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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.2.2证明，举反例第4章三角形湘教版八年级数学4.2.2证明、举反例同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学4.2.2证明与举反例专项编写，承接上一节定义与命题知识，是几何逻辑推理的核心入门内容。聚焦几何证明的步骤规范、推理依据、文字命题证明流程、利用举反例判定假命题、基础几何推理证明等核心考点，题型由概念辨析到规范证明循序渐进，贴合考试答题标准，适配新课课后巩固与逻辑思维训练。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于几何证明的说法正确的是（）A.证明时可以凭肉眼观察得出结论B.证明过程每一步都要有依据C.假命题也可以推理证明为真D.证明依据只能是定理2.要证明一个命题是假命题，常用的方法是（）A.推理证明B.举反例C.画图验证D.测量实验3.下列命题中，可以举反例推翻的假命题是（）A.直角三角形两锐角互余B.对顶角相等C.若|a|=|b|，则a=b D.三角形内角和为180°4.几何证明的依据不包括（）A.已知条件B.定义、公理、定理C.个人猜测D.已证结论5.命题“任意两个锐角的和是钝角”的反例是（）A. $$\angle1=30^\circ，\angle2=40^\circ$$ B. $$\angle1=60^\circ，\angle2=50^\circ$$C. $$\angle1=80^\circ，\angle2=70^\circ$$ D. $$\angle1=90^\circ，\angle2=30^\circ$$二、填空题（每题4分，共20分）6.从命题的条件出发，通过一步步推理，判断结论成立的过程叫做________。7.证明一个命题是假命题，只需举出一个________的例子即可。8.几何证明的三大依据：已知条件、________、________。9.命题“若a＞b，则a ＞b ”的一个反例可以是________。10.文字命题的证明步骤：审题、画图、________、推理证明、总结结论。三、解答题（共60分）11.举反例证假命题（每题6分，共24分）判断下列命题真假，假命题请举出反例：（1）相等的角是对顶角；（2）若a为正数，则a ＞a；（3）三角形的外角大于任意一个内角；（4）两直线被第三条直线所截，同位角相等。12.基础规范几何证明（每题8分，共16分）（1）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，求证：对顶角相等。（2）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：∠A+∠B=90°。13.文字命题综合证明（每题10分，共20分）（1）求证：直角三角形的两个锐角互余；（2）求证：对顶角的平分线在同一条直线上。参考答案与解析一、选择题1.B解析：几何证明每一步推理必须有依据，不能主观臆断，依据包含已知、定义、公理、定理。2.B解析：举反例是证明假命题的唯一简便方法，真命题需要完整推理证明。3.C解析：|2|=|-2|，但2≠-2，可举反例证明该命题为假命题，其余均为真命题。4.C解析：个人猜测无理论依据，不能作为几何证明的推理依据。5.A解析：30°+40°=70°，为锐角，可证明“两个锐角和为钝角”是假命题，D中90°不是锐角。二、填空题6.证明7.符合条件、不符合结论8.定义；公理、定理9. a=1，b=-2（答案不唯一）10.写出已知、求证三、解答题11.解：（1）假命题。反例：两平行线被第三条直线所截，同位角相等，但不是对顶角。（2）假命题。反例：当a=0.5时，a =0.25，此时a ＜a。（3）假命题。反例：三角形的钝角外角小于相邻的钝角内角。（4）假命题。反例：两条不平行的直线被第三条直线所截，同位角不相等。12.解：（1）证明：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠BOD+∠BOC=180°（平角定义），∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等），即对顶角相等。（2）证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理），又∵∠C=90°（已知），∴∠A+∠B=180°-90°=90°（等式性质）。13.解：（1）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：∠A+∠B=90°。证明：∵三角形内角和为180°（三角形内角和定理），∴∠A+∠B+∠C=180°，∵∠C=90°（已知），∴∠A+∠B=90°，即直角三角形两锐角互余。（2）已知：直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求证：OE、OF在同一直线上。证明：∵AB、CD相交于O，∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=$$\frac{1}{2}$$∠AOC，∠BOF=$$\frac{1}{2}$$∠BOD，∴∠AOE=∠BOF，∵∠AOE+∠EOB=180°（平角定义），∴∠BOF+∠EOB=180°，∴∠EOF=180°，即OE、OF在同一条直线上。知识点总结与易错提醒：1.真假命题判定：真命题必须完整推理证明，假命题只需一组反例即可推翻；2.反例核心要求：满足命题条件，不满足命题结论，缺一不可；3.几何证明规范：每一步推理必须标注依据（已知、定义、定理、公理），步骤完整、逻辑清晰；4.文字命题证明四步法：画图→写已知、求证→推理证明→得出结论；5.严禁主观臆断、跳过步骤、无依据推理，是几何入门最易扣分点。判断下列命题为是真命题还是假命题。
复习导入
（2）有理数的绝对值是正数
（3）若a＋b＞0，则a＞0，b＞0
（4）内错角相等，两直线平行
假命题
假命题
真命题
（1）若a是有理数，则a是整数
假命题
你能给出理由或例子来支持你的判断吗？
想一想
（2）有理数的绝对值是正数
假命题
（1）若a是有理数，则a是整数
假命题
如何判断一个命题是假命题呢？
一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例.
（3）若a＋b＞0，则a＞0，b＞0
假命题
0. 1是有理数，但不是整数
0 的绝对值是0，不是正数
若a + b = -2 + 5 = 3＞0，但 a = -2＜0
命题“如果ab = 0，那么a = 0”是真命题还是假命题？
例题
2
1×0 = 0，但是 a = 1 ≠ 0，
因此“如果 ab = 0，那么 a = 0”是假命题.
（1）若 a = b ，则 a = b；
（2）一个角的余角大于这个角；
（－1）2 = 12，但是－1 ≠ 1，
因此“若 a = b ，则 a = b”是假命题
一个角是 60°，它的余角是 30°，但是 30°＜60°，
因此“一个角的余角大于这个角”是假命题.
用举反例的方法说明下列命题是假命题.
（3）若 a，b 是有理数，则 | a + b | = | a | + | b |；
（4）如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角.
|a+b| = |1+(-1)| = |0| = 0，|a| + |b| = |1|+|-1| = 1+1 = 2，但是 0≠2，
因此“若a，b是有理数，则 |a+b| = |a|+|b|”是假命题.
A
B
C
等腰三角形中，两个底角∠A 和∠B相等，但这两个角并不是对顶角.
因此“如果∠A = ∠B，那么∠A 与∠B 是对顶角”是假命题.
用举反例的方法说明下列命题是假命题.
用反证法证明：“在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°.”第一步应假设（ ）
A. ∠A＝60° B. ∠A＜60°
C. ∠A ≠ 60° D. ∠A ≤ 60°
D
∠A与60°的大小关系有∠A>60°，∠A=60°，∠A<60°三种情况，因而∠A>60°的反面是∠A≤60°.
试一试
要证明一个命题是真命题，常常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立.这一过程就是通常所说的证明.
证明的每一步都必须要有根据.
如何判断一个命题是真命题呢？
证明：如果实数a ≠ 0 或实数b ≠ 0，那么a2 + b2 ≠ 0.
例题
3
证明：若a ≠ 0，则a2 为正数.
又 b2 为正数或0，
从而 a2 + b2 是正数，
因此 a2 + b2 ≠ 0.
同理可得，若b ≠ 0，则 a2 + b2 ≠ 0.
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.
如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.
例题
4
我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设，从而得出所要证明的结论.
证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等60°，
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确.
因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
例题
4
直接证明一个命题为真有困难时
假设命题不成立
利用命题的条件或有关的结论
推理
导出矛盾
假设不成立
即所证明的命题正确
反证法
（间接证明）
否定结论，导出矛盾，肯定结论.
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 任意的
是 至少有一个
都是 至多有一个
大于 至少有 n 个
小于 至多有 n 个
对所有 x 成立 对任何 x 不成立
不是
不都是
不大于
不小于
一个也没有
至少有两个
至多有(n - 1)个
至少有(n + 1)个
存在某个x 不成立
存在某个 x 成立
不等于
某个
填一填
用反证法证明：如果实数 a ≠ 0 或实数 b ≠ 0，那么 a2 + b2 ≠ 0.
证明：假设 a + b = 0.
因为对于任意实数 a、b，都有 a ≥ 0，b ≥ 0，
要使 a + b = 0 成立，则 a = 0 且 b = 0，
由此可得 a = 0 且 b = 0.
这与已知条件“实数 a ≠ 0 或实数 b ≠ 0”矛盾.
所以假设不成立，即如果实数 a≠0 或实数 b≠0，那么 a + b ≠ 0.
知识点1 举反例
1.对于，的取值，能够说明命题“若，则 ”是假命题的
是( )
D
A.， B.，
C.， D.，
返回
2.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的是
( )
C
A. ，的补角 ，
B. ，的补角 ，
C. ，的补角 ，
D. 角不小于它的补角
返回
3.要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是
___________________（写出一个即可）.
（答案不唯一）
返回
知识点2 证明
4.“因为，，所以 ”，这个推理的依据是( )
C
A.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
B.垂线段最短
C.平行于同一直线的两条直线平行
D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
返回
5.如图，下列结论中不正确的是( )
A
（第5题）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
返回
6.如图, 若于点,于点，则___ ,理由是:______
___________.
同角
的余角相等
（第6题）
返回
7.［2025永州期中］补全证明过程，并在括号内填写
推理的依据.
已知：如图，于点，于点 ，
，求证：是 的平分线.
证明：因为， ，
所以 （____________）.
所以 （________________________）.
所以 ______，
垂直的定义
同位角相等，两直线平行
（________________________）.
因为 ，
所以 ______ ，
所以是 的平分线（________________）.
两直线平行，内错角相等
角平分线的定义
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知识点3 反证法
8.［2025茂名期中］已知在中，，求证： .用反
证法证明时，第一步应先假设( )
D
A. B.
C. D.
返回
9.用反证法证明“若，则， 至少有一个不小于0”时，第一步
应假设( )
A
A.，都小于0 B.， 不都小于0
C.，都不小于0 D.， 都大于0
返回
10.［教材 例4变式］在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大
于 ”成立时，我们利用反证法，先假设三角形的三个内角都大于
，则可推出三个内角之和大于 ，这与_____________________
_____相矛盾.
三角形的内角和等于
返回
命题的证明
课堂小结
要证明一个命题是真命题，常常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立.这一过程就是通常所说的证明.

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