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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.1.1直角三角形的性质和判定第5章直角三角形湘教版八年级数学5.1.1直角三角形的性质和判定同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学5.1.1直角三角形的性质和判定专项编写，是三角形几何模块的重点内容，承接普通三角形、等腰三角形相关知识，为后续勾股定理学习铺垫基础。本节核心掌握直角三角形的两大性质、两种判定方法，重点攻克“直角三角形两锐角互余”“30°角所对直角边等于斜边的一半”“斜边中线等于斜边的一半”三大必考知识点，熟练进行角度、边长计算与几何规范证明，规避定理混用、特殊条件遗漏等高频易错点，题型由浅入深，适配新课课后巩固、几何推理训练与单元复习。一、选择题（每题4分，共20分）1.直角三角形的两个锐角的关系是（）A.互余B.互补C.相等D.无法确定2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若斜边AB=10，则30°角对的直角边BC长为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 63.直角三角形斜边中线的性质是（）A.中线等于直角边的一半B.中线等于斜边的一半C.中线垂直于斜边D.中线平分直角4.下列条件能判定三角形为直角三角形的是（）A.两个锐角互余B.三个角都相等C.两个角相等D.一个角为60°5.在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的中点为D，若CD=4，则AB的长为（）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10二、填空题（每题4分，共20分）6.直角三角形的两个锐角________。7.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于________。8.直角三角形斜边上的中线等于________。9.有两个锐角________的三角形是直角三角形。10. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，则较短直角边长为________。三、解答题（共60分）11.基础角度与边长计算（每题6分，共24分）（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=28°，求∠B的度数；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=12，求直角边AC的长；（3）已知Rt△ABC斜边AB=16，求斜边上的中线长度；（4）直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，求两个锐角的度数。12.定理规范证明（每题8分，共16分）（1）求证：直角三角形的两个锐角互余；（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。13.综合拔高应用（每题10分，共20分）（1）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，求证：△ACD和△BCD均为等腰三角形；（2）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，求斜边AB的长及斜边上的中线长。参考答案与解析一、选择题1.A解析：直角三角形内角和180°，直角为90°，剩余两锐角和为90°，即互余。2.C解析：直角三角形中30°角对的直角边为斜边一半，BC=$$\frac{1}{2}$$AB=5。3.B解析：斜边中线核心性质：斜边上的中线等于斜边的一半。4.A解析：两锐角互余，即两角和为90°，第三个角为90°，可判定直角三角形。5.C解析：斜边中线CD=$$\frac{1}{2}$$AB，故AB=2CD=8。二、填空题6.互余7.斜边的一半8.斜边的一半9.互余10. 4解析：∠A=60°，则∠B=30°，30°对直角边AC=$$\frac{1}{2}$$AB=4。三、解答题11.解：（1）∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∠B=90°-28°=62°；（2）∵∠C=90°，∠B=30°，∴AC=$$\frac{1}{2}$$AB=$$\frac{1}{2}$$×12=6；（3）斜边中线=$$\frac{1}{2}$$AB=$$\frac{1}{2}$$×16=8；（4）设较小锐角为x，则较大锐角为2x，x+2x=90°，解得x=30°，2x=60°，两角为30°、60°。12.证明：（1）已知：△ABC为直角三角形，∠C=90°，求证：∠A+∠B=90°。证明：∵三角形内角和为180°，∴∠A+∠B+∠C=180°，又∵∠C=90°，∴∠A+∠B=180°-90°=90°，即两锐角互余。（2）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB中点，求证：CD=$$\frac{1}{2}$$AB。证明：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE、BE，∵D为AB中点，∴AD=BD，∴四边形AEBC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），又∵∠C=90°，∴平行四边形AEBC是矩形，∴AB=CE，又∵CE=2CD，∴CD=$$\frac{1}{2}$$AB。13.（1）证明：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，∴CD=AD=BD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∵CD=AD，∴△ACD是等腰三角形，∵CD=BD，∴△BCD是等腰三角形。（2）解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=$$\frac{1}{2}$$AB，∵BC=5，∴AB=10，斜边中线=$$\frac{1}{2}$$AB=5。知识点总结与易错提醒：一、直角三角形两大核心性质1.角的性质：直角三角形两锐角互余；2.边的特殊性质：①30°锐角对的直角边=斜边的一半；②斜边中线=斜边的一半。二、直角三角形两种判定方法1.定义法：有一个角是90°的三角形是直角三角形；2.角度判定：两个锐角互余的三角形是直角三角形。三、高频易错点1. 30°角性质仅限直角三角形，普通三角形不成立；2.斜边中线性质只针对斜边，直角边中线无此性质；3.看清角度对应边，避免混淆30°、60°角对应的直角边。推进新课
1. 一个三角形的三个内角度数之比为1∶1∶2，则三个内角的度数分别为 __________________ .
2. 一个三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3，则三个内角的度数分别为 __________________ .
30°、60°、90°
45°、45°、90°
A
B
C
直角三角形：
有一个角是____________的三角形
直角或90°
直角三角形可以用符号“Rt△”表示
如图所示的三角形可记作“Rt△ABC ”
读作“直角三角形 ABC ”
探究
测量三角板两个锐角的度数，你发现了什么？
在Rt△ABC 中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = ？
在Rt△ABC 中，因为∠C = 90°，
由三角形内角和定理可得：
∠A + ∠B = 90°.
由此得到：
直角三角形的两个锐角互余.
Rt△两锐角关系动态演示
几何画
板.gsp
直角三角形的两个锐角互余.
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠C = 90°，
∴　∠A + ∠B = 90°．　
直角三角形的性质：
随堂跟练
（1）如图（1），在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点D，若∠A = 40°，则∠BCD =______.
（2）如图（2）在△ABC中，∠B = 50°，高AD、CE交于H，则∠AHC =______.
40°
130°
A
C
D
B
（1）
A
C
B
D
H
E
（2）
怎么判断一个三角形是直角三角形？
直角三角形的两个锐角互余.
条件：
结论：
一个三角形是直角三角形
这个三角形的两个锐角互余
逆命题：
如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.
这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？
A
C
B
2
1
有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
C
B
2
1
在△ABC 中，
因为∠A+∠B +∠C = 180°，
∠A + ∠B = 90°.
由此得到：
所以∠C = 90°.
应用格式：
在△ABC 中，
∵∠A + ∠B = 90°，
∴△ABC 是直角三角形．　
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的判定：
（3）如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？
A
B
C
D
H
解：∵AB// CD，
∴∠ CAB+∠ACD=180°.
又∠CAH = ∠CAB，∠ACH = ∠ACD，
∴∠CAH+∠ACH
= (∠CAB+∠ACD)=90°.
∴△AHC是直角三角形.
随堂跟练
如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段AB 的中点D，连接DC. 以点D 为圆心，DB 为半径画圆弧，则所画的弧经过点C 吗？DC 与AB 之间有怎样的数量关系？
AB ＝ ；
DC ＝ .
度量AB、CD的长度：
9 cm
4.5 cm
猜想
该弧经过点 C ，且 DC = DB = AB .
Rt△中线与斜边关系动态演示
几何画
板.gsp
DC 是斜边 AB 上的中线
过点 D 作 DE∥BC，DF∥AC，分别交 AC，BC 于点 E，F，
在 △ADE 与 △DBF 中，
E
F
证明：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线.
于是∠ADE =∠B，∠AED =∠ACB = 90°，
∠FDC =∠ECD，∠DFB =∠ACB = 90°.
从而 DE = BF. ①
∠AED =∠DFB，
∠ADE =∠B，
AD = DB，
所以∠ADE≌△DBF(角角边)，
在 △DFC 与△CED 中，
∠DFC = ∠CED，
∠FDC = ∠ECD，
DC = CD，
所以△DFC≌∠CED(角角边)，
从而 CF＝DE . ②
由 ① 式和 ② 式得，CF = BF.
因此，直线 DF 是线段 BC 的垂直平分线.
根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB.
因此 DC = DB = AB.
E
F
由此可得直角三角形的性质定理：
应用格式：
在 Rt△ABC 中，
因为 D 为斜边 AB 上的中点，
所以有 CD = AD = BD = AB.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 如图，已知CD是△ABC的边AB上的中线，且CD = AB.求证：△ABC是直角三角形.
证明：因为CD = AB = AD = BD，
所以∠1 =∠A，∠2 =∠B.
因为∠A＋∠B＋∠ACB = 180°，
∠ACB ＝∠1＋∠2，
所以∠A＋∠B ＋∠1＋∠2 ＝180°.
从而 2（ ∠A＋∠B ）＝ 180°.
因此∠A ＋∠B ＝ 90°.
所以△ABC 是直角三角形.
（等边对等角）
（三角形内角和定理）
（有两个角互余的三角形是直角三角形）
三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
知识点1 直角三角形的两个锐角互余
1.［2025岳阳月考］在中，若一个锐角等于 ，则另一个锐
角的度数为( )
C
A. B.
C. D.
返回
2.若中， ，且 ，则 的度数为_____.
3.已知，若 ，，则____ .
60
返回
4.如图，已知直线，点在直线 上，
点，在直线上，于点 ，
，则 的度数是_____.
返回
5.如图，已知，，垂足分别为点 ，
.求证： .
证明：因为， ，所以
，所以 ，
，所以 .
返回
知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形
6.在中， ， ，那么这个三角形是( )
B
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
返回
7.如图，在中，是边上的高，是 上一
点，交于点，且 ，求证：
是直角三角形.
证明：因为是边上的高，所以 ，
所以 .
又因为， ，
所以 ，所以 ，
所以 是直角三角形.
返回
知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质
8.如图，小飞用刻度尺测量三角形纸片的尺寸，点， 对应的刻度分别
为2和8，为的中点，若 ，则___ .
3
（第8题）
返回
9.如图，中， ，为 边的中点.
（第9题）
（1）若 ，则 _____；
（2）若 ，，则 ___.
2
返回
10.如图，在中，，平分， 是
的中点，若，求 的长.
解：因为，平分，所以 ，
所以 .因为是 的中点，
所以 .
返回
11.［2025邵阳期中］如图，一架长的梯子 斜靠在一
竖直的墙上，为 中点，当梯子的上端沿墙壁下滑时，
的长度将( )
C
A.变大 B.变小
C.不变 D.无法判断
返回
（第12题）
12.如图，在中， ， 的垂直平分
线交于点，连接， ，则
的度数为( )
C
A. B.
C. D.
返回
13.如图，把沿折叠，点，分别落在点， 处.若
， ，则 的度数为_____.
（第13题）
返回
14.在中，为边上的高， ， ，则
___________.
或
返回
15.如图，已知是线段 的延长线上一点，
，，求证： 是直角三
角形.
证明：因为 ， ，
所以 ，所以 .
因为，所以 ，
所以 ，所以 是直角三角形.
返回
性质
判定
直角三角形两锐角互余.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形
是直角三角形.
直角三角形
课堂小结

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