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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.2.5.1可化为一元一次方程的分式方程的解法第2章分式湘教版八年级数学2.5.1可化为一元一次方程的分式方程的解法同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学2.5.1可化为一元一次方程的分式方程的解法专项编写，聚焦分式方程的定义、解分式方程的步骤、去分母化整式方程、增根的产生与检验、基础解方程题型等核心考点。题型由浅入深、梯度分明，覆盖本节课基础题型与高频易错点，是分式方程章节的核心基础专项训练。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列方程中，属于分式方程的是（）A. $$2x+1=0$$ B. $$\frac{1}{x}+2=3$$ C. $$\frac{x+1}{2}=4$$ D. $$2x-3y=1$$2.解分式方程的核心步骤是（）A.直接移项计算B.去分母化为整式方程C.通分后直接约分D.先化简分子3.解方程$$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$$，去分母后正确的整式方程是（）A. $$x=2(x-1)$$ B. $$x-1=2x$$ C. $$x=2x-1$$ D. $$x=2(x+1)$$4.分式方程$$\frac{2}{x-2}=\frac{3}{x}$$的解为（）A. $$x=2$$ B. $$x=4$$ C. $$x=6$$ D.无解5.关于分式方程增根，下列说法正确的是（）A.增根是方程的有效解B.增根使原分式方程分母为0C.所有分式方程都有增根D.增根无需检验二、填空题（每题4分，共20分）6.分母中含有________的方程叫做分式方程。7.解分式方程的最后一步必须________，防止出现增根。8.解方程$$\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}$$，最简公分母是________。9.若$$x=3$$是方程$$\frac{a}{x-1}=1$$的解，则$$a=$$________。10.分式方程$$\frac{1}{x+1}=0$$的解的情况是________。三、解答题（共60分）11.解下列分式方程（每题6分，共24分）（1）$$\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1}$$（2）$$\frac{1}{x-3}+2=\frac{x}{x-3}$$（3）$$\frac{3}{x}=\frac{4}{x+2}$$（4）$$\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$$12.进阶分式方程求解（每题8分，共16分）（1）$$\frac{2}{x+1}=\frac{1}{x-1}$$（2）$$\frac{4}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}=1$$13.含参数分式方程基础应用（每题10分，共20分）（1）已知方程$$\frac{2}{x-2}+\frac{kx}{x^2-4}=\frac{3}{x+2}$$的解为$$x=1$$，求$$k$$的值；（2）判断分式方程$$\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x-2}=0$$是否有解，并说明理由。参考答案与解析一、选择题1.B解析：分式方程的定义为分母中含有未知数的方程，其余选项均为整式方程。2.B解析：分式方程无法直接求解，核心方法是去分母，转化为一元一次整式方程求解。3.A解析：最简公分母为$$x(x-1)$$，方程两边同乘公分母，得$$x=2(x-1)$$。4.C解析：去分母得$$2x=3(x-2)$$，解得$$x=6$$，检验分母不为0，是方程的解。5.B解析：增根是去分母后整式方程的解，但使原分式方程分母为0，不是原方程的解，必须检验舍去。二、填空题6.未知数7.检验8. $$x(x-1)$$9. 2解析：代入$$x=3$$，$$\frac{a}{2}=1$$，解得$$a=2$$。10.无解解析：分子不为0，分式恒不为0，方程无实数解。三、解答题11.（1）解：去分母得$$2(x+1)=3x$$，解得$$x=2$$，检验：$$x=2$$时分母不为0，方程的解为$$x=2$$。（2）解：去分母得$$1+2(x-3)=x$$，解得$$x=5$$，检验合格，方程的解为$$x=5$$。（3）解：去分母得$$3(x+2)=4x$$，解得$$x=6$$，检验合格，方程的解为$$x=6$$。（4）解：去分母得$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$，化简得$$x+2=3$$，解得$$x=1$$，检验：$$x=1$$使分母为0，方程无解。12.（1）解：去分母得$$2(x-1)=x+1$$，解得$$x=3$$，检验合格，方程的解为$$x=3$$。（2）解：因式分解得$$\frac{4}{(x+1)(x-1)}+\frac{1}{x+1}=1$$，去分母得$$4+x-1=(x+1)(x-1)$$，整理得$$x^2-x-4=0$$，解得$$x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$$，检验均合格。13.（1）解：将$$x=1$$代入原方程，$$\frac{2}{-1}+\frac{k}{-3}=\frac{3}{3}$$，化简得$$-2-\frac{k}{3}=1$$，解得$$k=-9$$。（2）解：无解。理由：合并分式得$$\frac{x-2}{x-2}=0$$，化简为$$1=0$$，矛盾；且$$x=2$$为增根，故方程无解。知识点总结与易错提醒：1.分式方程判定：分母含未知数，$$\pi$$等常数不算未知数；2.解题步骤：找最简公分母→去分母化整式方程→解整式方程→检验；3.增根核心：整式方程的解，使原分式分母为0，必须舍去；4.去分母时，常数项切勿漏乘公分母；5.无论题目是否要求，解分式方程必须检验，这是得分关键。情境导入
为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种 9 600 棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数是原计划的 倍，结果提前 4 天完成任务. 设原计划每天种 x 棵树，试用含 x 的等式表示问题中的等量关系.
分析等量关系：
原计划的天数－实际天数＝4.
这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？
由于原计划每天种 x 棵树，则实际每天种 x 棵树.
根据上述等量关系，可以得到含有未知数 x 的等式：
即
推进新课
定义：
像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
整式方程
分式方程
分式方程
整式方程
整式方程
分式方程
方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 不是未知数)．
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母
都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
（1）如何把它转化为整式方程呢？
如何去分母
你能试着解这个分式方程吗？
由于最简公分母为 x，于是将方程两边同乘 x，得
9 600 - 7 200 = 4x，
解得 x = 600.
x = 600 是原分式方程的解吗？
方程左边的值为 ，右边的值也是 4，从而左边的值＝右边的值，
检验：将 x 用 600 代入原分式方程，
因此 x = 600 是原分式方程的解.
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法.
归纳总结
最简公分母 x(x－2)
例1
解方程：
解: 方程两边同乘最简公分母 x(x－2)
5x－3(x－2) = 0
解得 x = －3
检验：把 x = －3带入分式原方程，得左边= =右边，因此 x = －3 是原分式方程的解.
根
最简公分母 (x+2)(x－2)
例2
解方程：
解: 方程两边同乘最简公分母 (x + 2 )(x－2)
x + 2 = 4
解得 x = 2
检验：把 x = 2带入原分式方程，得左边= ，不存在. 因此 x = 2 不是原分式方程的解. 原分式方程无解.
当 x = 2 时，最简公分母 (x + 2)(x－2) = 0
想一想：
上面两个分式方程中，为什么
去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程：
9 600 - 7 200 = 4x
两边同乘 x
当x=600时，x≠0
真相揭秘：整式方程的解使分母为 0，相当于分式方程的两边同乘了等于 0 的式子，是没有意义的，这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x + 2 = 4
两边同乘(x-2)(x+2)
当x=2时，(x-2)(x+2)=0
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验．
怎样检验？
这个整式方程的解是不是原分式方程的解呢？
分式方程解的检验——必不可少的步骤
检验方法：把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于 0，那么它是原分式方程的一个解；如果它使最简公分母的值为 0，那么它不是原分式方程的解.
解方程：
解：由于最简公分母为 3x－2，于是将方程两边同乘 3x－2，得
x + (-2) = 5(3x - 2)，
解得 x = .
经检验，x = 是原分式方程的解.
例 3
解可化为一元一次方程的分式方程的步骤有哪些？
说一说
可化为一元一次方程的分式方程
方程两边同乘各个分式的最简公分母
一元一次方程
求解
一元一次方程的解
检验
把一元一次方程的解代入最简公分母中，若它的值不等于0，则这个解是原方程的解；若它的值等于0，则原分式方程无解.
：去括号，移项，合并同类项，系数化为1
知识点1 分式方程的概念
1.下列式子中，属于分式方程的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
2. 请利用式子1，， ，5组成一个分式方程：
________________________.
（答案不唯一）
返回
知识点2 分式方程的解法
3.化分式方程 为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
4.将分式方程 化为整式方程，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.［2024无锡中考］分式方程 的解是( )
A
A. B.
C. D.
返回
6.［2025怀化期末］若关于的分式方程的解是，则
___.
1
返回
7.［教材P练习T 变式］解分式方程：
（1）［2024广州中考］ ;
解：方程两边同乘，得，解得 ，检验：当
时，，所以原分式方程的解为 .
（2）［2024南通中考］ ；
解：方程两边同乘，得，解得 ，检
验：当时，，所以原分式方程的解为 .
（3） .
解：方程两边同乘 ，
得，解得，检验：当 时，
，所以原分式方程无解.
返回
8. 小丽解分式方程 时，出现了错误，她
的解题过程如下：
解：去分母，得 ，（第一步）
解得 ，（第二步）
所以方程的解是 .（第三步）
（1）小丽的解题过程从第____步开始出错；
（2）小丽的解题过程缺少的步骤是______；
一
检验
课后小结
分式方程的解法
分式方程
转化
去分母
一元一次方程

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