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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.1.2二次根式的化简第3章二次根式湘教版八年级数学3.1.2二次根式的化简同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学3.1.2二次根式的化简专项编写，承接二次根式的概念与基本性质，聚焦最简二次根式的判定标准、二次根式的化简规则、含分数与小数的根式化简、分母有理化、基础综合化简运算等核心考点。题型由基础判定到综合计算循序渐进，覆盖本节课所有重难点与高频计算易错点，适配新课课后巩固与专项基础提升训练。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. $$\sqrt{8}$$ B. $$\sqrt{\frac{1}{2}}$$ C. $$\sqrt{5}$$ D. $$\sqrt{12}$$2.化简$$\sqrt{16\times9}$$的结果是（）A. 12 B. $$\pm12$$ C. 36 D. 483.化简$$\sqrt{(-4)\times(-9)}$$正确的是（）A. $$\sqrt{-4}\times\sqrt{-9}$$ B. $$2\times3=6$$ C. $$-2\times(-3)=6$$ D.无意义4.化简$$\sqrt{\frac{4}{9}}$$的结果是（）A. $$\frac{2}{3}$$ B. $$\pm\frac{2}{3}$$ C. $$\frac{4}{9}$$ D. $$\frac{\sqrt{2}}{3}$$5.下列化简正确的是（）A. $$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$ B. $$\sqrt{18}=3$$ C. $$\sqrt{0.4}=\frac{2}{10}$$ D. $$\sqrt{\frac{1}{3}}=3\sqrt{3}$$二、填空题（每题4分，共20分）6.最简二次根式满足两个条件：①被开方数不含________；②被开方数不含________。7.化简：$$\sqrt{27}=$$________；$$\sqrt{48}=$$________。8.化简：$$\sqrt{\frac{25}{16}}=$$________；$$\sqrt{0.09}=$$________。9.分母有理化：$$\frac{1}{\sqrt{2}}=$$________。10.若$$\sqrt{48n}$$是最简二次根式，则正整数$$n$$的最小值为________。三、解答题（共60分）11.基础二次根式化简（每题6分，共24分）（1）$$\sqrt{50}$$（2）$$\sqrt{72}$$（3）$$\sqrt{\frac{8}{27}}$$（4）$$\sqrt{0.16}$$12.分母有理化专项化简（每题8分，共16分）（1）$$\frac{2}{\sqrt{3}}$$（2）$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}}$$13.综合化简与简单求值（每题10分，共20分）（1）化简：$$\sqrt{(-12)\times(-27)}$$；（2）先化简$$\sqrt{4x^2}(x\geq0)$$，再代入$$x=3$$求值。参考答案与解析一、选择题1.C解析：A可化为$$2\sqrt{2}$$，B含分母，D可化为$$2\sqrt{3}$$，均不是最简二次根式。2.A解析：原式$$=\sqrt{16}\times\sqrt{9}=4\times3=12$$，算术平方根为非负数。3.B解析：先整理被开方数，原式$$=\sqrt{36}=6$$，负数不能直接开方相乘。4.A解析：原式$$=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$$，算术平方根唯一且非负。5.A解析：B$$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$；C$$\sqrt{0.4}=\frac{\sqrt{10}}{5}$$；D$$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$。二、填空题6.分母；能开得尽方的因数或因式7. $$3\sqrt{3}$$；$$4\sqrt{3}$$8. $$\frac{5}{4}$$；$$0.3$$9. $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$解析：分子分母同乘$$\sqrt{2}$$有理化。10. 3解析：$$\sqrt{48n}=\sqrt{16\times3n}=4\sqrt{3n}$$，$$3n$$不含开得尽方因数，n最小为3。三、解答题11.（1）原式$$=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$$（2）原式$$=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}$$（3）原式$$=\sqrt{\frac{8\times3}{27\times3}}=\sqrt{\frac{24}{81}}=\frac{2\sqrt{6}}{9}$$（4）原式$$=0.4$$12.（1）原式$$=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$（2）原式$$=\sqrt{\frac{5}{20}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$13.（1）解：原式$$=\sqrt{12\times27}=\sqrt{324}=18$$（2）解：$$x\geq0$$，原式$$=2x$$，代入$$x=3$$，原式$$=6$$。知识点总结与易错提醒：1.化简核心法则：$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$$、$$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b>0)$$；2.被开方数为负数乘积时，先算乘积再开方，禁止负数直接开方；3.最终结果必须化为最简二次根式，分母不含根号、无小数分数、无开得尽方因式；4.区分$$\sqrt{a^2}=|a|$$，带字母化简需注意取值范围；5.分母有理化是本节必考基础，保证结果规范。（1）填空：
①
②
6
6
12
12
知识点1 积的算术平方根的性质
探究新知
（2） 当a ≥ 0，b ≥ 0 时，猜想 和 的关系，并说明理由.
猜想
验 证
一般地，当 a≥0，b≥0 时，由于
因此
由此得出积的算数平方根的性质：
利用这一性质，可以化简二次根式．
积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积
例4
化简下列二次根式：
解
化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含开得尽方的因数.
例5
化简下列二次根式：
解
化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
例5
化简下列二次根式：
化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
二次根式化简的“三步法”:
（1）把被开方数因式分解；
（2）把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
（3）如果因式中有平方式（或平方数），那么应用关系式 （a ≥ 0）把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简.
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数中不含分母.
满足上述两条件的二次根式，叫作最简二次根式.
一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成最简二次根式.
知识点2 最简二次根式
在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？ 请说明理由.
×
×
√
×
知识点1 积的算术平方根的性质
1.填空：
（1）将化简： ____.
6
（2）将化简： ___ .
7
14
14
返回
2.化简 的结果是( )
B
A. B.
C. D.
返回
3.若，则 的取值范围为( )
A
A. B.
C. D. 为一切实数
返回
4.下列化简不正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
5.［教材P练习T 变式］化简下列二次根式.
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） ；
解： .
（5） ；
解： .
（6） .
解： .
返回
6.［教材P练习T 变式］化简下列二次根式.
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
返回
知识点2 最简二次根式
7.［2025长沙月考］下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
8.是最简二次根式，则下列各数不可能是 的值的是( )
A
A.1 B.2
C.3 D.4
返回
9.将 化成最简二次根式的结果为( )
A
A. B.
C. D.
返回
10.下列根式一定不是最简二次根式的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
11.已知，则将 化简后为( )
D
A. B.
C. D.
返回
12.若二次根式是最简二次根式，则 可取的最小整数是____.
返回
13.化简下列二次根式：
（1） ；
解： .
（2） ；
解：
.
（3） ;
解： .
（4） ；
解： .
（5） .
解： .
返回
课堂小结
1. 如何利用积的算术平方根的性质化简一次根式？
2. 满足最简二次根式的条件有哪些？
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.

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