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第四章
曲线运动
第22讲　圆周运动
学习目标 命题热点
(1)熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系。 (2)掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。 (3)会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法。 高考中该考点考查频率较高，向心力公式的应用是主流考向。
考点一
考点二
考点三
提能训练　练案[22]
考点一　圆周运动的运动学问题
1．描述圆周运动的物理量
ωR
(5)向心加速度：描述线速度改变快慢的物理量。an＝____＝______＝______＝_____，方向始终指向圆心，只改变v的方向，不改变v的大小。
ω2R
ωv
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处______，所做的运动叫作匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小_______，方向始终指向_______，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小_______，方向始终与_______方向垂直且指向圆心。
相等
不变
圆心
不变
速度
3．常见传动装置及其特点
易 错 辨 析
1．匀速圆周运动是变速运动。(　　)
2．匀速圆周运动是变加速运动。(　　)
3．向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量。(　　)
4．向心加速度与线速度的平方成正比。(　　)
√
√
√
×
描述圆周运动的物理量及其关系
考向1
如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径大约是36 m。一位同学沿最内圈匀速率跑过一侧弯道的时间约为12 s，则这位同学在沿弯道跑步时(　　)
[答案]　D
圆周运动的传动装置问题
考向2
一辆前轮为驱动轮的汽车在进行上线检测时，需要把驱动轮压在两个半径相同的有固定转轴的滚筒上，保证驱动轮转动时汽车不会向前运动，工作人员模拟驾驶汽车，使汽车驱动轮以恒定的转速转动，并且车轮与滚筒间不打滑。如图所示，A、B、C分别为轮胎边缘、轮毂边缘及滚筒边缘上的三个点，半径分别为rA、rB、rC，且rA∶rB∶rC＝4∶3∶2。下列说法正确的是(　　)
A．A点与B点的线速度大小相等
B．A点与C点的角速度大小相等
C．B点与C点的线速度大小之比为4∶3
D．B点与C点的角速度大小之比为1∶2
[答案]　D
[解析]　由题图可知，A点与B点为同轴传动，所以角速度相等，即ωA＝ωB，根据v＝ωr，又因为rA∶rB＝4∶3，所以vA∶vB＝4∶3，故A错误；由题图可知，A点与C点为摩擦传动，具有相同的线速度大小，即vA＝vC，根据v＝ωr，又因为rA∶rC＝4∶2＝2∶1，所以ωA∶ωC＝1∶2，故B错误；因为vA∶vB＝4∶3，vA＝vC，所以vB∶vC＝3∶4，故C错误；因为ωA＝ωB，ωA∶ωC＝1∶2，所以ωB∶ωC＝1∶2，故D正确。故选D。
匀速圆周运动的周期性和多解性问题
考向3
(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　)
[答案]　ACD
[规律方法]　匀速圆周运动的周期性和多解性问题
匀速圆周运动基本特征之一就是周期性，即在做匀速圆周运动过程中，物体的空间位置具有时间上的重复性。这一特点决定了匀速圆周运动问题的多解性。在分析匀速圆周运动与其他运动(匀速直线运动、平抛运动等)相联系的问题时，利用运动的等时性(同时发生、同时结束)是解决此类问题的关键。
考点二　匀速圆周运动的动力学问题
1．匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的_______，不改变速度的_______。
(2)大小
Fn＝______＝________＝________＝mωv＝4π2mf2r。
(3)方向
始终沿半径方向指向_______，时刻在改变，即向心力是一个变力。
方向
大小
mrω2
圆心
2．对圆周运动向心力的理解
(1)向心力是按力的作用效果命名的，可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质力提供，可以是某个力或某个力的分力，也可以是几个力的合力，在受力分析中要避免再添加一个向心力。
(2)匀速圆周运动的合外力恰好全部提供向心力，即F向＝F合。
3．匀速圆周运动中向心力的来源
运动模型 向心力Fn的来源(图示)
汽车在水平路面转弯
圆锥摆
运动模型 向心力Fn的来源(图示)
飞车走壁
飞机水平转弯
运动模型 向心力Fn的来源(图示)
火车转弯
4．离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做_______________的运动。
(2)受力特点(如图)
①当F＝0时，物体沿_______方向飞出，做匀速直线运动。
②当0③当F>mrω2时，物体逐渐_____________，做_______运动。
逐渐远离圆心
切线
远离
离心
向圆心靠近
近心
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力_______做匀速圆周运动需要的向心力。
小于
易 错 辨 析
1．做圆周运动的物体除受到重力、弹力、摩擦力外，还受到向心力的作用。(　　)
2．做匀速圆周运动的物体合力就是向心力。(　　)
3．在绝对光滑的水平路面上汽车可以转弯。(　　)
4．火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大。(　　)
5．飞机在空中沿半径为R的水平圆周盘旋时，飞机机翼一定处于倾斜状态。(　　)
6．汽车转弯时应减速行驶，防止速度过大做离心运动。(　　)
×
√
×
√
√
√
[规律方法]　圆周运动的动力学问题的分析思路
跟 踪 训 练
1．(类圆锥摆模型)一种叫“旋转飞椅”的游乐项目如图甲所示，其结构简化模型如图乙所示。长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。转盘静止时，钢绳沿竖直方向自由下垂；转盘匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，且与竖直方向的夹角为θ。将游客和座椅看作一个质点，不计钢绳重力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法不正确的是(　　)
A．匀速转动时，游客和座椅受到的合力始终沿水平方向
C．转速缓慢增大，角θ总小于90°
D．转速缓慢增大，钢绳上张力的竖直分量保持不变
[答案]　B
2．(类圆锥桶模型)(多选)(2025·广东卷·8题)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有(　　)
A．角速度为5 rad/s
B．线速度大小为4 m/s
C．向心加速度大小为10 m/s2
D．所受支持力大小为1 N
[答案]　AC
3．(列车转弯问题)(多选)列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
D．若增大α角，可提高列车安全过转弯处的速度
[答案]　BD
4．(离心运动)如图所示为医学上常用的离心式血细胞分离机的原理示意图，分离机的工作台带动试管高速转动，因为不同的血液成分密度不同，所以在试管中从上而下自动分离出血浆、白细胞和红细胞。下列说法正确的是(　　)
A．离心机的转速越大，试管底部受到的压力越小
B．用离心机处理血液，红细胞因为受到了离心力作用，所以和血浆产生了分层
C．离心机的转速越大越容易实现血浆、白细胞和红细胞的分层
D．若在天宫空间站上利用此装置进行实验，由于完全失重将无法实现血液成分的分层
[答案]　C
[解析]　用离心机处理血液，血浆和红细胞做离心运动是因为受到的实际力不足以提供所需的向心力，不存在离心力，故B错误；离心机的转速越大，则角速度越大，做圆周运动需要的向心力越大，试管底部对血液的弹力越大，根据牛顿第三定律可知，试管底部受到的压力越大，则越容易实现血浆和细胞的分层，故A错误，C正确；若在天宫空间站上利用此装置进行实验，由于离心现象与重力无关，仍能实现血液成分的分层，故D错误。故选C。
考点三　变速圆周运动和一般的曲线运动
1．变速圆周运动
(1)速度特点
线速度的大小、方向都_______。
(2)合力特点
合力产生两个效果：
①沿半径方向的分力_______，即向心力，它改变速度的_______。
②沿切线方向的分力________，它改变速度的________。
变化
Fn
方向
Ft
大小
(3)向心力来源
注意：变速圆周运动合力不一定是向心力，但是，沿半径方向的合力一定是向心力。
2．一般的曲线运动的研究方法
对于一般的曲线运动，可以把轨迹分成很多小段，每一段可以看成圆弧，应用向心力公式解决问题。
变速圆周运动
考向1
质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是(　　)
A．秋千对小明的作用力小于mg
B．秋千对小明的作用力大于mg
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
[答案]　A
一般的曲线运动
考向2
如图所示，两段内壁光滑的四分之一弧形圆管道，拼成一个“S”形轨道MN，固定在水平桌面上，A、B、C、D分别是两段弧形轨道的内壁。一直径略小于轨道内径的小球以一定初速度由轨道口M进入到从N穿出的过程中，对小球没有挤压作用的内壁是(　　)
A．A壁和D壁 B．B壁和C壁
C．A壁和C壁 D．B壁和D壁
[答案]　C
[解析]　小球在每一段小圆弧上做圆周运动，需要弹力提供向心力，因为桌面是水平的，而向心力指向圆心，所以B壁和D壁对小球有弹力作用，即与小球有挤压作用的是B壁和D壁，对小球没有挤压作用的是A壁和C壁，故选C。
提能训练　练案[22]
基础巩固练
D．P点所受合外力总是指向O
[答案]　AD
2．(多选)卷帘的侧视结构简化如图所示，窗帘和轻质塑料拉珠分别套在半径为r1、r2的滑轮与齿轮上，滑轮与齿轮套在同一底杆上。现用手向下缓慢匀速拉动左侧拉珠，带动窗帘上升，拉珠与齿轮、窗帘与滑轮均无相对滑动，a、b分别为滑轮与齿轮上的点，下列说法正确的有(　　)
A．滑轮的转动周期与齿轮的转动周期之比为1∶1
B．窗帘上升的速度与拉珠向下运动的速度之比为r1∶r2
C．滑轮的转速与齿轮的转速之比为r2∶r1
D．a点的向心加速度与b点的向心加速度之比为r2∶r1
[答案]　AB
[答案]　A
A．90 B．120
C．150 D．180
[答案]　C
A．11 N B．9 N
C．7 N D．5 N
[答案]　C
6．如图所示，甲汽车在水平路面上转弯行驶。乙汽车在倾斜路面上转弯行驶。关于两辆汽车的受力情况，以下说法正确的是(　　)
A．两车都受到路面竖直向上的支持力作用
B．两车都一定受平行路面指向弯道内侧的摩擦力
C．甲车可能不受平行路面指向弯道内侧的摩擦力
D．乙车可能受平行路面指向弯道外侧的摩擦力
[答案]　D
7．(多选)(2026·河北唐山期中)如图，质量为m的质量分布均匀的圆盘做水平面内的匀速圆周运动，其中O、O′、O″三点共线，A、B、C三点在圆盘边缘上均匀分布，O′A、O′B、O′C等长且与OO′的夹角均为120°。O为悬点，OO′与竖直方向夹角为45°，O′A、O′B、O′C、OO′所能承受的最大拉力均为2mg。下列说法正确的是(　　)
C．若角速度增大，OO′绳先断
D．若角速度增大，O′A、O′B、O′C比OO′绳先断
[答案]　AC
能力提升练
8．(2026·河南郑州期中)2025年9月，杭州超重力场启动全球最大的离心机主机。如图为离心机结构的俯视图，质量均为m的模型舱和配重系统通过转臂连接，在水平面内绕竖直转轴以角速度ω做匀速圆周运动。正常转动时，两者重心到转轴的距离均为R，转轴受到的水平作用力为0。若某次实验中，模型舱的重心到转轴的距离增加了d，其余条件不变，则转轴受到的水平作用力大小为(　　)
A．mω2R B．mω2d
C．mω2(R＋d) D．mω2(R－d)
[答案]　B
[解析]　若某次实验中，模型舱的重心到转轴的距离增加了d，其余条件不变，以配重系统为对象，水平方向根据牛顿第二定律可得F1＝mω2R，以模型舱为对象，水平方向根据牛顿第二定律可得F2＝mω2(R＋d)，以转臂为对象，可得转轴对转臂的水平作用力大小为F＝F2′－F1′，其中F1′＝F1＝mω2R，F2′＝F2＝mω2(R＋d)，可得F＝mω2d，则转轴受到的水平作用力大小为mω2d。故选B。
9．(2025·重庆卷·3题)“魔幻”重庆的立体交通屋叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度2v0分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度v0进入半径为R的OP圆弧段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则(　　)
A．汽车到O点时，列车行驶距离为s
[答案]　B
10．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看作质点且其质量m＝ 1 kg，g取10 m/s2，则(　　)
A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N
[答案]　AC
11．(多选)(2025·山东卷)如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1＝5 m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O′点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B＝90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地
D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地
[答案]　BC
12．(2023·福建卷·15题)一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2 m，杆与竖直转轴的夹角a始终为60°，弹簧原长x0＝0.1 m，弹簧劲度系数k＝100 N/m，圆环质量m＝1 kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，摩擦力可忽略不计。
(1)若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
(2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
(3)求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
[解析]　(1)当细杆和圆环处于平衡状态时，对圆环受力分析得T0＝mgcos α＝5 N
弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离x1＝x0－Δx0＝0.05 m。
由几何关系得圆环此时转动的半径为r＝x0sin α
(3)圆环处于细杆末端P时，对圆环受力分析，圆环受重力和支持力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得T＝k(L－x0)＝10 N
建立如图所示坐标系
圆环在竖直方向受力平衡，水平方向由合力提供向心力，则有mg＋Tcos α＝FNsin α，Tsin α＋FNcos α＝mω2r′
由几何关系得r′＝Lsin α
联立解得ω＝10 rad/s。
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