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浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.2.2 二次函数的图象②（原卷版）
知识点1 y=ax +k的图象——上下平移
y=ax +k的图象可由y=ax ________________得到。k>0时向__________平移，k<0时向__________平移。顶点坐标为__________，对称轴仍为__________。
知识点2 y=a(x-h) 的图象——左右平移
y=a(x-h) 的图象可由y=ax ________________得到。h>0时向__________平移，h<0时向__________平移。顶点坐标为__________，对称轴为直线__________。
知识点3 平移规律
二次函数图象平移的规律：__________（常数项变化），__________（自变量变化）。平移仅改变__________，不改变__________。
知识点4 比较函数值大小
对于y=ax +k或y=a(x-h) ，比较函数值大小的方法：①__________求函数值直接比较；②利用__________和__________比较。
知识点5 待定系数法求解析式
已知抛物线经过某点或已知顶点坐标，用__________求解析式：设合适的解析式形式→代入已知条件→__________求出未知系数。
考点1 y=ax +k的图象
【解题思路】y=ax +k的顶点是(0,k)，由y=ax 上下平移得到。k>0向上平移，k<0向下平移，开口方向和大小不变。
例1．对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（ ）
A．形状相同 B．顶点相同
C．最小值相同 D．最大值相同
变式1．已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合要求的实数a，则_________．
变式2．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____．
考点2 y=a(x-h) 的图象
【解题思路】y=a(x-h) 的顶点是(h,0)，由y=ax 左右平移得到。h>0向右平移，h<0向左平移，开口方向和大小不变。
例2．二次函数 的图象的顶点坐标是_____________________
变式1．若抛物线的开口向上，则的取值范围是___________．
变式2．二次函数的顶点坐标是________，当时，y随x的增大而________．
考点3 平移规律
【解题思路】平移口诀：上加下减（常数项），左加右减（自变量x）。平移不改变抛物线的形状和开口方向，只改变顶点位置。
例3．将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线．
(1)请你写出这个新抛物线的函数表达式；
(2)判断点是否在这个新抛物线上．
变式1．将抛物线向下平移3个单位长度后得到一个新的抛物线，请判断点是否在新抛物线上，并说明理由．
变式2．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3．
(1)求的值；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
考点4 比较函数值大小
【解题思路】比较函数值可直接代入横坐标求值比较，也可利用对称性：离对称轴越近，|y|越小(a>0时y越小)。
例4．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
变式1．若点和点都在抛物线上，则______（填不等号）．
变式2．若点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系为___________．（填“>”“<”或“=”）
考点5 待定系数法求解析式
【解题思路】设合适解析式（y=ax +k或y=a(x-h) ），代入已知点的坐标或顶点，解方程求待定系数a、k或h。
例5．已知点在函数的图象上，则_______．
变式1．请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______．
变式2．已知抛物线的图象经过点．
(1)求抛物线的解析式
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标
一、选择题
1．（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·吉林长春·一模）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．与y轴交于点
C．对称轴是直线 D．顶点坐标为
二、填空题
4．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可）
5．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为：________．（填“”“”或“”）
6．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________．
三、解答题
7．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．
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浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.2.2 二次函数的图象②（解析版）
知识点1 y=ax +k的图象——上下平移
y=ax +k的图象可由y=ax 向上或向下平移|k|个单位得到。k>0时向上平移，k<0时向下平移。顶点坐标为(0,k)，对称轴仍为y轴。
知识点2 y=a(x-h) 的图象——左右平移
y=a(x-h) 的图象可由y=ax 向左或向右平移|h|个单位得到。h>0时向右平移，h<0时向左平移。顶点坐标为(h,0)，对称轴为直线x=h。
知识点3 平移规律
二次函数图象平移的规律：上加下减（常数项变化），左加右减（自变量变化）。平移仅改变顶点位置，不改变开口方向和大小。
知识点4 比较函数值大小
对于y=ax +k或y=a(x-h) ，比较函数值大小的方法：①代入横坐标求函数值直接比较；②利用对称性和增减性比较。
知识点5 待定系数法求解析式
已知抛物线经过某点或已知顶点坐标，用待定系数法求解析式：设合适的解析式形式→代入已知条件→解方程求出未知系数。
考点1 y=ax +k的图象
【解题思路】y=ax +k的顶点是(0,k)，由y=ax 上下平移得到。k>0向上平移，k<0向下平移，开口方向和大小不变。
例1．对任何实数，抛物线和，以下说法正确的是（ ）
A．形状相同 B．顶点相同
C．最小值相同 D．最大值相同
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到，进而求解．
【详解】解：∵抛物线是由抛物线向上（下）平移个单位得到，
∴抛物线和形状相同， 故A正确，符合题意；
∵抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为m；抛物线，开口向上，顶点坐标为，有最小值为0．故B、C、D错误，不符合题意；
故选：A．
变式1．已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合要求的实数a，则_________．
【答案】1（答案不唯一）
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∴写出一个符合要求的实数a，则（答案不唯一）．
变式2．已知抛物线有最低点，那么的取值范围是_____．
【答案】
【分析】抛物线有最低点说明抛物线开口向上，则二次项系数大于0，由此可以确定的取值范围．
【详解】解：抛物线有最低点，
，
解得．
考点2 y=a(x-h) 的图象
【解题思路】y=a(x-h) 的顶点是(h,0)，由y=ax 左右平移得到。h>0向右平移，h<0向左平移，开口方向和大小不变。
例2．二次函数 的图象的顶点坐标是_____________________
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴为轴，则把代入求出，故顶点坐标为，即可作答．
【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为轴，
把代入，得，
即顶点坐标为，
故答案为：．
变式1．若抛物线的开口向上，则的取值范围是___________．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的性质，根据二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上.
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴ ，
∴.
故答案为：.
变式2．二次函数的顶点坐标是________，当时，y随x的增大而________．
【答案】 减小
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标和增减性．
将函数化为顶点式可直接得到顶点坐标，再根据开口方向判断增减性．
【详解】解：二次函数可化为，
因此顶点坐标为，对称轴为直线，
由于，
∴抛物线开口向上，
∵对称轴为直线，
当时，函数在对称轴左侧，y随x的增大而减小．
故答案为：，减小．
考点3 平移规律
【解题思路】平移口诀：上加下减（常数项），左加右减（自变量x）。平移不改变抛物线的形状和开口方向，只改变顶点位置。
例3．将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线．
(1)请你写出这个新抛物线的函数表达式；
(2)判断点是否在这个新抛物线上．
【答案】(1)新抛物线解析式为；
(2)点在这个新抛物线上．
【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律．
（1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解；
（2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上．
【详解】（1）解：根据二次函数的平移规律可得：
的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为；
（2）解：将代入新抛物线解析式可得，
即点在抛物线上．
变式1．将抛物线向下平移3个单位长度后得到一个新的抛物线，请判断点是否在新抛物线上，并说明理由．
【答案】点A在新抛物线上，见解析
【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律．
根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，求解平移后的函数解析式，再把点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上．
【详解】解：点A在新抛物线上，理由如下：
根据二次函数的平移规律可得：
的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为，
将代入新抛物线解析式可得，
即点在抛物线上．
变式2．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3．
(1)求的值；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)，
(2)开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标为
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据“与抛物线的形状相同，开口方向相反”，得，再结合“图象上离轴最近的点与轴的距离为3”，得，即可作答．
（2）由（1）得，对称轴轴，开口方向向上，顶点坐标为，即可作答．
【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，
∴，
则抛物线为，
∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上
∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且
∴；
（2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上，
解析式为
把代入，得
即顶点坐标．
考点4 比较函数值大小
【解题思路】比较函数值可直接代入横坐标求值比较，也可利用对称性：离对称轴越近，|y|越小(a>0时y越小)。
例4．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】将两点横坐标分别代入抛物线解析式，得到和的值，再比较大小即可求解．
【详解】解：∵点和点都在抛物线上，
∴将代入解析式，得，
将代入解析式，得，
∵，
∴．
变式1．若点和点都在抛物线上，则______（填不等号）．
【答案】＜
【分析】分别将两点的横坐标代入抛物线解析式，得到和的表达式，比较两个表达式的大小即可得到结果.
【详解】解：将代入，得，
将代入，得，
作差得，
因此．
变式2．若点，都在二次函数的图象上，则与的大小关系为___________．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，
通过代入点的横坐标计算函数值，比较大小．
【详解】解：将点代入二次函数，得；
将点代入，得．
因为，
所以．
故答案为：．
考点5 待定系数法求解析式
【解题思路】设合适解析式（y=ax +k或y=a(x-h) ），代入已知点的坐标或顶点，解方程求待定系数a、k或h。
例5．已知点在函数的图象上，则_______．
【答案】49
【分析】利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵点在函数的图象上，
∴．
变式1．请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的图像及其性质，熟练掌握二次函数的图像及其性质是解题的关键．根据二次函数图像的性质，开口向上即二次项系数，且函数过点即当时，，得常数项．
【详解】解：设二次函数为，由开口向上得，由过点得，
取，，即函数为，满足条件，
故答案为：（答案不唯一）．
变式2．已知抛物线的图象经过点．
(1)求抛物线的解析式
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标
【答案】(1)
(2)开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）根据抛物线的解析式即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为．
一、选择题
1．（26-27九年级·上海·暑假作业）当时，的函数值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：将代入，得
2．（2026·吉林长春·一模）若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】直接将点的横坐标代入抛物线解析式，得到与的表达式，即可比较大小．
【详解】解：点和点都在抛物线上，
将代入解析式得；
将代入解析式得；
，
．
故选：．
3．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．与y轴交于点
C．对称轴是直线 D．顶点坐标为
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，由解析式直接判断开口方向，对称轴，顶点坐标，再求出与y轴交点坐标，逐一判断选项即可.
【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数
∴抛物线开口向上，A错误；
令，得，因此抛物线与y轴交于点，B错误；
对于形如的二次函数，对称轴为直线，因此C正确；
的顶点坐标为，因此D错误.
二、填空题
4．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若抛物线（m为常数）的开口向上，则m的值可以是________．（写出一个即可）
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键．
根据二次函数图像的性质，开口向上时二次项系数大于零，据此解答即可．
【详解】解：由于抛物线的开口向上，
则，
解得，
则的值可以是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
5．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系为：________．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】将点代入，求出，比较大小即可.
【详解】解：∵，
∴当时，；当时，，
∵，
∴.
6．（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知抛物线的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数的对称轴，与y轴的交点为．由抛物线对称轴是y轴，得，代入求出，再代入解析式得到，最后求顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴，
∴对称轴方程为，
解得，代入得，
当时，，
∴顶点坐标为．
故答案为．
三、解答题
7．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．
【答案】见解析
【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的平移性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出函数经过点；函数经过点；再描点，然后依次用光滑的曲线连接，得出它们的图象，然后结合平移的性质以及函数图象性质，进行分析，即可作答．
【详解】解：令时，则，；
令时，则，；
令时，则，；
即函数经过点；
即函数经过点；
再描点，然后依次用光滑的曲线连接，故和的图象，如图：
的图象向上平移1个单位得的函数图象；
的对称轴是y轴，顶点坐标是；
的对称轴是y轴，顶点坐标是．
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