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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.2.3定理,推论第4章三角形湘教版八年级数学4.2.3定理与推论同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学4.2.3定理与推论专项编写，承接命题、证明与举反例的基础内容，聚焦公理、定理、推论的概念区分、核心特征、定理规范证明、推论推导应用、几何基础定理综合运用等考点。题型由概念辨析到逻辑证明循序渐进，贴合八年级几何入门考情，夯实几何推理依据，适配新课课后巩固与专项拔高训练。一、选择题（每题4分，共20分）1.下列关于公理、定理、推论的说法正确的是（）A.定理不需要证明，可以直接使用B.公理是经过推理证明的真命题C.推论是由定理或公理直接推导得出的真命题D.推论需要复杂证明才能使用2.下列属于公理（基本事实）的是（）A.直角三角形两锐角互余B.两点确定一条直线C.对顶角相等D.三角形内角和为180°3.下列命题中，属于定理的是（）A.画线段AB=3cm B.相等的角是对顶角C.两直线平行，同位角相等D.明天会下雨4.由“三角形内角和定理”直接推出的推论是（）A.两点之间线段最短B.直角三角形的两个锐角互余C.对顶角相等D.垂线段最短5.下列说法错误的是（）A.公理、定理、推论都是真命题B.所有真命题都是定理C.推论可以直接作为几何推理依据D.定理必须经过严格推理证明二、填空题（每题4分，共20分）6.人们长期实践总结出来、不需要证明、作为推理原始依据的真命题叫做________。7.经过________的真命题叫做定理，定理可以作为推理证明的依据。8.由一个公理或定理________得到的真命题，叫做这个公理或定理的推论。9.三角形内角和定理：三角形的内角和等于________；由此可得推论：________。10.公理、定理、推论的共性：都是________，均可直接用于几何推理证明。三、解答题（共60分）11.概念辨析分类（每题6分，共24分）判断下列语句是公理、定理、推论，还是普通假命题：（1）两点之间，线段最短；（2）直角三角形两锐角互余；（3）相等的两个角是对顶角；（4）对顶角相等。12.定理规范证明（每题8分，共16分）（1）证明定理：对顶角相等；（2）证明推论：直角三角形的两个锐角互余。13.综合推理应用（每题10分，共20分）（1）利用三角形内角和定理及推论，证明：三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，利用推论求∠B的度数，并写出推理依据。参考答案与解析一、选择题1.C解析：公理无需证明；定理需证明；推论由公理、定理直接推导得出，可直接使用。2.B解析：两点确定一条直线是初中几何基本公理，其余选项均为定理。3.C解析：A不是命题，B是假命题，D不是命题，只有C是经过证明的真命题，属于定理。4.B解析：直角三角形两锐角互余，是三角形内角和定理的直接推论。5.B解析：真命题范围更广，只有经过证明、可作为推理依据的真命题才是定理。二、填空题6.公理（基本事实）7.推理证明8.直接推导9. $$180^\circ$$；直角三角形的两个锐角互余10.真命题三、解答题11.解：（1）公理（基本事实），无需证明，是几何推理原始依据；（2）推论，由三角形内角和定理直接推导得出；（3）假命题，可举反例推翻；（4）定理，经过严格推理证明的真命题。12.解：（1）证明定理：对顶角相等已知：直线AB、CD相交于点O。求证：$$\angle AOC=\angle BOD$$。证明：$$\because \angle AOC+\angle COB=180^\circ$$（平角定义），$$\angle BOD+\angle COB=180^\circ$$（平角定义），$$\therefore \angle AOC=\angle BOD$$（同角的补角相等）。（2）证明推论：直角三角形两锐角互余已知：在$$\text{Rt}\triangle ABC$$中，$$\angle C=90^\circ$$。求证：$$\angle A+\angle B=90^\circ$$。证明：$$\because \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$（三角形内角和定理），又$$\because \angle C=90^\circ$$（已知），$$\therefore \angle A+\angle B=180^\circ-90^\circ=90^\circ$$（等式性质）。13.解：（1）证明：如图，$$\triangle ABC$$中，延长BC至点D，$$\angle ACD$$为三角形外角。$$\because \angle A+\angle B+\angle ACB=180^\circ$$（三角形内角和定理），$$\angle ACD+\angle ACB=180^\circ$$（平角定义），$$\therefore \angle ACD=\angle A+\angle B$$（同角的补角相等），即三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和。（2）解：$$\because \triangle ABC$$是直角三角形，$$\angle C=90^\circ$$，$$\therefore \angle A+\angle B=90^\circ$$（直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理推论），$$\therefore \angle B=90^\circ-25^\circ=65^\circ$$。答：$$\angle B=65^\circ$$，推理依据为直角三角形两锐角互余。知识点总结与易错提醒：1.核心层级：公理（无需证明）→定理（推理证明）→推论（直接推导），三者均为真命题，可直接用作推理依据；2.关键区分：公理是原始基本事实，定理是核心结论，推论是定理的延伸结论，简化后续推理；3.几何推理严禁混用依据，所有推导必须依托公理、定理、推论、已知条件；4.推论无需重复证明，做题可直接使用，是简化几何计算与证明的重要工具；5.并非所有真命题都是定理，只有纳入几何体系、可作为通用推理依据的真命题才是定理。古希腊数学家欧几里得
他挑选了一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.
新课导入
我们把少数真命题作为基本事实.
两点确定一条直线
两点之间直线最短
基本事实
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
推进新课
基本事实：
我们把经过证明为真的命题叫作定理.
“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.
不是所有的真命题都是定理.
推论：由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
判断其他命题真假的依据
定理：
“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°
∠3 + ∠4 = 180°
∠1 + ∠2 = ∠4
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”
（三角形外角定理）
1. “直角三角形的两个锐角互余”是（ ）
A.定义 B.假命题
C.基本事实 D.定理
D
试一试
猜测：三角形的三个外角之和等于360°.
想一想：三角形的内角和等于180°，外角和等于多少？
如图，在△ABC中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°， ∠BCA = 40°， ∠ACE， ∠CBD，∠BAF是△ABC的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？
因为∠ACE = 180°－ 40°= 140°，
∠CBD = 180°－ 60°= 120°，
∠BAF = 180°－ 80°= 100°.
所以∠ ACE +∠CBD +∠ BAF = 140°+120°+100°= 360°.
任意三角形的三个外角之和都等于360°吗？
如图，△ABC 的三个外角分别为∠BAF，∠CBD和∠ACE.
证明
因为 ∠BAF = 180°－∠BAC ，
∠CBD = 180°－∠ABC ，
∠ACE = 180°－∠ACB，
所以 ∠ ACE +∠CBD +∠ BAF
=(180°－∠BAC )+(180°－∠ABC )+(180°－∠ACB)
=540°－(∠BAC +∠ABC +∠ACB)
=540°－180°
=360°.
想一想：三角形的内角和等于180°，外角和等于多少？
推论：三角形的外角和等于 360°.
判一判：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假.
解：原命题是真命题.
它的逆命题是“同位角相等，两直线平行”
逆命题是真命题.
总结：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理.
平行线的性质定理1
平行线的判定定理1
判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题，则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题，则原定理没有逆定理．
证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边.
例题
5
分析 对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明.
已知：
如图，在△ABC中，∠B = ∠ C，AE是外角∠ CAD的平分线.
求证：
AE // BC.
证明 根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，
∠CAD = ∠B +∠C.
又∠B = ∠C，
于是∠CAD = 2∠B.
由于AE是∠CAD的平分线，
因此∠CAD = 2 ∠DAE，
从而2 ∠B = 2 ∠DAE，
即∠B = ∠DAE.
所以AE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
画出图形
根据命题的条件题意
第二步
写出已知、求证
根据命题的条件和结论，结合图形
第三步
写出证明的过程
通过分析，找出证明的途径
知识点1 定理、推论、逆定理、互逆定理
1.下列说法中，错误的是( )
B
A.所有的定义都是命题 B.所有的命题都是定理
C.所有的基本事实都是命题 D.所有的定理的推论都是真命题
返回
2.下列结论不正确的是( )
B
A.命题都有逆命题
B.定理都有逆定理
C.定理都可以通过推理证明它是真命题
D.定理可以作为证明其他命题的依据
返回
3.下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”是互逆定理的是( )
C
A.同旁内角不互补，两直线平行 B.同旁内角不互补，两直线不平行
C.两直线平行，同旁内角互补 D.两直线不平行，同旁内角不互补
返回
知识点2 命题的证明
4.已知命题“两直线平行，同旁内角互补”.
（1）写出该命题的条件和结论，并将其改写成“如果 ，那么……”
的形式；
解：该命题的条件是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，改成“如
果 ，那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补.
（2）嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，
请将其补全，并在括号内填上推理的根据.
已知：如图，直线，直线截， 于
点， .
求证：_______ .
证明：因为 （已知），
所以 （________________________）.
因为_______ （平角的定义），
所以_______ （__________）.
两直线平行，同位角相等
等量代换
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5.判断下列命题是不是真命题，写出它们的逆命题，并判断其是不是真
命题，以及原命题与其是不是互逆定理.
（1）若，则 ；
解：此命题为真命题，逆命题为：若，则 ，
逆命题为假命题，所以原命题与逆命题不是互逆定理.
（2）如果三角形有一个内角是钝角，那么它的另外两个内角一定是锐角.
解：此命题为真命题，逆命题为：如果三角形有两个内角是锐角，那么
它的另一个内角一定是钝角，逆命题是假命题，所以原命题与逆命题不
是互逆定理.
返回
6.命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.
（1）请将此命题改写成“如果 ，那么……”的形式：____________
_____________________________________________________；
在同一平面
内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
（2）请写出“已知”和“求证”，并证明过程.
解：已知：如图，于点，于点 .
求证： .
证明：因为于点，于点 ，
所以 ， ，
所以，所以 .
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课堂小结
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步
画出图形
根据命题的条件题意
第二步
写出已知、求证
根据命题的条件和结论，结合图形
第三步
写出证明的过程
通过分析，找出证明的途径
定理：经过证明为真的命题
推论：利用某个定理直接推导出的真命题

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