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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.5.1等腰三角形的性质定理第4章三角形湘教版八年级数学4.5.1等腰三角形的性质定理同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学4.5.1等腰三角形的性质定理专项编写，承接全等三角形判定与几何证明内容，是轴对称几何的核心基础考点。聚焦等腰三角形定义、等边对等角性质、三线合一核心定理、等腰三角形角度与边长计算、性质定理规范证明、分类讨论思想等重难点，题型由概念辨析、基础计算到综合证明循序渐进，贴合期中期末考情，适配新课课后巩固与专项拔高训练。一、选择题（每题4分，共20分）1.等腰三角形的核心性质“等边对等角”指的是（）A.等腰三角形的任意两个角相等B.等腰三角形两腰对应的底角相等C.等腰三角形顶角与底角相等D.等腰三角形三边对应角相等2.等腰三角形“三线合一”中的“三线”不包括（）A.顶角平分线B.底边上的中线C.底边上的高D.腰上的高3.已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的底角度数为（）A. 70°B. 55°C. 70°或55°D. 40°4.等腰三角形的对称轴是（）A.底边的直线B.顶角平分线所在直线C.腰所在直线D.三角形的中线5.下列说法正确的是（）A.等腰三角形一定是锐角三角形B.等腰三角形两底角的平分线相等C.三线合一适用于等腰三角形所有线段D.有两边相等的三角形是等边三角形二、填空题（每题4分，共20分）6.有________相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。7.等腰三角形的两底角相等，简写成________。8.等腰三角形的顶角平分线、________、________互相重合，简称“三线合一”。9.若等腰三角形顶角为80°，则底角为________°。10.等腰三角形是________图形，有________条对称轴。三、解答题（共60分）11.基础角度计算（每题6分，共24分）求下列等腰三角形的内角度数：（1）顶角为50°，求两个底角度数；（2）一个底角为65°，求顶角度数；（3）一个内角为100°，求其余两个角度数；（4）等腰直角三角形，求三个内角度数。12.性质规范证明（每题8分，共16分）（1）求证：等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；（2）已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：AD平分∠BAC。13.综合性质应用（每题10分，共20分）（1）已知：AB=AC，AD是△ABC的中线，求证：AD⊥BC；（2）已知等腰△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两底角平分线，求证：BD=CE。参考答案与解析一、选择题1.B解析：等边对等角专指等腰三角形两腰所对的两个底角相等，顶角与底角不一定相等。2.D解析：三线合一特指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，腰上的高不适用该性质。3.C解析：分两种情况：①70°为底角，底角为70°；②70°为顶角，底角为(180°-70°)÷2=55°。4.B解析：等腰三角形对称轴为顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线。5.B解析：A等腰三角形可为钝角、直角三角形；C三线合一仅适用于底边相关线段；D三边相等才是等边三角形。二、填空题6.两条边7.等边对等角8.底边上的中线；底边上的高9. 50解析：(180°-80°)÷2=50°10.轴对称；1三、解答题11.解：（1）底角度数=(180°-50°)÷2=65°，两底角均为65°；（2）顶角=180°-65°×2=50°；（3）100°为钝角，只能是顶角，底角=(180°-100°)÷2=40°，其余两角均为40°；（4）等腰直角三角形三角度数为90°、45°、45°。12.（1）证明：等边对等角已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C。证明：作AD平分∠BAC，交BC于点D，在△ABD和△ACD中，$$\begin{cases} AB=AC（已知）\\ \angle BAD=\angle CAD（角平分线定义）\\ AD=AD（公共边）\end{cases}$$∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C。（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一性质，底边上的高与顶角平分线重合，∴AD平分∠BAC。13.（1）证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，由等腰三角形三线合一性质，底边上的中线与底边上的高重合，∴AD⊥BC。（2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB（等边对等角），∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，在△ABD和△ACE中，$$\begin{cases} \angle A=\angle A（公共角）\\ AB=AC（已知）\\ \angle ABD=\angle ACE（已证）\end{cases}$$∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE。知识点总结与易错提醒：1.核心性质：①等边对等角；②三线合一（仅限底边、顶角相关线段）；2.角度计算必分类：已知等腰三角形一个内角，未说明顶角/底角时，需分锐角、钝角讨论，钝角只能为顶角；3.三线合一易错点：仅适用于等腰三角形，且针对底边，腰上的中线、高、角平分线不重合；4.等腰三角形只有1条对称轴，为顶角平分线（底边上中线、高）所在直线；5.几何证明中，遇等腰三角形优先用等边对等角、三线合一，简化推理步骤。新课导入
A
B
C
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
等腰三角形具有一般三角形的性质
两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
等腰三角形还具有哪些特殊的性质呢？
推进新课
剪出一个等腰三角形，折一折，使△ABC 的两腰重合.
A
C
B
D
折痕为 AD.
说一说你观察到了什么？
△ADB 与△ADC 有什么关系
图中的线段有哪些数量关系和位置关系？
图中的角有哪些数量关系？
在等腰△ABC 中，已知 AB = AC，AD是△ABC的中线，则∠B = ∠C 吗？∠BAD =∠CAD 吗？AD是△ABC的高线吗？
由于AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，则BD = CD.
在△ABD和△ACD中，
AB = AC，
BD = CD，
AD = AD，
所以△ABD≌△ACD（边边边）．
因此∠B =∠C，∠BAD = ∠CAD， ∠ADB =∠ADC = 90°.
即AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线.
A
C
B
D
重合的线段 角的关系
　
AB 与 AC
BD 与 CD
AD 与 AD
∠B =∠C
∠BAD =∠CAD
∠ADB =∠ADC = 90°
A
C
B
D
你能发现等腰三角形的性质？
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是AD.
点D是底边的中点，AD是底边的中线.
等腰三角形两底角相等.
AD是顶角的角平分线.
AD是底边上的高线.
等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）
点D是底边的中点，AD是底边的中线.
等腰三角形两底角相等.
AD是顶角的角平分线.
AD是底边上的高线.
必须是在同一个三角形中
符合语言：
如图，在△ABC中，
若AB=AC，则∠B=∠C.
等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
符合语言：
如图，在△ABC中，AB=AC.
（1）若∠BAD=∠CAD，则AD⊥BC， BD=CD；
（2）若AD⊥BC，则∠BAD=∠CAD，BD=CD；
（3）若BD=CD，则AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.
底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）
对腰上的高、中线、底角平分线一般不成立.
如图，在△ABC中，AB = AC，D为AB的中点，点E在AC上，且 BE = BC = AE.
（1）求证：ED⊥AB；
（2）求△ABC各角的度数.
解 （1）因为BE=AE，D为AB的中点，
所以ED是等腰△EAB的边AB上的中线，
从而ED⊥AB（三线合一）.
例题
1
如图，在△ABC中，AB = AC，D为AB的中点，点E在AC上，且 BE = BC = AE.
（1）求证：ED⊥AB；
（2）求△ABC各角的度数.
（2）因为AB = AC，BE = BC = AE，
所以∠ABC =∠C， ∠C =∠1， ∠A =∠2（等边对等角）.
于是∠1=∠A +∠2 = 2∠A，
从而∠ABC = ∠C =∠1 = 2∠A.
例题
1
如图，在△ABC中，AB = AC，D为AB的中点，点E在AC上，且 BE = BC = AE.
（1）求证：ED⊥AB；
（2）求△ABC各角的度数.
又∠A +∠ABC +∠C = 180°，
于是∠A + 2∠A + 2∠A = 180°，
从而∠A = 36°，
因此∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72°.
例题
1
知识点1 等边对等角
1.在中，， ，则 _____.
返回
2.［2024湖南中考］若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶
角的度数为_____ .
100
返回
（第3题）
3.［2024济南中考］如图，已知， 是
等腰直角三角形， ，顶点， 分别
在，上，当 时，____ .
65
返回
（第4题）
4.如图，在中， ，
，，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
返回
5.如图，直线，相交于点，若，则 等于( )
C
A. B.
C. D.
返回
6.［教材P练习T变式］［2025南京期中］如图，在中，点
在边上，.若 ，求 的度数.
解：因为， ，所以 .因为
，所以.因为是 的外角，所以
，所以 .
返回
知识点2 三线合一
（第7题）
7. 如图，衣架可以近似看成一个
等腰三角形，其中， 于点
，若 ，则 的长为( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第8题）
8.如图，在中，，是 边上的中
线， ，则 的度数为( )
C
A. B.
C. D.
返回
9.如图，在中，， 是角平分线，则
下列结论不一定正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
10.如图，，分别是 的中线和角平分线，若
， ，求 的度数.
解：因为，是 的中线，所以
，
所以 .
因为是 的角平分线，
所以 ，所以
.
返回
等腰三角形的性质
课堂小结

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