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山东省济南市历下区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在菱形中，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
2.下列方程中，属于一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
3.如果分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的9倍 D. 不变
4.如图，小明用四根木条钉成一个矩形木框，推动得到．已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.关于的一元二次方程的解为（ ）
A. ， B. C. D. ，
6.在以下平行四边形中分别标注了部分角的度数，其中不能判定其为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
7.每年七月份济南都会在大明湖景区举办“荷花艺术节”，为保障荷塘水质清澈、荷花长势良好，某团队承接了荷塘的清淤任务．若该团队实际每日清淤量比原计划提高，将提前天完成全部任务．设该团队原计划每日清淤量为，根据题意可列分式方程（ ）
A. B.
C. D.
8.已知，满足，，则代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
9.如图1，已知正方形的边长为，对角线，相交于点，以顶点，，，为圆心，分别以，，，为半径画弧，与正方形的一组邻边各交于一点，连接所有交点，，…，，得到八边形（如图2阴影所示），则这个内嵌于正方形的阴影八边形的边长为（ ）
A. B. C. D.
10.在中，，，．如图1，被分成了三个部分，现将绕点按逆时针方向旋转到（如图2），再将沿平移至，且与重合（如图3）．若四边形为菱形，则的长为（ ）
A. 0.9 B. 1 C. 1.1 D. 1.2
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12.右图为小颖某次学科诊断“发挥水平”的雷达图，其中语文、数学、英语、物理、道法、历史六门学科的“发挥水平”构成了一个六边形，这个六边形的内角和为 ．
13.如果关于x的一元二次方程+3x-7=0的两根分别为,,那么+4+= .
14.在菱形中，对角线，相交于点，交于点，已知，，则菱形的面积为 ．
15.在矩形中，，，点，分别为，边上的点，且，若，则的长为 ．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
因式分解：
(1) ； (2) ．
17.(本小题7分)
解方程：
(1) ； (2) ．
18.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中．
19.(本小题8分)
如图，在中，，为的中点，点是外一点，连接，，，若四边形是平行四边形，求证：四边形是矩形．
20.(本小题8分)
某果园原计划种80棵桃树，每棵桃树平均结800个桃子，现准备多种一些桃树提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，平均每棵桃树的产量就会减少2个桃子，但多种的桃树不能超过60棵．如果要使总产量达到76000个，那么应多种多少棵桃树？
21.(本小题10分)
已知关于的一元二次方程有实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 方程的两个实数根、满足，求实数的值．
22.(本小题10分)
如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值．
23.(本小题10分)
解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．
(1) 请你利用这种方法解方程：；
(2) 已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由．
24.(本小题12分)
如图1，在正方形中，点为线段的中点，连接，过点作交于点，且垂足为点．
(1) 求证：；
(2) 如图2，延长，过点作，交射线于点，求证：；
(3) 如图3，在（2）的条件下，连接，求证：．
25.(本小题12分)
如图1，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点，连接交于点，延长至，使，分别连接，，．
(1) 证明：四边形是平行四边形；
(2) 若改变菱形的形状，则四边形的形状也随之改变．如图2，当四边形为菱形时，求的度数；
(3) 如图3，当菱形为正方形时，若，请直接写出的长为 ．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】30
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：；
【小题2】
解：．

17.【答案】【小题1】
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得,
检验：时，，
所以是原方程的解；
【小题2】
解：移项，得，
则，
故方程的根为，
即．

18.【答案】解：
，
把代入，原式．

19.【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵D为中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，D为中点，
∴，即，
∴平行四边形是矩形．

20.【答案】解：设应多种x棵桃树，根据题意得：
，
解得：，，
∵多种的桃树不能超过60棵，
∴不符合题意舍去，
∴，
答：应多种20棵桃树．

21.【答案】【小题1】
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
【小题2】
解：方程的两个实数根、，
∴，，
原式
∴
∴
∴
∴（与相矛盾，故舍去），．

22.【答案】解：如图，过点作于点，标记与交于点，
在中，
∵，，，
∴点到的距离，即的高为，
∵，
∴点刚好在矩形的上边所在直线上，
∴，
当时，点进入矩形左侧，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵与矩形重叠部分的面积为，
∴，
解得，，
∵，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：设，
则原方程可变为：，
解得：，，
当即时，解得：；
当即时，解得：；
∴原方程的解为：，；
【小题2】
是直角三角形；理由如下：
是的三边，
，
，
设，
则原方程可化为，
解得：，（舍去），
得．
又，
．
．
是直角三角形．

24.【答案】【小题1】
证明：∵在正方形中，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
由(1)知，又知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小题3】
证明：如图3，连接，
由(1)知，
∴，
由(2)知，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．

25.【答案】【小题1】
证明：∵菱形
∴，
∵
∴，即
∴
∵点为的中点，
∴
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小题2】
解：∵四边形是菱形，
∴
由（1）知
∴
∵
∴
∵四边形是菱形，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
∴；
【小题3】


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