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第五章
万有引力与宇宙航行
第26讲　万有引力定律及应用
学习目标 命题热点
(1)理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。 (2)掌握计算天体质量和密度的方法。 开普勒第二定律、第三定律的应用，天体质量和密度的计算在高考中考查频率较高。
考点一
考点二
考点三
提能训练　练案[26]
考点一　开普勒三定律的理解和应用
1．开普勒三定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在________的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的________相等
椭圆
椭圆
面积
三次方
二次方
2．开普勒三定律的理解
(1)适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
(2)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
易 错 辨 析
1．所有行星绕太阳运动的轨道有一个共同的焦点。(　　)
2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(　　)
3．离太阳越远的行星，周期越大。(　　)
√
×
√
自 主 验 收
1．(开普勒第一定律、第二定律、第三定律的理解和应用)如图是太阳系八大行星围绕太阳运动的示意图，下列说法正确的是(　　)
A．八大行星的轨迹都是椭圆，太阳位于八个椭圆的几何中心
B．八大行星轨道半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值与太阳的质量无关
C．八大行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积都相等
D．同一行星，远日点和近日点的速率与到太阳的距离成反比
[答案]　D
[解析]　八大行星的轨迹都是椭圆，太阳位于八个椭圆的共同焦点处，故A错误；八大行星轨道半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值与太阳的质量有关，故B错误；由开普勒第二定律可知同一行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积才相等，故C错误；由开普勒第二定律可知同一行星远日点和近日点的速率与到太阳的距离成反比，故D正确。故选D。
2．(开普勒第二定律、第三定律的应用)(2025·广东卷)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是(　　)
A．公转周期约为6年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
[答案]　D
考点二　万有引力定律
1．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与___________________成正比，与_______________________成反比。
(2)公式：F＝________，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。公式中的r是两个物体之间的_______。
两物体质量的乘积
两物体间距离的二次方
距离
(3)适用条件
①公式适用于_______间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是_________间的距离。
质点
两球心
2．万有引力与重力的关系
(1)地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(2)万有引力与重力的定量关系：
3．不同位置处重力加速度的比较
易 错 辨 析
1．只有天体之间才存在万有引力。(　　)
×
3．牛顿发现了万有引力定律并第一个测出了地球的质量。(　　)
4．牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量。(　　)
×
×
×
“挖补法”求解万有引力
考向1
[答案]　C
[规律方法]　万有引力的“两个推论”
推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
万有引力与重力的关系
考向2
[答案]　D
地球外部某点和地球内部某点加速度的计算
考向3
已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为(　　)
[答案]　C
跟 踪 训 练
A．0.2 m B．1 m
C．4 m D．6 m
[答案]　B
考点三　天体质量和密度的计算
注意：(1)已知任一天体表面的重力加速度和天体半径，都可以求出天体的质量；
(2)利用天体运动只能求出中心天体的质量；
(3)利用靠近天体表面卫星的周期就可以求出天体的密度。
利用天体表面重力加速度求天体质量和密度
考向1
[答案]　B
利用天体运动求天体质量和密度
考向2
[答案]　D
提能训练　练案[26]
基础巩固练
1．北京冬奥开幕式24节气倒计时惊艳全球，如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是(　　)
A．夏至时地球的运行速度最大
D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
[答案]　D
2．(2025·全国卷理综·15题)“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，(　　)
A．受月球的引力大小保持不变
B．相对月球的速度大小保持不变
C．离月球越近，其相对月球的速度越大
D．离月球越近，其所受月球的引力越小
[答案]　C
3．(多选)宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R。不考虑月球自转的影响，则下列表述正确的是(　　)
[答案]　ABD
4．(2025·云南卷·5题)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半 径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
[答案]　C
5．(多选)(2025·安徽卷·9题)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(　　)
[答案]　BC
6．(2024·海南卷·6题)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
[答案]　D
7．(2026·河南郑州联考)2025年8月，我国揽月月面着陆器着陆起飞综合验证试验取得圆满成功。如图，为了在地球上模拟月球重力环境，试验时把着陆器悬挂在重力补偿系统下方，为其提供合适的拉力。已知地球质量是月球的a倍、半径是月球的b倍，着陆器质量为m，地球表面的重力加速度为g，则重力补偿系统对着陆器提供的拉力大小为(　　)
[答案]　A
8．(2025·广东广州高三期中)人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为m的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为ΔF。已知地球自转周期为T。根据以上信息，可求出地球的半径为(　　)
[答案]　A
9．(2024·山东卷·5题)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　)
[答案]　D
能力提升练
10．(2026·重庆市松树桥中学月考)如图所示，A、B两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，O为地心，在两卫星运行过程中，AB连线和OA连线的夹角最大为θ，则A、B两卫星(　　)
[答案]　C
[答案]　C
12．(2026·贵州省六校联盟模拟)已知质量分布均匀的球壳对内部物体产生的万有引力为0。对于某质量分布均匀的星球，在距离星球表面不同高度或不同深度处重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置到该星球球心的距离，用g表示该位置处的重力加速度大小，忽略星球自转，下列关于g与x的关系图像可能正确的是(　　)
[答案]　A
B．月球的质量为Gk
D．每次变轨后探测器的机械能不变
[答案]　C
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