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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.3.1二次根式的加减运算第3章二次根式湘教版八年级数学3.3.1二次根式的加减运算同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学3.3.1二次根式的加减运算专项编写，承接二次根式的化简、乘除运算知识，聚焦同类二次根式的判定、二次根式的加减运算法则、基础加减计算、根式混合运算、化简求值等核心考点。题型由概念辨析到综合运算循序渐进，覆盖本节课重难点、计算易错点，适配新课课后巩固与专项基础训练。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列二次根式中，与$$\sqrt{3}$$是同类二次根式的是（）A. $$\sqrt{6}$$ B. $$\sqrt{12}$$ C. $$\sqrt{9}$$ D. $$\sqrt{18}$$2.计算$$\sqrt{2}+3\sqrt{2}$$的结果是（）A. $$4\sqrt{2}$$ B. $$3\sqrt{4}$$ C. $$4\sqrt{4}$$ D. $$6\sqrt{2}$$3.下列计算正确的是（）A. $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ B. $$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$$C. $$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$$ D. $$\sqrt{4}+\sqrt{9}=\sqrt{13}$$4.化简$$3\sqrt{12}-2\sqrt{27}$$的结果为（）A. 0 B. $$\sqrt{3}$$ C. $$6\sqrt{3}$$ D. $$-6\sqrt{3}$$5.二次根式加减运算的核心步骤是（）A.直接合并根号内的数B.先化为最简二次根式，再合并同类二次根式C.直接约分计算D.先分母有理化再乘除二、填空题（每题4分，共20分）6.几个二次根式化成________后，如果________相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。7.计算：$$5\sqrt{6}-2\sqrt{6}=$$________。8.化简：$$\sqrt{20}+\sqrt{5}=$$________。9.计算：$$\sqrt{18}-\sqrt{32}=$$________。10.若$$a\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}$$，则$$a=$$________。三、解答题（共60分）11.基础二次根式加减计算（每题6分，共24分）（1）$$4\sqrt{3}+2\sqrt{3}-5\sqrt{3}$$（2）$$\sqrt{27}+\sqrt{12}$$（3）$$\sqrt{50}-\sqrt{8}$$（4）$$3\sqrt{48}-2\sqrt{75}$$12.二次根式加减混合运算（每题8分，共16分）（1）$$\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{27}+\sqrt{8}$$（2）$$2\sqrt{12}-\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48}$$13.化简求值与综合应用（每题10分，共20分）（1）先化简$$\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{48}$$，再取$$\sqrt{3}\approx1.732$$，求出近似值（结果保留两位小数）；（2）已知长方形的长为$$\sqrt{75}\mathrm{cm}$$，宽为$$\sqrt{27}\mathrm{cm}$$，求长方形的周长。参考答案与解析一、选择题1.B解析：$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$，化简后被开方数为3，与$$\sqrt{3}$$是同类二次根式。2.A解析：合并同类二次根式，系数相加减，根式不变，原式$$=(1+3)\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$。3.C解析：A非同类根式不能直接合并；B结果为$$\sqrt{3}$$；D非同类根式不能合并。4.A解析：原式$$=3\times2\sqrt{3}-2\times3\sqrt{3}=6\sqrt{3}-6\sqrt{3}=0$$。5.B解析：二次根式加减运算口诀：先化简、再判断、最后合并同类根式。二、填空题6.最简二次根式；被开方数7. $$3\sqrt{6}$$解析：$$(5-2)\sqrt{6}=3\sqrt{6}$$。8. $$3\sqrt{5}$$解析：原式$$=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$$。9. $$-\sqrt{2}$$解析：原式$$=3\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-\sqrt{2}$$。10. 4解析：$$(a+3)\sqrt{2}=7\sqrt{2}$$，得$$a+3=7$$，$$a=4$$。三、解答题11.（1）原式$$=(4+2-5)\sqrt{3}=\sqrt{3}$$（2）原式$$=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$（3）原式$$=5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$（4）原式$$=3\times4\sqrt{3}-2\times5\sqrt{3}=12\sqrt{3}-10\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$12.（1）原式$$=2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-3\sqrt{3}+2\sqrt{2}=-\sqrt{3}+5\sqrt{2}$$（2）原式$$=4\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}=\frac{12\sqrt{3}-\sqrt{3}+12\sqrt{3}}{3}=\frac{23\sqrt{3}}{3}$$13.（1）解：原式$$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$，代入$$\sqrt{3}\approx1.732$$，原式$$\approx5\times1.732=8.66$$。（2）解：长方形周长$$=2(\sqrt{75}+\sqrt{27})$$，化简得$$2(5\sqrt{3}+3\sqrt{3})=2\times8\sqrt{3}=16\sqrt{3}(\mathrm{cm})$$。答：长方形周长为$$16\sqrt{3}$$厘米。知识点总结与易错提醒：1.加减运算前提：只有同类最简二次根式才能合并，非同类根式只能保留原式；2.运算步骤：先全部化为最简二次根式→找出同类根式→系数相加减、根式部分不变；3.高频易错：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}$$，严禁直接合并被开方数；4.含分数、小数的根式需先化简，再参与加减运算；5.结果必须保留最简形式，不可合并的根式直接保留。下面的数是最简二次根式吗？如果不是，请化简。
观察它们有什么共同点？
化简后每组的二次根式的被开方数相同。
化简后被开方数相同的几个二次根式叫作同类二次根式
当 a = 时
2a + 3a = 5a
当 a = 时
+
=
探究新知
2
3
5
+
=
知识点 二次根式的加减法法则
2a + 3a
= (2+3) a
= 5a
（乘法分配律）
类比
（乘法分配律）
思 考
3a + 2b能合并吗？ 呢？
什么样的二次根式可以合并？
二次根式加减
整式加减
转化
将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.
注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变. 如：
计算：
（1）
（2）
······ 加法结合律
计算：
（1）
（2）
······ 乘法对加法的分配律
······加法交换律和结合律，乘法对加法的分配律
分析：对于被开方数不相同的二次根式的加法和减法运算，一般先将每个二次根式化成最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算.
（化成最简二次根式）
（乘法对加法的分配律）
（化成最简二次根式）
（乘法对加法的分配律）
（加法交换律）
例1
计算：
解
化——将非最简二次根式的二次根式化简；
二次根式加减法运算的步骤：
找——找出同类二次根式；
并——把同类二次根式合并.
“一化简二判断三合并”
归纳
注意：整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用.
先计算 ，再将你的结果与同学比较.
例2
下图是一土楼的水平切面图，它由两个圆心圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d（π取3.14）.
解
设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为 S1，S2，由 S1=πR2 ，S2=πr2 可知
则
答：圆环的宽度d为
知识点1 二次根式的加、减法
1.填空：
（1）（______） _____；
3
2
（2） .
3
2
3
返回
2.［2025长沙期末］下列各数不能与 合并的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
3.计算 的结果是( )
C
A. B.
C. D.2
返回
4.下列二次根式化简后可以合并的是( )
C
A.和 B.与
C.和 D.和
返回
5.下列计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
6.已知正整数,满足等式 ，下列各组数值中符合要求的
是( )
C
A.， B.，
C.， D.，
返回
7.若最简二次根式与二次根式可以合并，则 的值为( )
B
A.6 B.3
C.4 D.2
返回
8.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
知识点2 二次根式的加减混合运算
9.计算 的结果是( )
A
A.0 B.2
C. D.
返回
10.若，，则 的值为____.
返回
11.［教材P练习T 变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
课堂小结
化——将非最简二次根式的二次根式化简；
二次根式加减法运算的步骤：
找——找出同类二次根式；
并——把同类二次根式合并.
“一化简二判断三合并”

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