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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.5.3等边三角形的性质定理与判定定理第4章三角形湘教版八年级数学4.5.3等边三角形的性质定理与判定定理同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学4.5.3等边三角形专项编写，等边三角形是特殊的等腰三角形，整合前面等腰三角形的性质与判定。本节重点掌握等边三角形的三条核心性质、三种判定方法、角度计算、规范几何证明，熟练区分等腰三角形与等边三角形的转化条件，规避“有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形”等高频考点陷阱，题型由浅入深，适配新课课后巩固、几何推理训练与单元检测复习。一、选择题（每题4分，共20分）1.关于等边三角形的内角，下列说法正确的是（）A.只有一个内角为60°B.三个内角均为60°C.最大内角为90°D.内角和为180°且角度各不相等2.下列图形中，对称轴数量最多的是（）A.普通等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.不等边三角形3.有一个角是60°的等腰三角形是（）A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.无法判定4.下列条件不能判定三角形为等边三角形的是（）A.三边都相等的三角形B.三个内角都相等的三角形C.有两个角是60°的三角形D.有一个角是60°的直角三角形5.已知△ABC是等边三角形，则下列式子错误的是（）A. AB=BC=AC B. ∠A=∠B=∠C C.任意一边都满足三线合一D.仅有一条对称轴二、填空题（每题4分，共20分）6.三条边都相等的三角形叫做________三角形。7.等边三角形的三个内角________，且每一个内角都等于________°。8.等边三角形有________条对称轴，任意边上的中线、高、顶角平分线互相重合。9.判定定理：有一个角是________°的等腰三角形是等边三角形。10.三个角相等的三角形，每个角为60°，一定是________三角形。三、解答题（共60分）11.基础角度与边长计算（每题6分，共24分）（1）已知△ABC为等边三角形，求三个内角的度数；（2）已知等边三角形边长为12cm，求三角形的周长；（3）等腰三角形中有一个内角为60°，腰长为8cm，求底边长；（4）等边△ABC中，AD是高，求∠BAD的度数。12.基础判定与性质证明（每题8分，共16分）（1）已知：△ABC中，AB=BC，∠B=60°，求证：△ABC是等边三角形；（2）已知：△ABC中，∠A=60°，∠B=60°，求证：AB=BC=AC。13.综合拔高证明（每题10分，共20分）（1）已知：△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，求证：△ADE是等边三角形；（2）已知：△ABC为等边三角形，AB=AC=BC，D为BC中点，求证：AD平分∠BAC且AD⊥BC。参考答案与解析一、选择题1.B解析：等边三角形性质：三边相等，三角相等且均为60°。2.B解析：普通等腰三角形1条对称轴，等边三角形3条对称轴。3.C解析：核心判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。4.D解析：有一个角为60°的直角三角形，角度为90°、60°、30°，不是等边三角形。5.D解析：等边三角形有3条对称轴，每条边上的高所在直线均为对称轴。二、填空题6.等边7.相等；608. 39. 6010.等边三、解答题11.解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°；（2）周长=3×12=36cm；（3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，∴底边长=腰长=8cm；（4）等边三角形三线合一，AD为高也是角平分线，∴∠BAD=30°。12.证明：（1）∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，又∵∠B=60°，∴等腰△ABC为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。（2）∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°-60°-60°=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴AB=BC=AC，△ABC为等边三角形。13.证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，∴∠A=∠ADE=∠AED=60°，∴△ADE是等边三角形。（2）∵△ABC是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，根据三线合一性质：BC边上的中线、BC边上的高、∠BAC的平分线重合，∵D为BC中点，AD是BC边上中线，∴AD⊥BC，且AD平分∠BAC。知识点总结与易错提醒：一、等边三角形三大性质1.三边相等，三角相等且均为60°；2.每条边上都满足“三线合一”；3.轴对称图形，共3条对称轴。二、等边三角形三种判定方法1.三边都相等的三角形是等边三角形（定义法）；2.三个角都相等的三角形是等边三角形；3.重点必考：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。三、高频易错点1.必须是等腰三角形+一个60°角才能判定等边三角形，普通三角形一个60°角无法判定；2.等边三角形任意一边都满足三线合一，区别于普通等腰三角形仅底边满足；3.等边三角形属于特殊等腰三角形，具备等腰三角形所有性质。名称 图 形 定 义 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
有两条边相等的三角形叫等腰三角形
新课导入
三条边都相等的三角形是等边三角形．　　
问题：满足什么条件的三角形是等边三角形？　　
A
B
C
推进新课
知识点1 等边三角形的性质
一般三角形
有2条边
相等
底=腰
等边三角形也叫作正三角形，是特殊的等腰三角形
三角形
等腰三角形
等边三角形
等腰三角形
等边三角形
什么是等边三角形？它与一般三角形有什么区别？
想一想
等边三角形具有等腰三角形的全部性质
将等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
等腰三角形 等边三角形
图形
定义 有两条边相等的三角形 三边都相等的三角形
性质 等边对等角
三线合一 判定 两底角相等 （等角对等边）
折一折
使用尺规作图，画出一个三条长都相等的等边三角形。将等边三角形剪下来，折一折，数一数，等边三角形有（ ）条对称轴？
3
对称轴分别是三条角平分线（中线或高）所在的直线并且三条对称轴交于一点
[单击三角形跳转几何画板]
如图，△ABC 是等边三角形，等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？
因为△ABC是等边三角形，
所以AB = BC = AC，
由于AB = AC，则根据等腰三角形的性质定理，得∠B =∠C.
从而∠A =∠B =∠C.
同理，由于AC = BC，因此，∠A =∠B，
因此∠A =∠B =∠C = 60°.
根据三角形内角和定理得，∠A +∠B +∠C = 180°.
等边三角形的性质定理：
等边三角形的各角都等于60°
由此得到等边三角形的如下性质：
等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质.
等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.
图形 等腰三角形
性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
3 条对称轴
等边三角形
1 条对称轴
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是 60°
两条边相等
三条边都相等
三个角都相等，
知识点2 等边三角形的判定
A
C
B
2
3
1
由上可知，等边三角形的三个角相等，其逆命题成立吗？
逆命题：
这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？
有三个角相等的三角形是等边三角形
A
C
B
2
3
1
则 AC = BC .
由于∠A =∠B，
在△ABC 中，
同理可由∠B =∠C 得 AB = AC .
于是 AB = AC = BC .
因此△ABC 是等边三角形.
文字语言：
几何语言：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定定理1：
所以△ABC 是等边三角形.
因为∠1 =∠2 =∠3，
在△ABC 中，
A
C
B
2
3
1
如图，在△ABC中，AB = AC.
由三角形内角和定理得∠A +∠B+∠C = 180°.
情形1 设∠A =60°，
则∠B+∠C = 180°－ 60°= 120°.
又 AB =AC，
∴ ∠B =∠C.
∴ ∠B =∠C =∠A = 60°.
∴ △ABC是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？
情形2 设∠B = 60°，
由于AB = AC，因此∠C =∠B = 60°.
从而∠A = 180°－∠B－∠C = 180° － 60°－ 60°= 60°.
因此△ABC 是等边三角形.
情形3 设∠C = 60°，
由于AB = AC，因此∠C =∠B = 60°.
与情景2类似，同理可证△ABC 是等边三角形.
文字语言：
几何语言：
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形的判定定理2：
所以△ABC 是等边三角形.
因为∠1 （∠2 或∠3）=60°，
在等腰△ABC 中，
A
C
B
2
3
1
例题
4
如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD = AE.求证：△ADE是等边三角形.
证明：因为 △ABC 是等边三角形，
所以∠BAC = 60°（等边三角形的性质定理）.
因为∠EAD =∠BAC = 60°，AD = AE，
所以△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
【从边的角度】三条边都相等的三角形是等边三角形.
【从角的角度】①三个角都相等的三角形是等边三角形．
②有一个角为60°的等腰三角形．
判定等边三角形的方法
知识点1 等边三角形的性质
（第1题）
1.如图，是等边三角形，点在边 上，
，则 的度数为( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2.如图，在等边三角形中，于点 ，
，则 的长为( )
D
A.3 B.4
C.5 D.6
返回
（第3题）
3.［2024泰安中考］如图，直线 ，等边三角形
的两个顶点，分别落在直线， 上，若
，则 的度数是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4.［2024宜宾中考］如图，点， 分别是等边三角形
的边，上的点，且，与 交
于点.求证： .
证明：因为 是等边三角形，
所以， .
又因为，所以 （边角边），
所以 .
返回
知识点2 等边三角形的判定定理1
5.若一个三角形的三个内角的度数之比为 ，则这个三角形的形状
一定是( )
A
A.等边三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
返回
6.将含 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置 ，
已知 ，点，对应的刻度分别为，，则线段
的长为______.
返回
7.［2025长沙期中］如图，四边形中， ，
平分， .求证： 是等边三角形.
证明：因为， ，所以 ，
因为平分 ，
所以 ，所以 ，
所以，所以 是等边三角形.
返回
知识点3 等边三角形的判定定理2
8.［2025株洲期末］在中，, ，则
______.
返回
9. 小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣
服后松开即可.如图①，衣架杆 .衣架收拢时，如图
②， ，则此时， 两点之间的距离是( )
C
A. B.
C. D.
返回
10.如图，已知为上一点，，，垂足分别为点， ，
且，， ，求证： 是等边三角形.
证明：因为， ，
所以 .
在和中，
所以，所以，所以 .
因为 ，所以 ，
所以 是等边三角形.
返回
等边三角形的三个内角都相等，
并且每一个角都等于60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形
A
B
C
课堂小结

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