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山东省烟台龙口市（五四制）2025-2026学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设a>b, 则下列不等式正确的是（）
A. a+1< b+1 B. a-2< b-2 C. -3a>-3b D. >
2.将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上,能恰好插上的概率是( )
A. B. C. D.
3.下列命题是真命题的是( )
A. 有一个角是的三角形是等边三角形
B. 若a>b,则>
C. 在角的内部,到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明: “已知ABC, AB=AC, 求证:B<.”第一步应先假设B>
4.函数y=的自变量 x的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A. B. C. D.
5.将一副三角板按如图所示的方式摆放在一张长方形纸片上，则的度数是（ ）．
A. B. C. D.
6.某学校组织学生春游，租赁甲型客车和乙型客车共10辆，已知每辆甲型客车可坐40人，每辆乙型客车可坐30人，该校需要乘坐客车出游的师生共360人，要求全部师生都有座位且空座位不超过10个，那么可以有哪些租车方案？若设租赁甲型客车x辆，则下列不等式组正确的是（　　）
A. B.
C. D.
7.根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A. ， B. ，，
C. ，， D. ，，
8.课堂上，李老师先给每人发一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出，后续画图的主要过程如图2所示．这种画图方法的依据是（ ）
A. B. C. D.
9.图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，那么OA8的长为（ ）
A. B. 4 C. 3 D.
10.已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（ ）
A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为 ．
12.如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为 ．
13.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板不重叠地拼成的动物图案，并将其中一部分涂色、有一只蚊子（大小可看作一个点）随机停留在图案上，则停留在涂色部分的概率是 ．
14.若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 ．
15.如图，的面积为．垂直于的平分线于点P．则的面积是 ．
16.如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为 ．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
计算：
(1) 解二元一次方程组；
(2) 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
(3) 解不等式组：．
18.(本小题8分)
读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）．
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．请说明的理由．
理由：如图2，延长交于点．
（已知），
（ ）．
又（ ），
（等量代换）．
（ ）．
（两直线平行，同旁内角互补）．
又 （已知），
（ ）．
（ ）．
19.(本小题6分)
【问题背景】在古代文明中，古埃及人就已经运用了一些类似尺规作图的方法来进行土地测量和建筑设计．古巴比伦人也在一定程度上使用简单的工具进行几何图形的构建．
【实践与操作】如图，在中，，
(1) 请用尺规作边上的高，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 应用与计算：若，，求的长．
20.(本小题6分)
一次函数与的图象如图所示．
(1) 点的坐标为 ，点的坐标为 ；
(2) 当 时，；
(3) 若点在直线上，且满足，求点的坐标．
21.(本小题6分)
课堂上，屏幕上呈现一题：
已知：如图，在四边形中，，__________．
求证：．
请在空格处添加条件并证明．
小明：“添加，就可以证明．”小丽：“要添加才可以证明．”
你支持__________（填“小明”或“小丽”）的观点，并写出相应的证明过程．
22.(本小题8分)
定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）
和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程 与不等式 ，方程的解为 ，使得不等式也成立，则称“ ”为方程 和不等式 的“梦想解”．
(1)
是方程 和下列不等式 的“梦想解”；（填序号）
① ，② ，③ ．
(2) 若关于 ， 的二元一次方程组 和不等式组 有“梦想解”，且 为整数，求 的值．
23.(本小题8分)
如图，于E，于F，若，平分；
(1) 求证：；
(2) 已知，求四边形的面积．
24.(本小题12分)
根据如下素材，完成探索任务．
深圳华强北电子配件采购方案
素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同．
采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元）
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
素材二 售价A：30元/件 B：200元/件
素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍．
问题解决
任务一 求A、B充电器每件进价
任务二 求获利最大的进货方案及最大利润
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】 /100度
17.【答案】【小题1】
解：
得，，
得，，
把代入①得，；
∴该方程组的解为；
【小题2】
解：
去分母得，，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，
解得：．
解集在数轴上表示：

【小题3】
解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
18.【答案】两直线平行，内错角相等
已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
同角的补角相等
19.【答案】【小题1】
如图所示，即为边上的高：
【小题2】
解：，，，
，
，
即，
．

20.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】
解：设点的坐标为．
，且，
，
即，
，
∴点的坐标为或．

21.【答案】解：支持小丽的观点，证明如下：
∵，，，
∴
∴．

22.【答案】【小题1】
③
【小题2】
解： ，
得 ，
，
将 代入 得 ，
，
二元一次方程组和不等式组 有“梦想解”，
是不等式组的解，
把 代入不等式组得 ，
解不等式组得 ，
为整数，
或 ；
法二：由已知得， ，
又 ，
，
解得 ，
为整数，
或 ．

23.【答案】【小题1】
证明：平分，于E，于F，
，
在和中
，
，
【小题2】
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
．
四边形的面积．

24.【答案】解：任务一：设、充电器每件进价分别为元、元，
由题意得：，
解得：．
答：、充电器每件进价分别为元、元；
任务二：设购进件充电器，则购进件充电器，
由题意得：，
解得：，
设利润为元，
则，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值为，
即获利最大的进货方案为购进件充电器，购进件充电器，最大利润为元．

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