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1.3《全等三角形的判定》暑假预习
一、单选题
1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点、在线段上，，，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
4．在综合实践课上，小华先画了一个，然后利用尺规作出了，且．如图是他的作图过程，则可判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，垂足为C，A是上一点，且．若，，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5.5
6．如图，在中，，是中线，于点，于点，则图中全等三角形的对数（ ）
A． B． C． D．
7．已知中，，，则中线的长可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在与中，下列条件能判断与全等的个数是（　　）
①，，；②，，；③，，；④，，．
A． B． C． D．
10．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离，分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________．
12．如图，于点，，，射线于点，点在线段上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持，当________时，才能使与全等．
13．如图，在中，平分，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，已知，则的度数为____________．
14．如图，，，若，，则的长是______．
15．如图，在中，已知与的面积相等，如果，那么的取值范围是________．
16．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________．
17．如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是______．
18．把的中线延长到点E，使，连接．如果，的周长比的周长大2，那么___．
19．如图，在四边形中，、为对角线．且，，于点．若，，则的长度为____．
20．如图，在四边形中，平分，于点D，，，延长、交于点，则的值为__________，面积的最大值为__________．
三、解答题
21．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：．
22．如图，，，，是依次排列在一条直线上的四点，，，且．
(1)求证；
(2)若，求的长．
23．（1）已知：如图①，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．
（2）如图②，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
24．如图，在中，，于点，，平分交于点的延长线交于点．求证：
(1)；
(2)；
(3)．
25．如图，是的高线，交于点F，且．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
26．如图，的两条高交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
27．如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则．
请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明．
28．如图，，垂足分别为，连接．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
29．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到 ADC≌ EDB的理由是_____．
A． B． C． D．
（2）求得的取值范围是_____．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：．
30．【探究】
（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得 ADC≌ EDB，其中判定两个三角形全等的依据为__________．
A． B． C． D．
【应用】
（2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围．
【拓展】
（3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：．
参考答案
一、单选题
1．D
解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即．
2．D
解：如图，，，，
要根据“”证明，
需再有斜边对应相等，
即．
故选：D．
3．A
解：∵，，
∴，
A、添加，由，，，不能判定，故本选项符合题意；
B、添加，可得到，由，，，可证明，故本选项不合题意；
C、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意；
D、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意；
故选：A．
4．B
解：根据作图过程可知，，，可知判定的依据是，
故选B．
5．A
解：，
，
在和中：
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选：A．
6．A
解：∵，，，
∴．
∵，D是的中点，
∴．
在和中，，
∴．
在和中，，
∴．
综上所述：，，，共3对．
故选A．
7．A
解：延长至点，使，连接
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴
∵，
在中，由三角形三边关系得，
代入，得：
，
即，
∴．
只有选项A的在该范围内．
8．A
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9．B
解：①∵在与中，，，，是的对边，是的对边，符合判定定理，
∴，该选项条件能判断与全等；
②∵在与中，，，，是的对边，是的对边，符合判定定理，
∴，该选项条件能判断与全等；
③∵是中的对边，是中的对边，对应边不匹配，不符合全等三角形判定定理，
∴该选项条件不能判断与全等；
④∵是中的对边，是中的对边，对应边不匹配，不符合全等三角形判定定理，
∴该选项条件不能判断与全等；
综上，能判定全等的有个，
故选：．
10．C
解：，
，
，，
，，
，，
又，
，
，，
．
故选：C．
二、填空题
11．（答案不唯一）
解：，
，
，
若添加，
则；
若添加，
则；
若添加，
则；
故答案为：（答案不唯一）
12．2或4
解：∵，，
∴，
①∴当时，
∵，，
∴；
②当时，
∵，，
∴；
故答案为：2或4．
13．
解：∵平分，
∴，
由作图可得，
而，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．5
解：，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即的长是
故答案为：．
15．
解：延长到E，使，
，
已知与的面积相等，
为的底边的中线，
，
在和中
，
，
，
，，
，
在中，，
，
，
．
16．
解：∵，，
∴，
如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，
∴，即点共线，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
17．
解：如图所示，延长交于点，
∵垂直于的平分线于点P，
∴，且，
∴，
∴，即点是的中点，
∴分别为的中线，
∴，
∵，，
∴．
18．5
解：∵是的中线，
∴，
∵的周长比的周长大2，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∵，，（对顶角相等），
∴，
∴．
故答案为：5．
19．1
解：过点A作交的延长线于点F，
，
，
，
在和中，
，
，
∴，，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，
∵，，
，
，
故答案为：1．
20． 4 10
解：延长、交于E，过C作于H，
∵平分，
∴，
∵于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴当的面积最大时，的面积最大，
∵，
∴；
∵的面积，，
∴面积的最大值，
∴面积的最大值为．
21．证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
22．（1）证明：如图，延长交于点，
∵，，
∴，，
∴
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
23．（1）证明：∵直线，直线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：结论成立，证明如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
24．（1）证明：平分，
．
在和中，
，
．
（2）证明：∵
．
，，
，，
，
．
；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
25．（1）证明：∵是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．（1）证明： 的两条高 ， 交于点 ，
，
即 ，
在 与 中，
；
（2）解： ，
， ，
，，
，
，
．
27．解：方法一：选择作为条件；
证明：，
．
，
，即．
在和中，
，
，
．
方法二：选择作为条件；
证明：，
，
在和中，
，
，
．
28．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即四边形的面积为10．
29．（1）是中线，
，
在和中，
；
故答案为：B；
（2）由（1）知：，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
；
故答案为：A；
（3）证明：如图2，延长到M，使，连接，
是中线，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
．
30．（1）解：因为是的中线，
所以，
延长至点E，
所以，
又，
所以，
故选：B；
（2）解：延长至点，使，连接，如图，
则，
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴的取值范围为；
（3）证明：延长至，使，连接，如图：
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．

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