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第六章
机械能
第29讲　功和功率
学习目标 命题热点
(1)理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。 (2)理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。 (3)会分析两种机车启动方式中各物理量的变化并能进行相关计算。 功和功率的计算、机车启动问题在高考中考查频率较高，功的计算常与动能定理综合考查，功率的计算常与能量守恒定律综合考查。
考点一
考点二
考点三
提能训练　练案[29]
考点一　功的分析和计算
1．做功的两个要素
(1)作用在物体上的_____。
(2)物体在力的方向上发生_______。
2．公式：W＝_________。
(1)α是力与_______方向之间的夹角，l为_________________的位移的大小，F是物体受到的某一个力或合力的数值。
(2)该公式只适用于_______做功。
力
位移
Flcos α
位移
力的作用点对地
恒力
3．功的正负
(1)当0≤α<90°时，W>0，力对物体做_______。
(2)当90°<α≤180°时，W<0，力对物体做_______，或者说物体_______这个力做了功。
(3)当α＝90°时，W＝0，力对物体_________。
正功
负功
克服
不做功
4．恒力做功的分析和计算
(1)判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据 适用情况
根据力和位移的方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
(2)合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求合力做的功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1，求合力做的功。
5．两个常用推论
(1)恒力做功等于力与物体在力的方向上位移的乘积，与运动路径无关。
(2)如图所示，物体由A滑到D克服摩擦力做的功W＝μmg·BD。
易 错 辨 析
1．一个力没有对物体做功，物体一定静止。(　　)
2．一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。(　　)
3．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定不做功。(　　)
4．作用力做正功时，反作用力一定做负功。(　　)
5．力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1比F2做功多。(　　)
×
√
×
×
×
(多选)如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，升降机以5 m/s2的加速度从静止开始匀加速上升运动了4 s。g取10 m/s2，则(　　)
A．斜面对物体的支持力做功900 J
B．斜面对物体的摩擦力做功－300 J
C．物体克服重力做功－800 J
D．合外力对物体做功400 J
[答案]　AD
跟 踪 训 练
1．(2023·北京卷·11题)如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中(　　)
A．摩擦力做功大小与F方向无关
B．合力做功大小与F方向有关
C．F为水平方向时，F做功为μmgx
D．F做功的最小值为max
[答案]　D
[解析]　设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为f＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力的功Wf＝μ(mg－Fsin θ)x，即摩擦力的功与F的方向有关，选项A错误；合力功W＝F合x＝ma·x，可知合力功与力F方向无关，选项B错误；当力F水平时，则F＝ma＋μmg，力F做功为WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，选项C错误；因合外力功为max大小一定，而合外力的功等于力F与摩擦力f做功的代数和，而当Fsin θ＝mg时，摩擦力f＝0，则此时摩擦力做功为零，此时力F做功最少，最小值为max，选项D正确。故选D。
考点二　功率的分析和计算
1．定义：功与完成这些功所用_______之比。
2．物理意义：描述力对物体做功的_______。
3．公式
(2)P＝________，α为F与v的夹角。
①若v为平均速度，则P为___________。
②若v为瞬时速度，则P为___________。
时间
快慢
平均功率
Fvcos α
平均功率
瞬时功率
易 错 辨 析
1．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(　　)
2．当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。(　　)
3．功率越大，力对物体做的功一定越多。(　　)
√
×
×
平均功率和瞬时功率的计算
考向1
(多选)如图所示，同一高度处有4个质量相同且可视为质点的小球，现使小球A做自由落体运动，小球B做平抛运动，小球C做竖直上抛运动，小球D做竖直下抛运动，且小球B、C、D抛出时的初速度大小相同，不计空气阻力。小球从释放或抛出到落地的过程中(　　)
A．重力对4个小球做的功相同
B．重力对4个小球做功的平均功率相等
C．落地前瞬间，重力对4个小球的瞬时功率大小关系为PA＝PB[答案]　AC
[规律方法]　计算功率的方法
1．平均功率的计算方法
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝F·vcos θ，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
跟 踪 训 练
2．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(　　)
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．4 s内F的平均功率为42 W
[答案]　C
利用能量观点求功率
考向2
(2024·浙江6月选考·5题)一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10－4 m2，喷水速度约为10 m/s，水的密度为1×103 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为(　　)
A．10 W B．20 W
C．100 W D．200 W
[答案]　C
考点三　机车启动问题
1．机车的功率：P＝Fv，P代表功率，F才是牵引力。
2．额定功率和实际功率
(1)额定功率：机器_______工作的功率，一般在机器的铭牌上标明。
(2)实际功率：机器___________时输出的功率。要求___________额定功率。
正常
实际工作
小于等于
3．两种启动方式的比较
易 错 辨 析
1．根据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。(　　)
2．汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较小的牵引力。(　　)
3．同一机车在同一路面行驶时，机车达到的最大速度一定相同。(　　)
√
×
√
机车以恒定功率启动
考向1
A．玩具汽车的最大速度为5 m/s
B．玩具汽车的质量为0.5 kg
C．玩具汽车所受阻力大小为2 N
D．玩具汽车的加速度大小为2 m/s2时的速度大小为1.5 m/s
[答案]　C
机车以恒定加速度启动
考向2
[答案]　(1)60 kW　(2)6 000 N　1.5×105 J　(3)1 400 m
[解析]　(1)汽车受到的阻力为Ff＝0.1mg＝2 000 N
当牵引力等于阻力时，汽车速度达到最大，则汽车的额定功率为P＝F牵vm＝Ffvm＝60 000 W＝60 kW。
根据牛顿第二定律可得F－Ff＝ma，
可得F＝6 000 N
在0～t1期间牵引力做的功为W＝Fx1＝1.5×105 J。
解得x2＝1 400 m。
[规律方法]　机车启动问题的三个重要关系式
(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程中非匀变速阶段的位移大小。
跟 踪 训 练
3．(多选)(2026·吉林省吉林市一模)如图甲所示，“水上飞人”是一种水上娱乐运动。喷水装置向下持续喷水，总质量为M的人与喷水装置受到向上的反冲作用力腾空而起，在空中做各种运动。一段时间内，人与喷水装置在竖直方向运动的v－t图像如图乙所示，水的反冲作用力的功率恒定，规定向上为正方向，忽略水管对喷水装置的拉力以及空气的阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．t1～t2时间内，水的反冲作用力越来越大
B．水的反冲作用力的功率为Mgv2
D．t2～t3时间内，水的反冲作用力做的功为Mgv2t3
[答案]　BC
提能训练　练案[29]
基础巩固练
1．如图所示，小物块在大小相等的恒力F作用下，在水平地面上向前运动相同的位移，图A和图C的地面是光滑的，图B和图D的地面是粗糙的，则下列四图所示的情况中F做功最多的是(　　)
[答案]　A
[解析]　由题知，小物块在大小相等的恒力F作用下，在水平地面上向前运动相同的位移，则图A中F做功为WA＝Fx，图B中F做功为WB＝Fxcos 30°，图C中F做功为WC＝Fxcos 30°，图D中F做功为WD＝Fxcos 60°，故四图所示的情况中F做功最多的是图A，故选A。
2．(2026·河北张家口联考)如图，一磁铁吸附在铁板AB的下方。现保持铁板与水平面间的夹角θ不变，缓慢推动B端，使AB与磁铁一起水平向左匀速移动，则(　　)
A．合外力对磁铁做正功
B．AB对磁铁的作用力不做功
C．AB对磁铁的弹力不做功
D．AB对磁铁的摩擦力不做功
[答案]　B
[解析]　由于磁铁做匀速运动，磁铁所受合外力为零，合外力对磁铁不做功，故A错误；磁铁受重力和AB对它的作用力而做匀速运动，根据平衡条件可知，AB对磁铁的作用力大小等于重力大小，方向竖直向上，与磁铁的运动方向相互垂直，故AB对磁铁的作用力不做功，故B正确；AB对磁铁的弹力垂直接触面，与磁铁的运动方向不垂直，故弹力一定做功，故C错误；AB对磁铁的摩擦力沿接触面，与磁铁运动方向不垂直，故摩擦力一定做功，故D错误。
3．(2026·江苏镇江期末)“复兴号”动车组运行时所受阻力与其速率成正比。当动车组以速度v匀速行驶时，牵引力功率为P。若以速度2v匀速行驶时，牵引力功率为(　　)
A．P B．2P
C．4P D．8P
[答案]　C
[解析]　F阻＝kv，当动车组以速度v匀速行驶时，牵引力功率为P，则P＝F阻v＝kv2。若以速度2v匀速行驶时，则牵引力功率为P′＝ F阻′·2v＝k·2v·2v＝4F阻v＝4P，故选C。
4．(2026·厦门模拟)人工智能技术正加速与实体场景深度融合。一无人快递配送车在测试时，以恒定的加速度a1由静止匀加速启动，达到额定功率后保持恒定功率行驶至最大速度，该过程的v－t图像用图线①表示。若以加速度a2(a2>a1)由静止匀加速启动，其他条件不变，其v－t图像用图线②表示，两次测试过程中配送车所受阻力相同且恒定，则下列图像中可能正确的是(　　)
[答案]　C
5．(多选)如图所示，物体在水平恒力F的作用下，从斜面底端O点沿斜面缓慢移动到A点，去掉F后，物体从A点下滑到水平面的B点停下。斜面的倾角为θ，OA的水平距离为L1，OB距离为L2，物体的质量为m，物体与水平面和斜面间的动摩擦因数都为μ，下面判断正确的是(　　)
A．物体从O移动到A，重力做的功是mgL1tan θ
B．物体从O移动到A，水平恒力F做的功是FL1
C．物体从O移动到A和从A下滑到O克服摩擦力做的功相等
D．物体从A下滑到水平面的B，克服摩擦力做的功是μmg(L1＋L2)
[答案]　BD
[解析]　物体从O移动到A，重力做的功是－mgL1tan θ，A项错误；水平恒力F做的功是FL1，B项正确；物体从O移动到A和从A下滑到O受支持力不同，摩擦力不同，克服摩擦力做的功不相等，C项错误；物体从A下滑到B的运动过程中克服摩擦力做的功为：Wf＝μmgAOcos θ＋μmgOB＝μmg(L1＋L2)，D项正确。
6．将三个光滑的平板倾斜固定，三个平板顶端到底端的高度相等，三个平板AE、AD、AC与水平面间的夹角分别为θ1、θ2、θ3，如图所示。现将三个完全相同的小球同时由最高点A沿三个平板无初速度释放，经一段时间到达平板的底端，则下列说法错误的是(　　)
A．重力对三个小球做的功相等
B．三个小球到达底端时的瞬时速度大小相同
C．沿AE平板下滑的小球所受重力的平均功率最大
D．沿AC平板下滑的小球到达平板底端时重力的瞬时功率最大
[答案]　C
7．(2025·山东卷·5题)一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为50%。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力f＝kv(k为常量)，该光伏电池的光电转换效率为η，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为(　　)
[答案]　A
8．(多选)如图所示，一个质量m＝2.0 kg的物体放在倾角α＝37°的固定斜面上，现用F＝30 N、平行于斜面的力拉物体使其由静止开始沿斜面向上运动。已知物体与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.50，斜面足够长，g取10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80。物体运动2 s后，关于各力做功情况，下列说法中正确的是(　　)
A．重力做功为－120 J
B．摩擦力做功为－80 J
C．拉力做功为100 J
D．物体所受的合力做功为100 J
[答案]　ABD
能力提升练
9．(多选)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0，t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动状态，(设整个过程中汽车所受的阻力不变)。在下列选项中能正确反映汽车速度v、汽车牵引力F在这个过程中随时间t的变化规律的是(　　)
[答案]　AD
10．(多选)(2026·陕西商洛市模拟)如图所示，在投掷铅球比赛中，某同学先后从同一位置抛出同一铅球，铅球第1次落在水平地面上的M点，第2次落在水平地面上的N点，两次铅球到达的最大高度相同。不计空气阻力，关于两次铅球在空中运动情况的描述，下列说法正确的是(　　)
A．两次推球过程，速度变化量大小相同
B．两次推球过程，平均速度大小可能相同
C．推球过程，合外力对铅球做功满足W1＝W2
D．铅球落地时，重力的瞬时功率满足P1＝P2
[答案]　BD
C．汽车能达到的最大速度为v0
[答案]　BD
A．汽车从a到b持续的时间为9 s
B．汽车由b到c过程做匀加速直线运动
C．在此测试过程中汽车最大功率为80 kW
D．汽车能够获得的最大速度为30 m/s
[答案]　AC
A．该汽车匀速行驶过程中所受的阻力大小为800 N
B．该汽车刚进入制动状态的瞬间，汽车所受合力大小为4 800 N
C．制动过程该汽车的速度为5 m/s时，加速度大小为3 m/s2
D．该汽车从刹车到停止经历的时间为3.2 s
[答案]　CD
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