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第四章
曲线运动
第21讲　专题强化五　与斜面或曲面有关的平抛运动　平抛运动的临界极值问题　空间中的抛体运动
学习目标 命题热点
(1)学会处理斜面或曲面约束下的平抛运动问题。 (2)会处理平抛运动中的临界、极值问题。 (3)会利用立体几何知识处理空间中的抛体运动问题。 这三类典型问题在高考中考查频率较高，命题常与实际情境相结合进行考查。
考点一
考点二
考点三
提能训练　练案[21]
考点一　与斜面或曲面有关的抛体运动
与斜面有关的平抛运动
考向1
[答案]　D
跟 踪 训 练
1．如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把初速度变为3v0，小球仍落在斜面上。下列说法中正确的是(　　)
A．小球在空中的运动时间不变
B．P、Q间距是原来的9倍
C．夹角α与初速度大小有关
D．夹角α将变小
[答案]　B
与曲面有关的平抛运动问题
考向2
与曲面有关的平抛运动的三种情境分析
运动情境 物理量分析
小球恰好从圆柱体的Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等
(多选)如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以水平向右的初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，不计空气阻力，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
A．物体B比A先到达P点
B．A、B物体一定同时到达P点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9
D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶3
[答案]　BC
跟 踪 训 练
2．(与圆弧有关的平抛运动)如图所示，圆环竖直放置，从圆心O点正上方的P点，以速度v0水平抛出的小球恰能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。则(　　)
[答案]　A
C．小球到达x轴时速度方向与x轴负方向成30°
D．经过足够长的时间，小球速度方向可能和y轴平行
[答案]　A
考点二　平抛运动的临界和极值问题
常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
平抛运动的临界问题
考向1
(多选)“山西刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈(可视为质点)从距离开水锅高为h处被水平削离，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L。忽略空气阻力，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是(　　)
A．运动的时间都相同
B．速度的变化量不相同
C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍
[答案]　AD
[规律方法]　平抛运动临界、极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质；
(2)根据题意确定临界状态；
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
平抛运动的极值问题
考向2
[解析]　设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy，
考点三　空间中的抛体运动
如图所示，空间有一置于水平地面上的正方体框架ABCD－A1B1C1D1，从顶点A沿不同方向平抛一小球(可视为质点)。关于小球的运动，下列说法正确的是(　　)
A．落点在B1和D1点的小球，平抛的初速度相同
B．落点在线段B1D1上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是1∶2
C．运动轨迹与线段AC1相交的小球，在交点处的速度方向都相同
D．运动轨迹与线段A1C相交的小球，在交点处的速度方向都相同
[答案]　C
[规律方法]　分析空间中的抛体运动的思路
(1)明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓；
(2)以抛出点为坐标原点，根据运动情境建立三维直角坐标系；
(3)确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质；
(4)依据已知条件、运动学公式找出在各个坐标轴方向的位移、速度、加速度大小；
(5)利用运动的合成与分解知识确定研究问题或联立求解相关问题。
跟 踪 训 练
4．如图所示，足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方O点，两次射门，足球分别垂直打在水平横梁上的a点和竖直梁上的b点，到达a、b两点瞬间速度大小为va、vb，从射出到打到a、b两点的时间是ta、tb，不计空气作用力，则(　　)
A．vavb
C．ta[答案]　A
提能训练　练案[21]
基础巩固练
1．(2026·贵州遵义三模)可视为质点的运动员从P点以v0的速度水平飞出，若不计空气阻力，运动员在空中飞行3 s后落在斜面上Q点。简化示意图如图所示，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则运动员由P到Q的过程中(　　)
A．水平初速度大小为30 m/s
B．水平初速度大小为20 m/s
C．P到Q的位移大小为45 m
D．P到Q的位移大小为60 m
[答案]　B
2．(2024·湖北卷·3题)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
[答案]　C
3．(2025·福建福州期末)如图所示，以水平初速度v0＝10 m/s抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为60°的斜面上。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则物体完成这段飞行的时间是(　　)
[答案]　A
[答案]　C
5．(2026·山东青岛月考)如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是(　　)
B．y越小，则x越大
C．x与小孔的位置无关
[答案]　D
能力提升练
6．A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高，从E点水平抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，忽略空气阻力。关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程(　　)
A．球1和球2运动的时间之比为2∶1
B．球1和球2运动的时间之比为1∶2
C．球1和球2抛出时初速度之比为2∶1
D．球1和球2运动时单位时间内速度变化量之比为1∶1
[答案]　D
7．跳台滑雪是一种属于勇敢者的滑雪运动。现有某运动员从跳台A点沿水平方向飞出，在斜坡B点着陆，如图所示。AB可看成倾角为30°的斜面，A与B相距40 m，运动员和装备均看成质点，不计空气阻力，以下说法正确的是(　　)
A．运动员在空中飞行的时间为3 s
[答案]　C
8．如图所示的正方体空间，其面ABCD水平。现将一小球先后两次从A点水平抛出，当以速度v1沿AC方向抛出时打在C′点，且在C′点的速度与竖直方向夹角为θ1；当以速度v2沿AD方向抛出时打在DD′中点E，且在E点的速度与竖直方向夹角为θ2。不计空气阻力，则(　　)
A．v1∶v2＝1∶1
C．tan θ1∶tan θ2＝1∶1
[答案]　A
9．如图所示，传送带固定在水平地面上，倾角为37°，顶端A点与底端B点相距L＝26 m，顺时针转动的速率为v＝3 m/s。一可视为质点的小物块从O点以v0＝4 m/s的初速度水平向右抛出，恰好落在A点且沿传送带下滑。小物块与传送带间的动摩擦因数为0.8，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，求：
(1)小物块落到A点时的速度大小vA；
(2)抛出点距A点的水平距离x；
(3)小物块从抛出点到B点所用的时间t。
[答案]　(1)5 m/s　(2)1.2 m　(3)7.3 s
解得vA＝5 m/s。
(2)在A点有vAy＝v0tan θ＝gt1
解得t1＝0.3 s
则抛出点距A点的水平距离为x＝v0t1＝1.2 m。
当小物块的速度与传送带速度相等时，有v＝vA－at2
解得t2＝5 s
此后因为μgcos θ>gsin θ，小物块相对传送带静止，一起匀速下滑，则有L－x＝vt3
解得t3＝2 s
故小物块从抛出点到B点所用的时间为t＝t1＋t2＋t3＝7.3 s。
(1)求子弹从射出到击中D点经历的时间；
(2)求枪口瞄准点C距离D点的高度(C点在D点的正上方)。
[解析]　根据运动情境，画出如图甲所示的立体图，以射出点为原点，建立三维直角坐标系，如图乙所示，
利用运动的合成，分别求出合初速度及xOy平面上的合初速度
设初速度方向与水平面的夹角为θ
由几何关系知OA＝2a，OC＝OAtan θ＝a，
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