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第六章
机械能
第32讲　机械能守恒定律
学习目标 命题热点
(1)理解重力做功与重力势能的关系。 (2)会判断机械能是否守恒。 (3)能应用机械能守恒定律解决具体问题。 机械能守恒定律的应用在高考中考查频率较高，一般与抛体运动、圆周运动综合命题。
考点一
考点二
考点三
提能训练　练案[32]
考点一　机械能守恒的判断
1．重力做功与重力势能
(1)重力做功的特点
①重力做功与_______无关，只与始、末位置的_________有关。
②重力做功不引起物体_________的变化。
(2)重力势能
①表达式：Ep＝______。
②重力势能的特点：重力势能是物体和_______所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取_______，但重力势能的变化量与参考平面的选取_______。
路径
高度差
机械能
mgh
地球
有关
无关
(3)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能_______；重力对物体做负功，重力势能_______。
②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的_________，即WG＝________＝__________。
减小
增大
减少量
－ΔEp
Ep1－Ep2
2．弹性势能
(1)定义：发生___________的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量_______，劲度系数_______，弹簧的弹性势能越大。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能_______；弹力做负功，弹性势能_______。即W＝________。
弹性形变
越大
越大
减小
增大
－ΔEp
3．机械能守恒定律
(1)机械能：_______和_______统称为机械能，其中势能包括___________和___________。
(2)机械能守恒定律
①内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，_______与_______可以互相转化，而总的机械能___________。
③守恒条件：只有_______或_______做功。
动能
势能
重力势能
弹性势能
动能
势能
保持不变
Ek1＋Ep1
重力
弹力
(3)对机械能守恒条件的理解
①只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
②除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
③除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能守恒，而是系统的机械能守恒。
易 错 辨 析
1．重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。(　　)
2．被举到高处的物体重力势能一定不为零。(　　)
3．发生弹性形变的物体都具有弹性势能。(　　)
4．物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
5．物体的速度增大时，其机械能可能减小。(　　)
6．物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。(　　)
√
×
√
×
√
√
(2026·河南许昌高三期末)如图所示，一轻质弹簧，下端与固定光滑斜面的底端相连，上端与斜面上的物体A相连，A处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮，一端连接物体A，另一端连一轻钩。开始时各段绳子都处于伸直状态，A上方的一段绳子与斜面平行。现在挂钩上挂一物体B并从静止状态释放，则在物体B向下运动的过程中(物体A不会和滑轮相碰，物体B不会和地面相碰)，下列说法正确的是(　　)
A．物体B机械能守恒
B．物体A和B组成的系统机械能守恒
C．物体A和轻弹簧组成的系统机械能守恒
D．物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统机械能守恒
[答案]　D
[解析]　物体B在下落的过程中，绳子的拉力对其做负功，机械能不守恒，故A错误；物体A和B组成的系统在运动过程中，弹簧弹力对系统做功，该系统机械能不守恒，故B错误；物体A和轻弹簧组成的系统在运动过程中，绳子拉力对系统做正功，该系统机械能不守恒，故C错误；物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统，在运动过程中，系统内只发生势能与动能之间的相互转化，该系统机械能守恒，故D正确。
[规律方法]　机械能守恒的判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化。
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒。
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。
跟 踪 训 练
1．不计阻力的情况下，关于下图所对应的描述正确的选项是(　　)
A．图甲中，物块在光滑水平面上压缩弹簧的过程中，物块的机械能守恒
B．图乙中，秋千从A点摆到B点的过程中，小朋友受到重力的功率先逐渐增大、后逐渐减小
C．图丙中，从A至最低点C过程中，只有重力和蹦床弹力做功，运动员机械能守恒
D．图丁中，运动员上升过程中其机械能守恒
[答案]　B
[解析]　图甲中，物块在光滑水平面上压缩弹簧的过程中，弹簧的弹力对物块做负功，则物块的机械能减小，选项A错误；图乙中，秋千从A点摆到B点的过程中，根据PG＝mgvy，因开始在A点时竖直分速度为零，到B点时竖直分速度又变为零，可知小朋友受到重力的功率先逐渐增大、后逐渐减小，选项B正确；图丙中，从A至最低点C过程中，只有重力和蹦床弹力做功，运动员以及蹦床系统的机械能守恒，但是运动员的机械能不守恒，选项C错误；图丁中，运动员上升过程中撑杆对人的弹力对人做正功，则人的机械能增加，选项D错误。故选B。
考点二　单物体(除地球外)机械能守恒问题
机械能守恒的三种表达式
守恒观点 E1＝E2 要选零势能参考平面
转化观点 ΔEk＝－ΔEp 不用选零势能参考平面
转移观点 ΔEA＝－ΔEB 说明：单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。
单一过程问题
考向1
(2026·海南海口期中)如图所示是体育课上某同学水平抛出铅球的示意图，不考虑空气阻力，选地面作为参考平面，用h表示铅球离地面的高度、E表示铅球的机械能，Ep表示铅球的重力势能、Ek表示铅球的动能，则铅球下落过程中，下列图像可能正确的是(　　)
[答案]　B
[解析]　不考虑空气阻力，抛出后的铅球机械能守恒，故A错误，B正确；铅球的重力势能为Ep＝mgh，h表示铅球离地面的高度，铅球抛出后，h越来越小，重力势能也越来越小，故C错误；设抛出时铅球的动能为E0，距地面的高度为h0，根据机械能守恒定律得mgh0＋E0＝mgh＋Ek，可得Ek＝mgh0＋E0－mgh，故D错误。
跟 踪 训 练
2．(2025·全国卷理综·16题)如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10 m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为(重力加速度取10 m/s2)(　　)
A．4 m B．5 m
C．6 m D．7 m
[答案]　B
多过程问题
考向2
[规律方法]　应用机械能守恒定律解题的一般步骤
跟 踪 训 练
3．(2026·江西名校联考)一滑雪坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC是圆弧，C端水平。如图所示，运动员连同滑雪装备的总质量m＝ 75 kg，从A点由静止滑下，通过C点时速度大小v＝12 m/s，之后落到水平地面DE上。A、C两点的高度差h1＝9.8 m，竖直台阶CD的高度h2＝ 5 m。取地面为参考平面，重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，则运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为(　　)
A．11 100 J B．9 150 J
C．7 350 J D．5 400 J
[答案]　B
考点三　系统的机械能守恒问题
解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
两物体速率相等
考向1
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2026·陕西渭南市检测)如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻软细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高，将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)
[答案]　C
两物体角速度相等
考向2
(1)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(2)由v＝ωr知，v与r成正比。
(2025·衡水高三质检)如图为一幼儿园的可调臂长的跷跷板的示意图，O为跷跷板的支点。开始时一质量为m的小朋友坐在跷跷板的A端，此时A端恰好着地，跷跷板与水平地面的夹角为θ＝30°。现有一质量为4m的老师轻坐在跷跷板的B端，经过一段时间后跷跷板处于水平位置。已知OA＝2L，OB＝L，不计空气阻力和跷跷板的质量，重力加速度大小为g，小朋友与老师均可视为质点，则(　　)
A．此过程中小朋友的机械能守恒
B．此过程中小朋友与老师的速度大小之比为1∶2
[答案]　D
两物体某一方向分速度相等(关联速度问题)
考向3
两物体关联速度的实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
(多选)(2025·福建省厦门一中高三检测)如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．物块B的机械能的减少量大于物块A的重力势能的增加量
B．物块B的重力势能减少量为mgLtan θ
C．物块A的速度大于物块B的速度
[答案]　ABD
跟 踪 训 练
[答案]　B
轻弹簧连接的物体系统
考向4
常见 情境
模型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
两点 提醒 (1)对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
(2)弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大
(多选)两条平行且足够长的光滑竖直轨道间距为d，带孔的小球A、B(看作质点)用原长也为d的轻质弹簧连接后，分别穿在两轨道上。初始时刻，将两球拉到如图所示的位置(AB连线与竖直方向夹角为45°)时由静止释放。当A球沿轨道下滑的距离为h时，两球第一次相距最近。在下滑过程中两球的距离第一次和初始时刻相同时，A球下滑的距离为H。已知两球质量均为m，重力加速度为g，不计空气阻力，取弹簧原长时的弹性势能为0。下列说法正确的是(　　)
A．下滑过程中A、B两球组成的系统机械能守恒
B．若两球第一次相距最近时两球的总动能为Ek，则初始时刻弹簧的弹性势能为Ek－mg(2h＋d)
C．当A球下滑的距离为H时，两球的总动能为2mg(H＋d)
D．当A球下滑的距离为H时，两球的总动能为2mgH
[答案]　BC
[解析]　因弹簧弹力做功，故A、B两球组成的系统机械能不守恒，故A错误；两球第一次相距最近时，A球位移为h，由几何关系可知B球位移为h＋d，由系统机械能守恒得Ep＋mg(2h＋d)＝Ek，得Ep＝Ek－mg(2h＋d)，故B正确；当两球下滑过程中第一次距离和初始时刻相同时，B球下滑的距离为H＋2d，由系统机械能守恒得mgH＋mg(H＋2d)＝Ek总，故Ek总＝2mg(H＋d)，故C正确，D错误。故选BC。
提能训练　练案[32]
基础巩固练
1．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力及滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
[答案]　CD
[解析]　甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，C正确；丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。
2．(2026·南宁桂林联考)如图，斜面体A放在水平面上，球体B放在斜面体的斜面与竖直墙壁之间，外力F作用在A上使A、B处于静止状态，不计一切摩擦。现撤去F，在球体B向下运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．A对B不做功
B．B对A不做功
C．B的机械能守恒
D．A、B组成的系统机械能守恒
[答案]　D
[解析]　不计一切摩擦，撤去外力F后，B在向下运动的过程中，由于两者之间存在弹力，所以A向左运动，B对A的弹力做正功，A对B的弹力做负功，B的机械能不守恒，A、B、C错误；对A、B组成的系统，只有重力和系统内的弹力做功，系统机械能守恒，D正确。
3．(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是(　　)
A．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B．物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh
[答案]　BCD
4．如图所示，劲度系数为k的竖直轻弹簧固定在水平地面上。质量为m的小球从弹簧正上方高h处自由下落，当弹簧的压缩量为x时，小球到达最低点。不计空气阻力，重力加速度为g。此过程中(　　)
A．小球的机械能守恒
D．弹簧的最大弹性势能为mg(h＋x)
[答案]　D
能力提升练
A．小球沿第1、2两种轨道运动所达到的最大高度相同
B．小球沿第2、3两种轨道运动所达到的最大高度相同
C．第2种情况下小球刚要离开轨道时对轨道的压力为零
D．第1种情况下小球刚要离开轨道时对轨道的压力不为零
[答案]　B
6．(2025·浙江高三阶段练习)如图所示，竖直固定的光滑直杆上套有一个质量为m的滑块，初始时静置于a点。一原长为l的轻质弹簧左端固定在O点，右端与滑块相连。直杆上还有b、c、d三点，且b点与O点在同一水平线上，Ob＝l，Oa和Oc与Ob的夹角均为37°，Od与Ob的夹角为53°。现由静止释放滑块，在滑块从a点下滑到d点的过程中，弹簧始终处于弹性限度内，sin 37°＝0.6，则下列说法正确的是(　　)
A．滑块在b点时速度最大，加速度为g
B．滑块从a点下滑到c点的过程中，滑块的机械能守恒
D．滑块从a点下滑到d点的过程中，滑块的机械能一直在减小
[答案]　C
7．如图所示，套在光滑竖直杆上的圆环A用跨过光滑定滑轮的轻质细绳与放置在光滑水平面上的滑块B相连，滑轮(可视为质点)到杆的距离为L，初始绳子水平且刚好伸直。已知A、B质量均为m，重力加速度为g。将A、B由静止释放，当圆环A与初始位置相距L时，B的动能为(　　)
[答案]　B
8．(多选)(2026·四川绵阳市检测)如图所示，半径为R的光滑半圆弧状细轨道ABC竖直固定在水平面上，下端与光滑的水平面平滑连接于C点，AC是竖直直径，圆弧上B点距离光滑水平面的高度为R，质量均为m的小球甲、乙(均视为质点)用轻质细杆连接，小球甲套在半圆弧状细轨道上的A点，小球乙放置在C点。甲、乙两小球均处于静止状态，现让小球甲受到轻微的扰动，小球甲沿半圆弧状细轨道向下运动，小球乙沿着水平面向右运动，重力加速度大小为g，则在小球甲从A点运动到B点的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小球甲的重力势能全部转化为小球乙的动能
[答案]　BD
9．(2025·山东菏泽期末)如图所示，ABC为固定于竖直平面内的一段内壁光滑的中空细管，BC段被弯成以O为圆心、半径R＝0.2 m的一小段圆弧，A点、O点位于地面，OC连线竖直。一质量m＝0.4 kg的小球(可视为质点)从圆弧底端A点沿切线以初速度v0进入细管ABC，从C点水平飞出，落地点到O点的距离x＝0.2 m。已知重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，小球横截面略小于细管中空部分的横截面。求：
(1)小球在C点对细管壁的压力FN；
(2)小球在A点的初速度大小v0。
解得vC＝1 m/s
解得F＝2 N
根据牛顿第三定律，小球在C点对细管壁的压力FN＝2 N，方向竖直向下。
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)小球A通过P点时的速度大小v(结果用根式表示)。
当小球A沿轨道运动到半圆形轨道的最低点P时弹簧伸长的长度和手移开的瞬间弹簧缩短的长度相等。
解得k＝10 N/m。
(2)当小球A沿轨道运动到半圆形轨道的最低点P时弹簧的弹性势能和手移开的瞬间弹簧的弹性势能相等。
根据速度分解得v1＝vcos 45°
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