32-2×（-2）=13
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）x1+x2=4，x1x2=-3，
故答案为： ， ；
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2= -ba ，x1x2= ca即可直接得出答案；
（2） m、n可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解， 根据根与系数的关系得出 m+n=1，mn=- ， 然后将代数式利用提公因式法分解因式，再整体代入即可算出答案；
（3） 设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，则p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，根据根与系数的关系得出 p+2q=3，p 2q=-2， 然后再将代数式，利用完全平方公式的恒等变形，由 p2+4q2变形为（p+2q）2-2p 2q ，再整体代入即可算出答案。
12．【答案】（1）；
（2）解：由题意得： ，
解得 ， ，
答：销售单价应上涨2元或6元；
（3）解：由题意得： ，
化成顶点式为 ，
由二次函数的性质可知，当 时，y取得最大值，最大值为320，
答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得：当销售单价上涨x元时，每天销售量会减少 瓶，
则每天的销售量为 瓶，
每瓶洗手液的利润是 （元），
故答案为： ， ；
【分析】（1）根据销售单价上涨x元，每天销售量减少 5x 瓶即可得，再根据“每瓶的利润 售价 成本价”即可得；（2）结合（1）的结论，根据“这款洗手液的日销售利润y达到300元”可建立关于x的一元二次方程，再解方程即可得；（3）根据“每天的利润 （每瓶的售价 每瓶的成本价） × 每天的销售量”可得y与x的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可得．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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