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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.6.1线段垂直平分线的性质定理及其逆定理第4章三角形湘教版八年级数学4.6.1线段垂直平分线的性质定理及其逆定理同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学4.6.1线段垂直平分线专项编写，承接等腰三角形、全等三角形知识，是几何轴对称模块核心考点。本节核心掌握两大定理：线段垂直平分线的性质定理和线段垂直平分线的逆定理（判定定理），重点区分“由线得边相等”和“由边相等得点在线上”的互逆逻辑，熟练解决线段求值、周长计算、几何证明等题型，规避性质与逆定理因果倒置、条件遗漏等高频易错点，题型由浅入深，适配新课巩固、几何推理规范训练与单元复习。一、选择题（每题4分，共20分）1.线段垂直平分线的性质定理是（）A.到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上B.线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等C.垂直于线段的直线是线段的垂直平分线D.平分线段的直线是线段的垂直平分线2.线段垂直平分线的逆定理（判定定理）的核心作用是（）A.证明线段平行B.证明点在垂直平分线上C.证明角度相等D.证明线段垂直3.已知直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，若PA=7cm，则PB的长度为（）A. 3.5cm B. 7cm C. 14cm D.无法确定4.若平面内一点P满足PA=PB，则直线AB的垂直平分线一定经过点P，依据是（）A.性质定理B.逆定理C.全等性质D.等腰三角形性质5.下列说法正确的是（）A.垂直于线段的直线必是垂直平分线B.平分线段的直线必是垂直平分线C.垂直平分线是线段，不是直线D.线段的垂直平分线有且只有一条二、填空题（每题4分，共20分）6.线段垂直平分线的定义：________且________一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。7.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。8.逆定理（判定定理）：到线段两端点距离相等的点在这条线段的________上。9.线段的垂直平分线可以看作是所有到线段两端点距离相等的点的________。10.若点M在AB的垂直平分线上，则MA________MB（填“＞”“＜”或“=”）。三、解答题（共60分）11.基础计算应用（每题6分，共24分）（1）已知MN垂直平分线段AB，点P在MN上，PA=10，求PB的长；（2）点P在AB垂直平分线上，PA=3x+2，PB=8，求x的值；（3）在△ABC中，DE垂直平分AC，若AD=6，求CD的长度；（4）已知AB=12cm，直线l垂直平分AB，求垂足到A点的距离。12.定理规范证明（每题8分，共16分）（1）证明线段垂直平分线的性质定理；（2）证明线段垂直平分线的逆定理。13.综合拔高证明与计算（每题10分，共20分）（1）已知：在△ABC中，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，求证：AD=BD；（2）已知：△ABC中，AB=AC，点P满足PB=PC，求证：直线AP垂直平分BC。参考答案与解析一、选择题1.B解析：性质定理：线上点→到两端距离相等；A选项为逆定理。2.B解析：逆定理核心：由线段相等，判定点在垂直平分线上。3.B解析：根据性质定理，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，PB=PA=7cm。4.B解析：PA=PB，依据逆定理可判定点P在AB垂直平分线上。5.D解析：垂直平分线需同时满足垂直、平分两个条件，且为直线，一条线段有且只有一条垂直平分线。二、填空题6.垂直；平分7.两端点8.垂直平分线9.集合10. =三、解答题11.解：（1）∵点P在AB的垂直平分线MN上，∴PB=PA=10；（2）∵点P在AB垂直平分线上，∴PA=PB，即3x+2=8，解得x=2；（3）∵DE垂直平分AC，∴CD=AD=6；（4）∵直线l垂直平分AB，∴垂足平分AB，距离为12÷2=6cm。12.（1）性质定理证明：已知：直线l垂直平分AB，垂足为C，点P在直线l上。求证：PA=PB。证明：∵直线l垂直平分AB，∴AC=BC，∠PCA=∠PCB=90°，在△PCA和△PCB中，$$\begin{cases} AC=BC（垂直平分线定义）\\ \angle PCA=\angle PCB（垂直定义）\\ PC=PC（公共边）\end{cases}$$∴△PCA≌△PCB（SAS），∴PA=PB。（2）逆定理证明：已知：点P满足PA=PB，求证：点P在AB的垂直平分线上。证明：过点P作PC⊥AB于点C，∴∠PCA=∠PCB=90°，在Rt△PCA和Rt△PCB中，$$\begin{cases} PA=PB（已知）\\ PC=PC（公共边）\end{cases}$$∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL），∴AC=BC，又∵PC⊥AB，∴直线PC是AB的垂直平分线，即点P在AB的垂直平分线上。13.（1）证明：∵DE垂直平分AB，点D在DE上，根据线段垂直平分线的性质定理，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，∴AD=BD。（2）证明：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上（逆定理），∵PB=PC，∴点P在BC的垂直平分线上（逆定理），∵两点确定一条直线，∴直线AP是BC的垂直平分线，即直线AP垂直平分BC。知识点总结与易错提醒：1.两大核心定理（必考辨析）性质定理（线→边）：点在垂直平分线上 到线段两端距离相等；逆定理（边→线）：点到线段两端距离相等 点在垂直平分线上。2.核心解题模型垂直平分线+三角形=等腰三角形，可直接转化线段相等、角度相等。3.高频易错点①因果倒置：证明时严禁混用性质与逆定理，看清已知条件；②判定垂直平分线必须两点共线，单个点只能证明在直线上，不能证明直线是垂直平分线；③垂直平分线是直线，不是线段、射线。 如图，人字形屋顶的框架中点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称.
线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？
新课导入
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
A
A′
D
l
如图，人字形屋顶的框架中点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称.
如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，
AD=A′D，
1
2
∠1=∠2=90°，
即直线l既平分线段AA′，又垂直AA′.
推进新课
我们把垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）.
A
A′
D
l
1
2
直线l是线段AA′的垂直平分线
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P（点P不在线段AB上），连接PA，PB，则线段PA与 PB的长度相等吗？为什么？
作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折）.
点A与点B重合
线段PA与线段PB重合.
PA=PB
设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB，
于是∠ADP = ∠BDP = 90°
在△PAD 和△PBD 中，
所以△PAD ≌△PBD （边角边），
因此PA = PB.
AD = BD ，
∠ADP = ∠BDP ，
PD = PD ，
当点 P 在线段 AB 上时，结论还成立吗？
由此得出线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
符号语言：
如图，若点P在线段AB的垂直平分线上（AC=BC，PC⊥AB），
则PA=PB.
C
如图， ∠ACB=90°，DE垂直平分AB，∠CAE=∠EAB，求∠B的度数.
DE垂直平分AB
AE=BE
∠EAB=∠B
=∠B
∠CAE=∠EAB
∠CAE +∠EAB+∠B = 90°
∠B的度数
试一试
如图， ∠ACB=90°，DE垂直平分AB，∠CAE=∠EAB，求∠B的度数.
解：∵DE垂直平分AB，
∴ AE=BE，∴∠EAB=∠B.
∵∠CAE=∠EAB，∴∠CAB=2∠B.
∵∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°.
∴∠B=30°.
试一试
线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么？
条件 结论
性质定理
逆命题
一个点在一条线段的垂直平分线上
这个点到这条线段两端的距离相等
一个点到一条线段两端的距离相等
这个点在这条线段的垂直平分线上
逆命题是否是一个真命题？
需要考虑点P是否在线段AB上.
情况一
当点M在不在线段AB上时，
由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形.
取AB的中点D，连接MD，
则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线.
D
因此直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在AB的垂直平分线上.
M
连接MA，MB，
A
情况二
当点M在线段AB上时，
因为MA=MB，
所以点M是线段AB的中点，
B
M
因此点M在线段AB的垂直平分线上.
由此得出线段垂直平分线的性质的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
符号语言：
如图，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.
已知：如图，在△ABC 中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC.
∠1=∠2
EB=EC
点E在BC的垂直平分线上
∠3=∠4
∠1=∠2
∠1+∠3=∠2+∠4
AB=AC
点A在BC的垂直平分线上
试一试
已知：如图，在△ABC 中，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，且∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD垂直平分BC.
证明：∵∠1=∠2，∴ EB= EC.
∴ 点E在线段BC的垂直平分线上.
又∵∠3=∠4，所以∠ABC=∠ACB，
∴ AB=AC.
∴ 点A也在线段BC的垂直平分线上.
∴ AD垂直平分BC.
试一试
如图，在△ABC 中，AB， BC 的垂直平分线相交于点O，连接 OA，OB， OC.
求证：点O 在 AC 的垂直平分线上.
证明：因为点O在线段 AB 的垂直平分线上，
所以OA = OB（线段垂直平分线的性质定理）.
同理可得 OB=OC.
于是 OA = OC.
所以点O在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的性质的逆定理）.
例题
1
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
1.如图，已知是线段的垂直平分线，是 上的一点，若
，则 的长为______.
（第1题）
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（第2题）
2.［2024镇江中考］如图，的边 的垂
直平分线交于点，连接.若 ，
，则 ___.
3
返回
（第3题）
3.如图，垂直平分线段于点， 垂直平分
线段于点，若，则 ___.
8
返回
（第4题）
4.［2025淮北期末］如图，线段与线段 互相
垂直平分，相交于点，若 ，
_____.
返回
5.［2025洛阳期末］如图，在中， 的垂
直平分线交于点，垂足为点，平分 ，
若 ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
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6.如图，在中，边的垂直平分线
交于点，边的垂直平分线交 于点
，已知的周长为，求 的长.
解：因为是的垂直平分线，是 的垂直平分线，所以
， .
因为的周长为 ，
所以 ，
所以，即 .
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知识点2 线段垂直平分线性质定理的逆定理
7.［教材P练习T变式］如图，四边形 中，
， ，我们把这种两组邻边分别相等的
四边形叫作“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的
一项是( )
C
A.与互相垂直平分 B.垂直平分
C.垂直平分 D. 平分一组对角
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8.［教材例1变式］如图，在中， ，
的垂直平分线，相交于点.求证：点在
的垂直平分线上.
证明：连接，， .
因为是的垂直平分线，所以 .
因为是 的垂直平分线，
所以，所以 .
所以点在 的垂直平分线上.
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9. 如图，在足球场内，，， 表示三个足球运动员，
为做折返跑游戏，现准备在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员
的距离相等，则足球应放置在( )
C
A.， 两边高线的交点处
B.， 两边中线的交点处
C.， 两边垂直平分线的交点处
D.， 两内角平分线的交点处
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（第10题）
10.［2025武汉江汉区期末］如图，为
内一点，过点的线段分别交， 于点
，，且，分别在， 的中垂线上.
若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
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11.如图，在中，边，的垂直平分线交于点 ，若
，则 _____.
（第11题）
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12.如图，已知， ，垂足分别为
，，与交于点，， 是
的中点，连接 .求证：
（1） ；
证明：因为，,所以 .
在与中，
所以.所以 .
（2）线段所在的直线是线段 的垂直平分线.
[答案] 在与中，
所以.所以 .
所以点在线段的垂直平分线上，因为是的中点，所以点 在线
段的垂直平分线上.所以线段所在的直线是线段 的垂直平分线.
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13. 如图，已知锐角三角形 中，
边，的垂直平分线和交于点，点 ，
分别在,上， .
（1）求证：点在 的垂直平分线上.
证明：连接，因为是 的垂直平分线，
所以.同理可得 .
所以.所以点在 的垂直平分线上.
（2）求 的度数.
解：由（1）得 ，
所以， .
所以
，所以
.
（3）若 ，求 的度数.
解：由（1）得，所以 .
由（2）知 ,
所以 .
所以 .
（4）试判断 是否为定值？若是，请直接写出该定值；若
不是，请说明理由.
解：是定值，定值为 .
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课堂小结
文字语言 符号语言
性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
性质的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
若点P在线段AB的垂直平分线上（AC=BC，PC⊥AB），则PA=PB.
若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线

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