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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.4.6.2作线段的垂直平分线和角平分线第4章三角形湘教版八年级数学4.6.2作线段的垂直平分线和角平分线同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学4.6.2专项编写，承接上一节线段垂直平分线性质与判定，是初中几何核心尺规作图考点。本节重点掌握两大基础作图：尺规作线段的垂直平分线、尺规作角的平分线，熟练记忆作图步骤、保留作图痕迹、理解作图原理（SSS全等），掌握作图后的几何推论，结合垂直、相等线段、相等角度进行计算与证明，规避作图痕迹遗漏、步骤书写不规范、原理混淆等高频扣分点，适配新课巩固、作图专项训练与单元复习。一、选择题（每题4分，共20分）1.尺规作线段垂直平分线的作图依据是（）A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS2.尺规作角平分线时，第一步操作是（）A.截取等长线段B.过顶点作垂线C.连接两点D.作射线3.关于尺规作图，下列说法正确的是（）A.可以用刻度尺测量长度B.可以用量角器量角度C.必须保留圆弧作图痕迹D.作图完成后擦除多余痕迹4.作线段AB的垂直平分线后，不能得到的结论是（）A.平分线段AB B.垂直于AB C. AB被分成两段等长线段D. AB平分垂直平分线5.角平分线尺规作图的核心原理是构造两个三角形（）A.三边对应相等B.两边对应相等C.三角对应相等D.一角一边相等二、填空题（每题4分，共20分）6.尺规作图的工具只能是________和________。7.作线段垂直平分线：分别以线段两端点为圆心，________（填“大于”“小于”或“等于”）线段一半的长为半径画弧，两弧上下相交，过交点作直线即为垂直平分线。8.尺规作角平分线，最终得到的射线可以将已知角分成________的两个角。9.线段垂直平分线既________线段，又________线段。10.两种作图的共同原理是________定理，保证作图结果准确无误。三、解答题（共60分）11.作图原理简答（每题6分，共24分）简要回答下列问题：（1）作线段垂直平分线为什么半径必须大于线段一半长度？（2）尺规作角平分线的全等依据是什么？（3）作垂直平分线得到的直线有几条？（4）尺规作图考试得分的关键是什么？12.基础规范尺规作图（每题8分，共16分）（1）已知线段AB，尺规作图作出AB的垂直平分线；（保留痕迹，书写完整步骤）（2）已知∠AOB，尺规作图作出∠AOB的角平分线；（保留痕迹，书写完整步骤）13.作图综合应用（每题10分，共20分）（1）已知△ABC，利用尺规作图作出BC边的垂直平分线，标出垂足；并写出一条所得结论。（2）已知△ABC，尺规作出∠BAC的角平分线，交BC于点D，根据作图性质直接写出一组相等角。参考答案与解析一、选择题1.C解析：两种作图均构造三边对应相等的三角形，依据SSS全等定理。2.A解析：作角平分线第一步：以角顶点为圆心，任意长为半径画弧，截取两边等长线段。3.C解析：尺规作图禁止测量，必须保留全部作图圆弧痕迹，不得擦除。4.D解析：垂直平分线是直线，可平分线段，线段不能平分直线。5.A解析：通过作图构造三边对应相等，依据SSS全等，得到角度相等。二、填空题6.无刻度直尺；圆规7.大于8.相等9.垂直；平分10. SSS（边边边全等）三、解答题11.解：（1）若半径小于或等于线段一半，两弧无法相交，不能得到交点，无法作出直线；（2）依据SSS全等定理，构造两个全等三角形，实现角度平分；（3）一条，一条线段有且只有一条垂直平分线；（4）保留全部作图圆弧痕迹、步骤规范、结果准确。12.（1）作线段AB垂直平分线步骤：①分别以点A、B为圆心，大于$$\frac{1}{2}AB$$的长度为半径画弧；②两弧在线段AB上下分别交于两点M、N；③过M、N两点作直线MN；直线MN即为线段AB的垂直平分线。（2）作∠AOB角平分线步骤：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于$$\frac{1}{2}CD$$长为半径画弧，两弧在角内部交于点E；③作射线OE；射线OE即为∠AOB的角平分线。13.（1）作图：按标准步骤作BC垂直平分线，标注垂足。结论：垂直平分线平分BC，垂足为BC中点，垂直平分线上任意一点到B、C距离相等。（2）作图：按标准步骤作∠BAC平分线AD。相等角：∠BAD=∠CAD。知识点总结与满分易错提醒：1.两大作图统一原理所有基础尺规作图（作等线段、等角、角平分线、垂直平分线）全部依据SSS全等。2.必考规范细节①画垂直平分线：半径必须大于线段一半，否则无交点；②角平分线是射线，垂直平分线是直线，端点、线型绝对不能画错；③痕迹不擦、圆弧完整是作图题满分核心。3.考试必考推论角平分线上的点到角两边距离相等；垂直平分线上的点到线段两端距离相等。新课导入
已知一条线段，有什么方法能够得到它的垂直平分线？
折纸法
能否利用尺规画图？
根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.
推进新课
已知线段AB，如果要作线段AB 的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？
作一条线段的垂直平分线.
例题
2
如图，已知线段AB.
作线段AB的垂直平分线.
（1）分别以点A、B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C 和点D；
作法：
C
D
你知道为什么吗？
如果画的弧小于 AB的长，那么两弧没有交点；
如果画的弧等于 AB的长，那么两弧只相交于一点；
（2）过点C、D 作直线 CD，则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
C
D
（1）分别以点A、B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C 和点D；
作法：
因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.
C
D
1. 如图，在△ABC中，作AB的垂直平分线分别交AC，AB； 于点D，E（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.
C
B
A
D
E
试一试
2. 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以 AB 的垂直平分线与公路的交点便是.
公共汽车站
试一试
如何用尺规过一点 P 作已知直线 l 的垂线呢？
P
由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
点P与已知直线 l 的位置关系有两种：
点P在直线 l 上或点P在直线 l 外.
P
l
①以点P 为圆心，以任意长为半径画圆弧，交直线l于点A，B；
作法：
A
B
（1）当点P 在直线 l 上
C
③ 过点C，P 作直线 CP，则直线 CP 为所求作的直线
② 分别以点A，B 为圆心，以相同长度（大于 AB 的长）为半径画圆弧，两弧相交于点C
（2）当点P 在直线 l 外
P
l
①以点 P 为圆心，以大于点 P 到直线 l 的距离的线段长为半径画弧，交直线 l 于点 A，B；
A
B
C
③ 过点C，P 作直线 CP，则直线 CP 为所求作的直线.
② 分别以点A，B 为圆心，以相同长度（大于 AB的长）为半径画弧，两弧交于点C ；
作法：
已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
例题
3
如图，已知线段 a，b.
求作△ABC，使 AB = AC，且BC = a，高 AD = h.
分析 由于等腰△ABC 的底边BC 上的高线AD 也是底边上的中线，从而直线AD 是底边的垂直平分线，因此，首先作出该等腰三角形的底边及底边的垂直平分线，然后在垂直平分线上以底边中点为一端点，截取长为h 的线段就可确定三角形的另一个顶点.
作法 动画
① 作线段BC = a；
② 作线段BC 的垂直平分线MN，交BC 于点D；
③ 在射线DM（或DN）上截取线段DA，使DA = h；
④连接AB，AC，则△ABC 为所求作的等腰三角形.
求作一个角的平分线.
例题
4
如图，已知∠AOB，求作∠AOB 的平分线.
分析 由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB 的顶点O 为顶点，两腰分别在射线OA，OB 上，构造等腰△ODE，然后过点O 作底边DE的垂直平分线OC，则射线OC 就是∠AOB 的平分线.
作法 动画
① 以点O 为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别与OA，OB 交于点D，E，连接DE；
② 分别以点D，E 为圆心，以相同长度（大于 DE的长）为半径画圆弧，在∠AOB 内部两弧交于点C；
③ 作射线OC，则OC 为所求作的∠AOB 的平分线.
说一说：为什么 OC 是∠AOB 的平分线？
知识点1 作一条线段的垂直平分线
1.如图，已知线段.利用直尺和圆规作 的垂直平分线，步骤如
下：①分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧相交于点， ；②
作直线，直线就是线段的垂直平分线.则 的值可能是( )
D
A.1 B.2
C.3 D.4
返回
2.如图，已知，求作 边上的高.（尺规作图，保留作图痕迹）
解：如图，线段 即为所求.
（第2题）
返回
知识点2 已知底边及底边上的高线作等腰三角形
3.已知：线段，，小明用如图所示的方法作，使，
上的高 .
作法：①作射线，以点为圆心、 为半
径画弧，交射线于点；②分别以点 ，
为圆心、 为半径画弧，两弧交于点， ；
③作直线，交于点；④以点 为圆
心、为半径在上方画弧，交直线 于
点，连接， .
对于符号代表的内容，下列说法不正确的是( )
B
A.代表“线段 的长” B. 代表“任意长”
C. 代表“大于的长” D.代表“线段 的长”
返回
知识点3 求作一个角的平分线
4.如图，作已知的平分线 ，合理的顺序是
( )
① 作射线；②在，上分别截取， ，使
；③分别以，为圆心，以大于 的长
为半径画弧，两弧在内交于点 .
C
A.①②③ B.②①③
C.②③① D.③②①
返回
5.如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交 于
点 .（不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，射线 即为所求作.
（第5题）
返回
6.如图， .点在边上.请在的内部作点 ，使
.（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
解：如图，点 即为所求.
（第6题）
返回
7.如图，两条公路，交于点，村庄，的位置如图所示， 在
公路上，现政府要修建一个蔬菜批发市场 ，选址要使市场到两条公
路的距离相等，且到两村庄的距离也相等，请帮忙确定点 .（要求：尺
规作图，不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，点 即为所求.
（第7题）
返回
线段垂直平分线、垂线的作法
作线段AB的垂直平分线.
过一点P作已知直线l的垂线.
课堂小结
课堂小结
已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
作∠AOB的平分线.

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