资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.2.1 二次函数的图象①（原卷版）
知识点1 y=ax 的图象——抛物线
y=ax 的图象是一条__________，可以用__________画出。抛物线是__________，它有__________和__________。
知识点2 开口方向
当__________时，抛物线开口__________；当__________时，抛物线开口__________。开口方向由二次项系数a的__________决定。
知识点3 顶点与对称轴
y=ax 的顶点坐标为__________，即顶点在__________；对称轴为__________（即直线__________）。抛物线关于y轴__________。
知识点4 |a|对开口大小的影响
__________越大，抛物线开口__________（越陡）；__________越小，开口__________（越平）。两条抛物线__________，说明它们的__________。
知识点5 已知图象过点求a
已知y=ax 经过某点(x ,y )，将点坐标__________解析式，得到方程__________，__________即可求出a的值。
考点1 y=ax 的图象——抛物线
【解题思路】y=ax 的图象是抛物线，描点法画图步骤：列表→描点→连线。注意抛物线是光滑曲线。
例1．根据函数图象填空：
（1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方；
（2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点．
变式1．不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标．
变式2．写出一条抛物线，，共有的性质：_____
考点2 开口方向
【解题思路】看二次项系数a：a>0开口向上，a<0开口向下。a的正负号决定了开口方向。
例2．已知抛物线的开口向下，则实数m的值可以是______．（写出一个即可）
变式1．请你写一个开口向上的二次函数解析式___________．
变式2．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________．
考点3 顶点与对称轴
【解题思路】y=ax 的顶点在原点(0,0)，对称轴是y轴(x=0)。抛物线上的点关于y轴对称。
例3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1）
变式1．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
变式2．若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
考点4 |a|对开口大小的影响
【解题思路】|a|越大开口越小(越陡)，|a|越小开口越大(越平)。两条抛物线形状相同说明|a|相等。
例4．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______．
变式2．抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）．
考点5 已知图象过点求a
【解题思路】将已知点的横纵坐标代入y=ax ，得到关于a的方程，解方程即可求出a的值。
例5．已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．若二次函数的图象过点，则______．
变式2．已知抛物线经过点．
(1)试判断点是否在此抛物线上．
(2)设点，是此抛物线上的两点．若，试判断，的大小关系．
新知检测
一、选择题
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）对于二次函数，当时，随的增大而（ ）
A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大
二、填空题
4．（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______．
三、解答题
5．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数图像经过点．
(1)判断这个函数图像的开口方向；
(2)点在这个函数图像上，求m的值．
6．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点．
(1)求的值；
(2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积．
7．（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)点在该函数的图象上，求的值．
8．（2025九年级·全国·专题练习）已知点在抛物线上．
(1)的值为______．
(2)点关于轴的对称点的坐标是什么？如果点关于轴的对称点分别为点，请判断两点是否在抛物线上．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.2.1 二次函数的图象①（解析版）
知识点1 y=ax 的图象——抛物线
y=ax 的图象是一条抛物线，可以用描点法画出。抛物线是轴对称图形，它有顶点和对称轴。
知识点2 开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。开口方向由二次项系数a的正负号决定。
知识点3 顶点与对称轴
y=ax 的顶点坐标为(0,0)，即顶点在原点；对称轴为y轴（即直线x=0）。抛物线关于y轴对称。
知识点4 |a|对开口大小的影响
|a|越大，抛物线开口越小（越陡）；|a|越小，开口越大（越平）。两条抛物线形状相同，说明它们的|a|相等。
知识点5 已知图象过点求a
已知y=ax 经过某点(x ,y )，将点坐标代入解析式，得到方程y =a·x ，解方程即可求出a的值。
考点1 y=ax 的图象——抛物线
【解题思路】y=ax 的图象是抛物线，描点法画图步骤：列表→描点→连线。注意抛物线是光滑曲线。
例1．根据函数图象填空：
（1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方；
（2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点．
【答案】 轴（或直线） 下 下 高
【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空．
【详解】（1）抛物线属于型二次函数．
根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是．
．则抛物线开口向上．且．
仅当时．
当时．．抛物线上的点都在轴上方．
（2）抛物线中．
．根据二次函数性质，抛物线开口向下．
．
仅当，即顶点处时．
除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点．
变式1．不画图象，说出抛物线和的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】抛物线开口向下，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为；抛物线开口向上，对称轴为直线（y轴），顶点坐标为．
【详解】解：抛物线中，
，
抛物线开口向下，对称轴是直线（轴），顶点坐标为；
抛物线中，
，
抛物线开口向上，对称轴是直线（轴），顶点坐标为．
变式2．写出一条抛物线，，共有的性质：_____
【答案】对称轴为轴（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答．
【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为，
当取、、时，这一性质保持不变．
故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）．
考点2 开口方向
【解题思路】看二次项系数a：a>0开口向上，a<0开口向下。a的正负号决定了开口方向。
例2．已知抛物线的开口向下，则实数m的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】1（填小于5的实数均可）
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．根据抛物线开口向下可知，再选择适合的值即可．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
解得 ．
∴ 的值可以是0（答案不唯一）．
变式1．请你写一个开口向上的二次函数解析式___________．
【答案】(本题答案不唯一)
【分析】根据二次函数的性质，开口向上的二次函数满足二次项系数大于，选取符合条件的系数即可写出满足要求的解析式．
【详解】解：二次函数的一般式为．
由二次函数的性质可知，当二次项系数时，二次函数的图象开口向上．
令，，，满足的条件，
开口向上的二次函数解析式为(本题答案不唯一)．
变式2．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围．
【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降，
抛物线开口向下，
，
故答案为：．
考点3 顶点与对称轴
【解题思路】y=ax 的顶点在原点(0,0)，对称轴是y轴(x=0)。抛物线上的点关于y轴对称。
例3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1）
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键；
利用二次函数的顶点坐标特征即可求解．
【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为，
又∵抛物线符合（）的形式，
∴抛物线的顶点坐标是，
故选：C．
变式1．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵抛物线的二次项系数为，
∴抛物线开口向下，对称轴为轴，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴．
变式2．若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小．
【详解】解：将代入得：，
将代入得，
，
，
即．
考点4 |a|对开口大小的影响
【解题思路】|a|越大开口越小(越陡)，|a|越小开口越大(越平)。两条抛物线形状相同说明|a|相等。
例4．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键．
直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：的开口向上，，
与开口向下，则，
∵的开口大于开口，
∴
∴，
∴
故选：D．
变式1．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______．
【答案】
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图：
因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，，
所以．
变式2．抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于抛物线，其开口大小由二次项系数的绝对值的大小决定，越大，抛物线的开口越小，据此可得答案．
【详解】解：∵抛物线与相比开口小，
∴，
∴可取，
故答案为：4（答案不唯一）．
考点5 已知图象过点求a
【解题思路】将已知点的横纵坐标代入y=ax ，得到关于a的方程，解方程即可求出a的值。
例5．已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质．
将代入解析式即可求出a的值．
【详解】解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
即，
∴．
故选：A．
变式1．若二次函数的图象过点，则______．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，将点代入函数解析式进行计算即可．
【详解】解：由题知，将点代入得，
．
故答案为：．
变式2．已知抛物线经过点．
(1)试判断点是否在此抛物线上．
(2)设点，是此抛物线上的两点．若，试判断，的大小关系．
【答案】(1)点不在此抛物线上，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将代入，求得解析式后，将代入后可判断；
（2）由条件可知、两点都在对称轴左侧，利用二次函数的单调性质可比较大小．
【详解】（1）解：将代入，得，
这个函数的表达式为．
当时，，
点不在此抛物线上．
（2）解：当时，函数值随的增大而增大，
又∵，
．
一、选择题
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可．
【详解】解：A选项，当时，，
∴不在该函数图象上，不符合题意；
B选项，当时，，
∴不在该函数图象上，不符合题意；
C选项，当时，，与点的纵坐标相等，
∴在该函数图象上，符合题意；
D选项，当时，，
∴不在该函数图象上，不符合题意．
2．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解．
根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为，则可设该函数解析式为，将点代入函数解析式求解即可．
【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为，
设该函数解析式为，
∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．
则点，
将点代入可得，，
解得，
∴抛物线的表达式为．
故选：A ．
3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）对于二次函数，当时，随的增大而（ ）
A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质判断开口方向，再根据对称轴分析增减性即可．
【详解】解：∵，
∴二次函数开口向下，
∵二次函数的对称轴为，
∴当时，随的增大而增大．
故选：C．
二、填空题
4．（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______．
【答案】
【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可．
【详解】解：将代入，得，
将代入，得，
∵，
∴．
三、解答题
5．（25-26九年级上·河南周口·期末）已知二次函数图像经过点．
(1)判断这个函数图像的开口方向；
(2)点在这个函数图像上，求m的值．
【答案】(1)开口向上
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质．
（1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向；
（2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值.
【详解】（1）解：将点代入中
得
即
解得
因为 所以这个函数图像的开口向上
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为
将点代入中
得
解得.
6．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点．
(1)求的值；
(2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）把点代入抛物线解析式进行求解即可；
（2）由（1）可得点的坐标，然后代入得出点的坐标，进而问题可求解．
【详解】（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：；
（2）解：由（1）可知抛物线的解析式为，
∴当时，则有，解得：，
当时，则有，
∴，
∴．
7．（25-26九年级上·吉林·期中）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)点在该函数的图象上，求的值．
【答案】(1)4
(2)16
【分析】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键．
（1）把点代入解析式即可求出的值；
（2）根据（1）中所求得到该二次函数的解析式，然后令，求出函数的值即为所求的值．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
，
解得：；
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，
∵点在这个图象上，
．
8．（2025九年级·全国·专题练习）已知点在抛物线上．
(1)的值为______．
(2)点关于轴的对称点的坐标是什么？如果点关于轴的对称点分别为点，请判断两点是否在抛物线上．
【答案】(1)
(2)点的坐标是；两点在抛物线上
【分析】（1）将点代入，即可求出的值；
（2）由（1）可知，点的坐标是，分别求出点、、的坐标，然后判断两点是否在抛物线上即可．
【详解】（1）解：将点代入得，，
故答案为：．
（2）解：由（1）可知，点的坐标为，
点关于轴的对称点的坐标为，
点关于轴的对称点的坐标分别为．
对于抛物线，当时，；当时，，
两点在抛物线上．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑