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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.3.3.2二次根式的混合运算第3章二次根式湘教版八年级数学3.3.2二次根式的混合运算同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学3.3.2二次根式的混合运算专项编写，整合二次根式的加、减、乘、除运算，结合整式乘法公式开展综合训练。聚焦根式混合运算顺序、乘法公式平方差与完全平方的套用、复杂分母有理化、化简求值等重难点，题型梯度清晰、贴合考试真题，适合新课巩固与专项拔高训练。一、选择题（每题4分，共20分）1.二次根式混合运算的运算顺序正确的是（）A.先加减后乘除B.先乘除后加减，有括号先算括号内C.从左到右依次计算D.先化简再算括号外2.计算$$\sqrt{2}(\sqrt{8}-\sqrt{2})$$的结果是（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 83.计算$$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$$的结果是（）A. 1 B. 7 C. $$4-2\sqrt{3}$$ D. $$4+2\sqrt{3}$$4.下列计算正确的是（）A.$$\sqrt{12}\div\sqrt{3}=4$$ B. $$\sqrt{3}+\sqrt{12}=3\sqrt{3}$$C. $$(\sqrt{2}+1)^2=3$$ D. $$\sqrt{8}\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$5.化简$$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$$的结果是（）A. 3 B. 5 C. $$1+\sqrt{4}$$ D. $$\sqrt{5}+2$$二、填空题（每题4分，共20分）6.二次根式混合运算可沿用整式的运算律：________、________、分配律。7.计算：$$\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{3})=$$________。8.计算：$$(\sqrt{5}+2)^2=$$________。9.化简：$$(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=$$________。10.计算：$$\sqrt{24}\times\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{2}=$$________。三、解答题（共60分）11.基础混合运算（每题6分，共24分）（1）$$\sqrt{3}(\sqrt{12}-\sqrt{3})$$（2）$$\sqrt{48}\div\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{18}$$（3）$$\sqrt{27}-\sqrt{12}\times\sqrt{\frac{1}{4}}$$（4）$$(\sqrt{6}-\sqrt{2})\times2\sqrt{2}$$12.乘法公式专项运算（每题8分，共16分）（1）$$(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})$$（2）$$(2\sqrt{3}-\sqrt{6})^2$$13.化简求值与综合应用（每题10分，共20分）（1）先化简$$(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)-\sqrt{20}$$，再代入求值；（2）已知$$a=1+\sqrt{2}$$，求$$a^2-2a+1$$的值。参考答案与解析一、选择题1.B解析：根式混合运算顺序与整式一致，先乘除、后加减，有括号优先算括号内。2.A解析：原式$$=\sqrt{16}-\sqrt{4}=4-2=2$$。3.A解析：平方差公式，原式$$=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$$。4.B解析：A结果为2；C结果为$$3+2\sqrt{2}$$；D结果为4。5.A解析：原式$$=1+\sqrt{4}=1+2=3$$。二、填空题6.交换律；结合律7. $$3\sqrt{2}-3$$解析：原式$$=\sqrt{18}-\sqrt{9}=3\sqrt{2}-3$$。8. $$9+4\sqrt{5}$$解析：完全平方公式，$$5+4\sqrt{5}+4=9+4\sqrt{5}$$。9. 4解析：平方差公式，$$7-3=4$$。10. $$\sqrt{2}$$解析：原式$$=\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$$。三、解答题11.（1）原式$$=\sqrt{36}-\sqrt{9}=6-3=3$$（2）原式$$=\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$$（3）原式$$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}\times\frac{1}{2}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$（4）原式$$=2\sqrt{12}-2\sqrt{4}=4\sqrt{3}-4$$12.（1）原式$$=9-2=7$$（2）原式$$=(2\sqrt{3})^2-2\times2\sqrt{3}\times\sqrt{6}+(\sqrt{6})^2=12-4\sqrt{18}+6=18-12\sqrt{2}$$13.（1）解：原式$$=5-1-2\sqrt{5}=4-2\sqrt{5}$$。（2）解：原式$$=(a-1)^2$$，代入$$a=1+\sqrt{2}$$，得$$(\sqrt{2})^2=2$$。知识点总结与易错提醒：1.运算规则：二次根式混合运算完全沿用整式运算顺序与运算律，可巧用公式简化计算；2.核心公式：平方差$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$、完全平方$$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$$，是本节必考重点；3.计算原则：先化简、再运算，结果必须化为最简二次根式；4.高频易错：套用完全平方公式时，切勿漏写中间的2倍交叉项；根式乘除加减混算时，严禁运算顺序混乱；5.化简求值优先整体代换，简化计算、减少出错。知识点1 二次根式的混合运算
探究新知
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，要先算括号里面的.运算结果中的二次根式必须化为最简二次根式.
多项式的乘除法则对二次根式的运算同样适用.
计算：
二次根式混合运算中几种常见形式以及运算方法:
（1）
（2）
（3）
多项式的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用.
知识点2 乘法公式在二次根式运算中的应用
例3
计算：
可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算.
解 （1）由平方差公式得
例3
计算：
= 9×2－5
= 13.
（2）由完全平方公式得
例3
计算：
分母含二次根式的运算一般要先将分母变为有理数（式），然后按照二次根式的运算方法计算.
知识点3 分母含二次根式的运算
例4
计算：
例5
计算：
解 （1）
分子与分母同乘 ，然后利用平方差公式把分母中的根号去掉.
例5
计算：
（2）
将分母中的二次根式变为有理数（式）的四种常用方法
（3）利用平方差公式将分子、分母同乘一个与分母相同的因式；
（4）逆用平方差公式，约去分子、分母中的相同因式.
（1）利用 将分子、分母同乘一个与分母相
同的因式；
（2）利用 将被开方数中的分子、分母同乘一个与分母相同的因式；
知识点1 二次根式的混合运算
1.填空：
（1）计算 时，先算____法，再算____法，过程如下：原
式_________ _____；
（2）计算 时，先算____________，再算____法；也可
利用______律，先算____法，再算____法，结果是___．
乘
加
括号里面的
乘
分配
乘
减
2
返回
2.计算：
（1）［2024威海中考］ _______；
（2）［2024天津中考］ ____.
10
返回
3.计算 的结果是( )
B
A.7 B.
C. D.
返回
4.计算 的结果是( )
B
A. B.1
C. D.3
返回
5. 若要在的“ ”中填上一个运算符号，
使计算结果最大，则“ ”中应该填( )
C
A. B.-
C.× D.
返回
6.［教材P练习T 变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） ;
解：原式 .
（5） ;
解：原式 .
（6） .
解：原式 .
返回
知识点2 分母有理化
7.化简 时，需要将分子、分母同时乘( )
C
A. B.
C. D.
返回
8.［2025长沙期末］化简 的结果为( )
C
A. B.
C. D.
返回
9.［教材 例5变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
课堂小结
二次根式的混合运算与实数运算类似，先乘方再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，运用运算定律可以改变运算顺序.
整式和分式的运算法则在根式运算中仍然适用.
多项式乘法法则及乘法公式在二次根式运算中仍然适用.

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