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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.1.3三角形的内角和第4章三角形湘教版八年级数学4.1.3三角形的内角和同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学4.1.3三角形的内角和专项编写，承接三角形基本概念与三线性质，聚焦三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形按角分类、利用方程思想求角度、角度综合计算等核心考点。题型由基础口算到综合拔高循序渐进，覆盖本节课重难点、经典模型与高频易错点，适配新课课后巩固与专项提升训练。一、选择题（每题4分，共20分）1.三角形的内角和为（）A. $$90^\circ$$ B. $$180^\circ$$ C. $$270^\circ$$ D. $$360^\circ$$2.在$$\triangle ABC$$中，$$\angle A=40^\circ$$，$$\angle B=60^\circ$$，则$$\angle C$$的度数为（）A. $$60^\circ$$ B. $$70^\circ$$ C. $$80^\circ$$ D. $$90^\circ$$3.直角三角形的一个锐角为$$35^\circ$$，则另一个锐角为（）A. $$55^\circ$$ B. $$45^\circ$$ C. $$65^\circ$$ D. $$35^\circ$$4.若三角形的三个内角之比为1:2:3，则该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.下列说法正确的是（）A.三角形三个内角一定都是锐角B.三角形最多有一个钝角C.三角形最少有一个直角D.三角形三个内角可以都是钝角二、填空题（每题4分，共20分）6.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于________。7.直角三角形的两个锐角________。8.在$$\triangle ABC$$中，$$\angle A=90^\circ$$，$$\angle B=28^\circ$$，则$$\angle C=$$________。9.一个三角形中，最大内角为$$89^\circ$$，则该三角形是________三角形。10.若等腰三角形的一个内角为$$50^\circ$$，则它的顶角为________。三、解答题（共60分）11.基础角度计算（每题6分，共24分）（1）在$$\triangle ABC$$中，已知$$\angle A=25^\circ$$，$$\angle B=75^\circ$$，求$$\angle C$$的度数；（2）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角大$$20^\circ$$，求两个锐角的度数；（3）已知三角形三个内角的比为2:3:4，求三个内角的度数；（4）在$$\triangle ABC$$中，$$\angle A=\angle B=2\angle C$$，求$$\angle C$$的度数。12.等腰三角形角度专项计算（每题8分，共16分）（1）已知等腰三角形的顶角为$$80^\circ$$，求它的两个底角的度数；（2）已知等腰三角形的一个底角为$$70^\circ$$，求顶角的度数。13.角度综合拔高运算（每题10分，共20分）（1）如图，在$$\triangle ABC$$中，AD是BC边上的高，AE平分$$\angle BAC$$，$$\angle B=40^\circ$$，$$\angle C=60^\circ$$，求$$\angle DAE$$的度数；（2）在$$\triangle ABC$$中，已知$$\angle A-\angle B=10^\circ$$，$$\angle C=2\angle B$$，求三角形三个内角的度数。参考答案与解析一、选择题1.B解析：三角形内角和定理固定为$$180^\circ$$。2.C解析：$$\angle C=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$$。3.A解析：直角三角形两锐角互余，$$90^\circ-35^\circ=55^\circ$$。4.B解析：设角度为$$x、2x、3x$$，$$6x=180^\circ$$，$$3x=90^\circ$$，为直角三角形。5.B解析：三角形最多一个直角或一个钝角，否则内角和超过$$180^\circ$$。二、填空题6. $$180^\circ$$7.互余（和为$$90^\circ$$）8. $$62^\circ$$解析：$$90^\circ-28^\circ=62^\circ$$。9.锐角解析：最大角小于$$90^\circ$$，为锐角三角形。10. $$50^\circ$$或$$80^\circ$$解析：分情况讨论：①$$50^\circ$$为顶角；②$$50^\circ$$为底角，顶角为$$180^\circ-100^\circ=80^\circ$$。三、解答题11.解：（1）$$\angle C=180^\circ-25^\circ-75^\circ=80^\circ$$。（2）设较小锐角为$$x$$，较大为$$x+20^\circ$$，$$x+x+20^\circ=90^\circ$$，解得$$x=35^\circ$$，另一锐角$$55^\circ$$。（3）设三个角为$$2x、3x、4x$$，$$9x=180^\circ$$，$$x=20^\circ$$，三个角度数为$$40^\circ、60^\circ、80^\circ$$。（4）$$2\angle C+2\angle C+\angle C=180^\circ$$，$$5\angle C=180^\circ$$，$$\angle C=36^\circ$$。12.解：（1）等腰三角形两底角相等，底角$$=(180^\circ-80^\circ)\div2=50^\circ$$，两底角均为$$50^\circ$$。（2）顶角$$=180^\circ-70^\circ\times2=40^\circ$$。13.解：（1）$$\angle BAC=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$$，AE平分$$\angle BAC$$，$$\angle BAE=40^\circ$$。AD⊥BC，$$\angle BAD=90^\circ-40^\circ=50^\circ$$，$$\angle DAE=\angle BAD-\angle BAE=10^\circ$$。（2）由题意得：$$\angle A=\angle B+10^\circ$$，$$\angle C=2\angle B$$，代入内角和：$$\angle B+10^\circ+\angle B+2\angle B=180^\circ$$，解得$$\angle B=42.5^\circ$$，$$\angle A=52.5^\circ$$，$$\angle C=85^\circ$$。知识点总结与易错提醒：1.核心定理：三角形内角和恒为$$180^\circ$$，是角度计算的根本依据；2.直角三角形专属性质：两锐角互余，可快速简化计算；3.三角形角度规律：最多1个钝角、最多1个直角，最少2个锐角；4.等腰三角形求角必须分类讨论，未说明顶角底角时两种情况都要考虑；5.复杂角度计算优先用方程思想，设未知角求解，步骤规范不易出错。折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.
可以将∠A，∠B剪下并移至顶点C处拼接成一个角.
复习导入
想 一 想
任意三角形的内角和都是180°吗？我们在小学阶段是怎样验证的？
推进新课
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
A
B
C
D
A′
如图，将△ABC的边AB所在的直线平移，使其像经过点C，得到直线A′B′.
因为直线在平移下的像是与它平行的直线，
所以A′B′ // AB.
则 ∠A′CD=∠B，
∠ACA′=∠A.
又 ∠BCA+∠ACA′+∠ A′CD=180°，
所以 ∠BCA + ∠A + ∠B = 180°.
B′
你还有其他的证明方法吗？
A
B
C
C′
则 ∠1 =∠B， ∠3 =∠C，
又 ∠1 +∠2 +∠ 3 = 180°，
所以 ∠B + ∠2 + ∠C = 180°.
如图，过A作B′C′∥BC，
1
2
3
（两直线平行，内错角相等）
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
B′
A
B
C
E
如图，过A作AE∥BC，
所以∠B =∠BAE
（两直线平行，内错角相等）
又 ∠EAB +∠BAC +∠C = 180°
（两直线平行，同旁内角互补）
所以∠B +∠C +∠BAC = 180°
求证：∠A +∠B +∠C = 180°.
已知：△ABC .
三角形的内角和等于180°.
为了证明三个角的和为180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.
在△ABC中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解 设∠B=x°，则∠A = (3x)°，∠C = (x+ 15)°，
从而 3x + x + ( x + 15 ) = 180，
解得 x = 33.
所以 3x = 99， x + 15 = 48.
答：∠A，∠B，∠C 的度数分别为99°，33°，48°.
例题
3
三个角都是锐角
锐角三角形
有一个角是直角
直角三角形
有一个角是钝角
钝角三角形
由于三角形的内角和等于180°，因此，一个三角形中最多有一个直角或钝角，最少有两个锐角，最多有三个锐角.
一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.
A
B
C
“Rt △ABC”
直角边
直角边
斜边
直角三角形
可用符号“Rt△”来表示，
特别地，两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
根据下列条件，判断△ABC的形状：
（1）∠A=45°，∠B=65°；
（2）∠C= 110；
（3）∠C= 90°.
∠C=75°
锐角三角形
∠C=110°＞ 90°
钝角三角形
∠C=90°
直角三角形
试一试
A
B
C
D
如图，将△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.
像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.
外角
相邻的内角
对于外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角.
不相邻的内角
A
B
C
画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有 6 个外角．
每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角.
（1） 三角形的外角具有哪些特征？
（2） 三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系？
三角形的外角应具备的条件：
① 角的顶点是三角形的顶点；
② 角的一边是三角形的一边；
③ 另一边是三角形中一边的延长线.
A
B
C
D
外角
可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论去思考.
如图，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD与内角∠A，∠B之间有什么关系？
D
A
B
C
D
A
B
C
因为∠ACD+∠ACB= 180° ,
∠A +∠B+∠ACB= 180°,
所以∠ ACD =180°－∠ACB ，
于是∠ACD =∠A+∠B（等量代换）.
如图，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD与内角∠A，∠B之间有什么关系？
∠A+∠B =180°－∠ACB ，
由此得到：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
D
A
B
C
说一说 三角形的一个外角跟与它相邻的内角之间
有什么关系？
∠ACB + ∠ACD = 180°
三角形的一个外角与相邻的内角互补
如图，已知AD是△ABC 的角平分线，∠ADB = 98°，∠C = 70°，求∠B 的度数.
例题
4
解 因为∠ADB =∠C + ∠CAD，
所以∠CAD =∠ADB － ∠C
= 98°－ 70°= 28°.
又∠BAD =∠CAD，
所以∠BAD = 28°.
因此，∠B = 180°－∠ADB－∠BAD = 54°.
知识点1 定义
1.下列属于定义的是( )
D
A.两点确定一条直线
B.两直线平行，同位角相等
C.等角的补角相等
D.线段是直线上的两点和它们之间的部分
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2.写出直角三角形的定义：______________________________________.
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
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知识点2 命题、真命题和假命题
3.［2025衡阳期中］下列四个句子中，是命题的是( )
A
A.正方形的四条边相等 B.利用三角板画 的角
C.生活在水里的动物是鱼吗 D.直线、射线、线段
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4.［2025邵阳期中］下列命题中，属于真命题的是( )
C
A.内错角相等 B.同旁内角相等，两直线平行
C.平行于同一直线的两直线平行 D.相等的角是对顶角
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5.命题“如果是有理数，那么 是整数”，则它是____命题（填“真”或
“假”）.
假
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知识点3 原命题、逆命题、互逆命题
6.［2025永州期中］请将“两直线平行，同位角相等”写成“如果 ，
那么……”的形式：________________________________.
如果两直线平行，那么同位角相等
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7.命题“如果，那么， ”的逆命题是______________
__________________.
如果，，那么
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8.写出命题“两直线平行，内错角相等”和“对顶角相等”的逆命题，并写
出原命题和逆命题的条件和结论.
解：命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线
平行”.原命题的条件是两直线平行，结论是内错角相等.逆命题的条件是
内错角相等，结论是两直线平行.
命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”.
原命题的条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等.
逆命题的条件是两个角相等，结论是这两个角是对顶角.
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9.下列说法正确的是( )
B
A.“作线段 ”是一个命题
B.“三角形的三条中线的交点叫作三角形的重心”是定义
C.“若，则 ” 不是命题
D.“含有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义
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课堂小结

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