资源简介

(共33张PPT)
湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.3.2全等三角形的判定定理（边角边）第4章三角形湘教版八年级数学4.3.2全等三角形的判定定理（边角边SAS）同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学4.3.2边角边（SAS）判定定理专项编写，承接全等三角形的性质与对应关系识别，聚焦“SAS判定定理的理解、两边夹角的辨析、利用SAS证明三角形全等、结合已知条件补全证明条件、规范几何书写”等核心考点。重点区分“夹角”与“非夹角”的易错陷阱，题型由概念辨析、条件判断到规范证明循序渐进，适配新课课后巩固、规范书写训练与基础拔高。一、选择题（每题4分，共20分）1.边角边定理（SAS）判定两个三角形全等的条件是（）A.两组边对应相等B.两组边对应相等，且其中一组边的对角相等C.两组边对应相等，且夹角对应相等D.一组边和一个角对应相等2.下列条件中，能直接用SAS判定$$\triangle ABC\cong\triangle DEF$$的是（）A. $$AB=DE，BC=EF，\angle A=\angle D$$ B. $$AB=DE，AC=DF，\angle A=\angle D$$C. $$AB=DE，AC=DF，\angle B=\angle E$$ D. $$\angle A=\angle D，\angle B=\angle E，AB=DE$$3.已知$$OA=OB，OC=OD$$，$$\angle AOC=\angle BOD$$，可判定$$\triangle AOC\cong\triangle BOD$$的依据是（）A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS4.下列说法正确的是（）A.两边对应相等，任意一角相等即可证全等B. SSA可以判定三角形全等C.必须是两边的夹角相等才可用SAS D.以上都不对5.在$$\triangle ABC$$和$$\triangle ABD$$中，$$AB=AB，AC=AD$$，要利用SAS证明全等，需补充条件（）A. $$\angle C=\angle D$$ B. $$\angle BAC=\angle BAD$$ C. $$\angle ABC=\angle ABD$$ D. $$BC=BD$$二、填空题（每题4分，共20分）6.两边及其________分别相等的两个三角形全等，简写成________。7.用SAS证明全等时，必须严格满足：边、角、边，且角必须是两组对应边的________。8.在$$\triangle ABC$$和$$\triangle DEF$$中，$$AB=DE$$，$$\angle B=\angle E$$，补充条件________，可利用SAS证明两三角形全等。9.对顶角相等、公共边相等、公共角相等，都是SAS证明中常用的________条件。10.两边及其中一边的对角相等（SSA）________（填“能”或“不能”）判定三角形全等。三、解答题（共60分）11.条件判断辨析（每题6分，共24分）判断下列各组条件能否用SAS判定两个三角形全等，能的说明理由，不能的说明原因：（1）$$AB=A'B'，AC=A'C'，\angle A=\angle A'$$（2）$$AB=A'B'，BC=B'C'，\angle A=\angle A'$$（3）$$AC=DF，BC=EF，\angle C=\angle F$$（4）$$AB=DE，AC=DF，\angle B=\angle E$$12.基础规范证明（每题8分，共16分）（1）已知：如图，AB=AD，$$\angle BAC=\angle DAC$$，AC为公共边。求证：$$\triangle ABC\cong\triangle ADC$$。（2）已知：如图，OA=OB，OC=OD。求证：$$\triangle AOD\cong\triangle BOC$$。13.综合应用证明（每题10分，共20分）（1）已知：AB=CD，AB∥CD，求证：$$\triangle ABC\cong\triangle CDA$$。（2）已知：点C是AB中点，AC=BC，$$\angle ACD=\angle BCE$$，CD=CE。求证：$$\triangle ACD\cong\triangle BCE$$。参考答案与解析一、选择题1.C解析：SAS定理核心：两组对应边相等，且两边的夹角对应相等。2.B解析：$$\angle A$$是AB、AC的夹角，$$\angle D$$是DE、DF的夹角，满足SAS结构。3.B解析：两边及夹角对应相等，符合SAS判定依据。4.C解析：SAS关键是“夹角”，SSA无法判定全等，是高频易错点。5.B解析：$$\angle BAC$$是AB与AC的夹角，$$\angle BAD$$是AB与AD的夹角，满足SAS夹角条件。二、填空题6.夹角；SAS（边角边）7.夹角8. $$BC=EF$$9.隐含10.不能三、解答题11.解：（1）能，$$\angle A$$是AB、AC的夹角，满足SAS；（2）不能，$$\angle A$$不是两组边的夹角，属于SSA，无法判定；（3）能，$$\angle C、\angle F$$为对应夹角，满足SAS；（4）不能，$$\angle B、\angle E$$不是两组对应边的夹角，属于SSA。12.（1）证明：在$$\triangle ABC$$和$$\triangle ADC$$中，$$\begin{cases} AB=AD（已知）\\ \angle BAC=\angle DAC（已知）\\ AC=AC（公共边）\end{cases}$$$$\therefore \triangle ABC\cong\triangle ADC(\text{SAS})$$。（2）证明：在$$\triangle AOD$$和$$\triangle BOC$$中，$$\begin{cases} OA=OB（已知）\\ \angle AOD=\angle BOC（对顶角相等）\\ OD=OC（已知）\end{cases}$$$$\therefore \triangle AOD\cong\triangle BOC(\text{SAS})$$。13.（1）证明：$$\because AB\parallel CD$$（已知），$$\therefore \angle BAC=\angle DCA$$（两直线平行，内错角相等）。在$$\triangle ABC$$和$$\triangle CDA$$中，$$\begin{cases} AB=CD（已知）\\ \angle BAC=\angle DCA（已证）\\ AC=CA（公共边）\end{cases}$$$$\therefore \triangle ABC\cong\triangle CDA(\text{SAS})$$。（2）证明：$$\because$$点C是AB中点，$$\therefore AC=BC$$（中点定义）。在$$\triangle ACD$$和$$\triangle BCE$$中，$$\begin{cases} AC=BC（已证）\\ \angle ACD=\angle BCE（已知）\\ CD=CE（已知）\end{cases}$$$$\therefore \triangle ACD\cong\triangle BCE(\text{SAS})$$。知识点总结与易错提醒：1. SAS定理口诀：两边夹一角，角在中间，必须是两条对应边的夹角；2.致命易错：SSA（两边及其中一边对角）不能判定全等，考试高频陷阱；3.常用隐含条件：公共边、公共角、对顶角相等，可直接作为推理依据；4.证明书写规范：必须列出三组对应条件，最后标注判定依据SAS，步骤完整、对应准确；5.平行条件可推出等角，是SAS证明中最常用的角度推导方式。1. 什么叫全等三角形？
能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3. 已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角.
A
B
C
D
E
F
知识回顾
① AB = DE
③ CA = FD
② BC = EF
④∠A =∠D
⑤∠B =∠E
⑥∠C =∠F
A
B
C
D
E
F
① AB = DE
③ CA = FD
② BC = EF
④∠A =∠D
⑤∠B =∠E
⑥∠C =∠F
如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
思考：两个三角形至少需要满足其中的几组元素相等才能说明它们全等呢？
分组合作探究
每个小组选择一种边和角的相等条件，根据给出的条件，每位组员画出对应的三角形，互相比较画出的三角形是否全等，将结果记录在教材的表格中。
推进新课
（1）有一条边相等的两个三角形
不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形
不一定全等
不一定全等
3 cm
4 cm
不一定全等
3 cm
4 cm
不一定全等
30°
6 cm
（5）有两个角分别相等的两个三角形
（3）有两条边分别相等的两个三角形
（4）有一个角和一条边分别相等的两个三角形
6 cm
30°
60°
30°
30°
60°
（1）有一条边相等的两个三角形
不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形
不一定全等
不一定全等
不一定全等
不一定全等
（5）有两个角分别相等的两个三角形
（3）有两条边分别相等的两个三角形
（4）有一个角和一条边分别相等的两个三角形
当两个三角形只有一条边（或一个角）相等时，两个三角形不一定全等；当只有两条边（或一边一角、两个角）分别对应相等时，两个三角形也不一定全等.
能否再添加适当条件，从而保证两个三角形全等
用量角器和刻度尺画一个三角形，使它的两条边长分别为2cm，2.5cm，并且这两条边的夹角为50°.将自己画的三角形与其他同学画的三角形叠放在一起，它们完全重合吗？
50°
2 cm
2.5 cm
50°
2 cm
2.5 cm
50°
2 cm
2.5 cm
我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′.
（1）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图.
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
将△ABC放到△A′B′C′上，使点B与点B′重合，BC落在射线B′C′上，点A与点 A′在BC的同侧，则由BC= B′C′可得，点C与点C′重合.
又∠B =∠B′，则射线BA与射线B′A′重合，由BA= B′A′可得，点A与点A′重合.
于是△ABC与△A′B′C′完全重合，从而△ABC≌△A′B′C′.
（2）△ABC 和△A′B′C′ 的位置关系如图（顶点B与顶点B′ 重合）.
A
B′(B)
C
A′
C′
将△ABC作绕点B的旋转， 旋转角等于∠C′BC，
在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′.
B′(B)
C
A′
C′
A
∵BC＝B′C′，
∴线段BC的像与线段B′C′重合.
∵∠ABC＝∠A′B′C′，
∴∠C′BC =∠A′BA.
又∵BA=B′A′，
∴在上述旋转下， BA 的像与B′A′重合，
从而AC的像就与A′C′重合，
于是△ABC的像就是△A′B′C′.
由于旋转不改变图形的形状和大小，
∴△ABC≌△A′B′C′.
（3）△ABC 和△A′B′C′ 的位置关系如图.
A
B
C
A′′
B′(B′′)
C′′
A′
C′
将△ABC作平移， 使顶点B的像B″和顶点B′重合，
根据情形（1），（2）的结论得△A″B″C″≌△A′B′C′，
因此△ABC≌△A′B′C′.
在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′.
（4）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图.
B
C
A
B′
A′
C′
在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC =∠ A′B′C′，AB =A′B′， BC = B′C′.
A′′
B
C
A
B′
A′
C′
将△ABC作关于直线BC的轴对称，
△ABC在轴对称下的像为A′′BC，由于轴对称不改变图形的形状和大小，
因此△ABC≌△A′′BC，
A′′
B
C
A
B′
A′
C′
根据情形（3）的结论得△A′′BC≌△A′B′C′，
因此△ABC≌△A′B′C′.
结论
由此得到判定两个三角形全等的基本事实：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
（可简写成“边角边”或“SAS”）.
边角边定理
文字语言：
几何语言：
AB = A′B′，
∠A =∠A′，
AC =A′C′ ，
∴△ABC ≌△ A′B′C′（SAS）．
A
B
C
||
|
|||
A′
B′
C′
|
||
|||
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）．
提示
今后在解决有关两个三角形全等的问题时，一般只需用全等三角形的判定定理进行证明即可.
如图，AB和CD相交于点O，且AO＝BO，CO＝DO.
求证：△ACO≌△BDO.
证明 在△ACO和△BDO中，
AO = BO，
∠AOC =∠BOD，（对顶角相等）
CO = DO，
∴ △ACO≌△BDO.（边角边）
例题
2
证明的书写步骤：
1. 准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；
2. 三角形全等书写三步骤：
（1）写出在哪两个三角形中；
（2）摆出三个条件用大括号括起来；
（3）写出全等结论.
结
小
纳
归
“两条边与其中一条边的对角分别对应相等的两个三角形全等”是真命题还是假命题？与同学交流你的想法。
A
B
C
C′
A
B
C
A
B
C′
发现：顶点 C 可能存在两个位置，两个三角形不一定全等.
【结论】是假命题.
知识点 用边角边判定三角形全等
1.如图所示的三角形中全等的是( )
C
A.①③ B.②③
C.①② D.以上都不对
返回
（第2题）
2.如图，点，在上，， ，要
使 ，还需要添加的一个条件可以是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第3题）
3.［教材P练习T变式］如图， ，
， ，则 的度数为( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4.如图，点在 的平分线上，若能用“边角边”
判定 ，则需添加的一个条件是
__________.
返回
（第5题）
5.如图，点，，，在一条直线上， ，
，，，则 ___.
6
返回
6. 如图是某纸伞的截面示意图，伞柄 平分两条伞骨所
成的角，.若支杆 需要更换，则所换长度应与____相等.
（第6题）
返回
7.［2025衡阳期末］如图， ，
，，求证： .
证明：因为，所以 .
在和中，
所以 （边角边）.
返回
8.［2025常州期中］如图，是边上一点， 交
于点，，，求证： .
证明：在和 中，
所以 （边角边），
所以，所以 .
返回
9.如图，公园有一条“”字形道路，其中 ，在点
，，处各有一个小石凳，且，为的中点，连接 ，
，请问石凳到石凳，的距离， 是否相等？说出你的理由.
解：石凳到石凳，的距离， 相等.
理由如下：因为，所以 .
因为为的中点，所以 .
在和中，
所以（边角边），所以 ，
即石凳到石凳，的距离， 相等.
返回
10.在与 中，嘉淇发现有两个结论：①若
，，，则 ；
②若，， ，则
.对于上述的两个结论，下列说法正确的是( )
C
A.①，②都错误 B.①，②都正确
C.①正确，②错误 D.①错误，②正确
返回
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）
三角形全等的判定方法“边角边”
①已知两边，找“夹角”；
②已知一角和该角的一边，找这角的另一边.
注意
课堂小结

展开更多......

收起↑