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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.1.1多项式的因式分解第1章因式分解湘教版八年级数学1.1多项式的因式分解同步练习题本次练习题围绕湘教版八年级上册1.1多项式的因式分解核心知识点设计，涵盖因式分解的定义辨析、与整式乘法的区别、基础因式分解运算及简单应用，题型全面、难度循序渐进，适合课堂巩固、课后自测，帮助掌握因式分解的基础概念和基本方法。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列各式的变形中，属于因式分解的是（）A. $$3a(a-2)=3a^2-6a$$ B. $$x^2-4=(x+2)(x-2)$$C. $$x^2+2x+1=x(x+2)+1$$ D. $$x^2-5x=x^2(1-\frac{5}{x})$$2.因式分解与整式乘法的关系是（）A.完全相同B.互逆变形C.毫无关联D.部分相同3.多项式$$5x^2-10x$$提取公因式后，剩余因式是（）A. $$x-2$$ B. $$5x-2$$ C. $$x$$ D. $$5$$4.下列因式分解正确的是（）A. $$m^2+n^2=(m+n)^2$$ B. $$x^2-6x=x(x-6)$$C. $$-2a^2+4a=-2a(a+2)$$ D. $$xy-x=x(y+1)$$5.若多项式$$x^2+mx-6$$可分解为$$(x+2)(x-3)$$，则$$m$$的值为（）A. 1 B. -1 C. 5 D. -5二、填空题（每题4分，共20分）6.把一个多项式化为几个________的积的形式，叫做多项式的因式分解。7.因式分解：$$x(m+n)-y(m+n)=$$________。8.因式分解：$$49-x^2=$$________。9.多项式$$3x^2y-6xy^2$$的公因式是________。10.若$$x^2-ax+6=(x-2)(x-3)$$，则$$a=$$________。三、解答题（共60分）11.判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解，说明理由（12分）（1）$$2x^2-2x=2x(x-1)$$（2）$$(x+1)(x-1)=x^2-1$$（3）$$x^2+4x+4=(x+2)^2$$（4）$$x^2+2x=x(x+2)+0$$12.对下列多项式进行因式分解（每题6分，共24分）（1）$$6a^2b-9ab^2$$（2）$$-3x^2+6x$$（3）$$x(x-2)+3(2-x)$$（4）$$25a^2-16b^2$$13.简便计算（每题8分，共16分）（1）利用因式分解计算：$$2025^2-2024\times2025$$（2）利用因式分解计算：$$99^2-1$$14.拓展应用题（8分）已知长方形的面积为$$x^2-4x$$（$$x>4$$），且长为$$x$$，求长方形的宽。参考答案与解析一、选择题1.B解析：因式分解是化和差为积的形式，A是整式乘法，C、D变形错误。2.B解析：整式乘法是积化和差，因式分解是和差化积，二者互为逆运算。3.A解析：$$5x^2-10x=5x(x-2)$$，剩余因式为$$x-2$$。4.B解析：A无法分解，C应为$$-2a(a-2)$$，D应为$$x(y-1)$$。5.B解析：展开$$(x+2)(x-3)=x^2-x-6$$，对应得$$m=-1$$。二、填空题6.整式7. $$(m+n)(x-y)$$ 8. $$(7+x)(7-x)$$9. $$3xy$$ 10. 5三、解答题11.（1）是，将多项式化为两个整式的积；（2）不是，是整式乘法；（3）是，符合因式分解定义；（4）不是，结果不是整式积的形式。12.（1）$$3ab(2a-3b)$$（2）$$-3x(x-2)$$（3）$$(x-2)(x-3)$$（4）$$(5a+4b)(5a-4b)$$13.（1）原式$$=2025\times(2025-2024)=2025$$；（2）原式$$=(99+1)(99-1)=9800$$14.解：宽=面积÷长=$$(x^2-4x)\div x=x-4$$，答：长方形的宽为$$x-4$$。知识点总结：本节课核心是掌握因式分解的定义，区分因式分解与整式乘法，熟练掌握提公因式法、平方差公式两种基础分解方法，学会利用因式分解进行简便计算和简单几何应用，为后续分式运算、解方程奠定基础。(1) 因为(x + 1) = ，
所以 x + 2x + 1 = (x + 1)( )；
(2) 因为 x(x－) = ，
所以 x －x = x( ).
x + 2x + 1
x + 1
x－
x －x
观察“所以”后面的式子，有什么共同点？
都是一个多项式化为几个多项式的积的形式
整式的乘法
探究新知
一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式.
单项式可看作只有一项的多项式
↗
x + 2x + 1 = (x + 1)
x －x = x(x－)
x + 1 是多项式 x + 2x + 1 的因式.
x 和 x－ 都是 x －x 的因式.
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式.
x + 2x + 1 = (x + 1)
x －x = x(x－)
例1 填空：
因为(x－2)(x－3) = ，
所以 = (x－2)(x－3)
是多项式 的因式分解.
解：(x－2)(x－3) = x －3x－2x＋(－2)×(－3)
= x －5x＋6，
因此三个空格都填写 x －5x＋6.
x －5x＋6
x －5x＋6
x －5x＋6
x2 － y2 ( x + y )( x － y )
x2 － y2 = ( x + y )( x － y )
因式分解
多项式的乘法
因式分解等式的特征：
左边是多项式，
右边是几个多项式的乘积.
多项式的乘法运算与因式分解有什么关系？
是互逆的变形过程
例2 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
解：(1) 不是因式分解. 理由：它是整式的乘法.
(2) 不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.
(1) x(x－2y) = x2－2xy；
(2) x2－2x + 1 = x(x－2) + 1；
(4) 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x－1)(y－1) = xy－x－y + 1，因而符合因式分解的定义. xy－x－y + 1 的因式为 x－1 和 y－1.
(3) 是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 x(3x－) = 3x2－x，因而符合因式分解的定义. 3x2－x 的因式为 x 和 3x－.
(3) 3x2－x = x(3x－)；
(4) xy－x－y + 1 = (x－1)(y－1).
方法总结：多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个整式的积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
把多项式因式分解的重要用处之一是：
可以较简便地求出关于 x 的多项式中，x用哪些数代入能够使得这个多项式的值为 0.
归纳总结
是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且等式成立，因而符合因式分解的定义.
x2+xy 的因式为 x 和 x+y.
1.下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
【选自教材P4习题1.1 第1题】
(2) 4x2－8x－1=4x(x－2)－1；
(1) x2+xy=x(x+y)；
不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.
是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且等式成立，因而符合因式分解的定义.
ax2－bx2－x 的因式为 x 和 ax－bx－1.
1.下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可.
(4) 2xy+2x－y－1=(2x－1)(y+1).
(3) ax2－bx2－x=x(ax－bx－1)；
是因式分解. 理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且等式成立，因而符合因式分解的定义.
2xy+2x－y－1 的因式为 2x－1 和 y+1.
2.检验下列因式分解是否正确.
(1) x2－x=x(x－1)；
(2) x2－1=(x+1)(x－1)；
(3) x2－5x－6=(x－2)(x－3)；
(4) 2x2－y2=(2x+y)(2x－y).
因为x(x－1)=x2－x，正确
因为(x+1)(x－1) = x2－1，正确
因为(x－2)(x－3)=x2－5x+6≠ x2－5x－6，不正确
因为(2x+y)(2x－y) =4x2－y2≠2x2－y2 ，不正确
【选自教材P4习题1.1 第2题】
判断下列各式从左到右的变形是否为因式分解：
A. x(a﹣b) = ax﹣bx
B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2
C. y2﹣2 = ( y + 1)( y﹣1)
D. ax + bx + c = x(a + b) + c
E. 2a3b = a2 2ab
F. x + 3 = x (1 + )
×
×
×
×
×
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：
(1) 必须是等式；(2) 左边是至少含两项的多项式；
(3) 右边是整式的乘积的形式.
针对训练
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
3.对于， ，从左
到右的变形，表述正确的是( )
C
A.都是因式分解 B.都是乘法运算
C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解
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4.下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是( )
B
A.B.
C.D.
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5.通过计算比较图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的式子是
( )
D
A.
B.
C.
D.
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6.若多项式可以分解为，则 ___.
4
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7.［教材习题 变式］检验下列因式分解是否正确.
（1） ；
解：因为
，所以
因式分解 不正确.
（2） .
解：因为 ，所以因式分解
不正确.
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8.分解因式时，甲看错了 的值，分解的结果是
，乙看错了的值，分解的结果是 ，求
的值.
解：因为，甲看错了的值，所以 .
因为，乙看错了的值，所以 .所以
.
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课堂小结
因式分解要注意以下几点：
3. 要分解到不能分解为止.
2. 分解的结果一定是几个多项式的乘积的形式；
1. 分解的对象必须是多项式；
因式分解与多项式乘法是互逆的变形过程.
x2 － y2 ( x + y )( x － y )
因式分解
多项式的乘法

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