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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.2.1勾股定理第5章直角三角形湘教版八年级数学5.2.1勾股定理同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学5.2.1勾股定理专项编写，是初中几何核心重难点、中考必考基础考点。本节课承接直角三角形性质，正式学习直角三角形边长核心公式，重点掌握勾股定理内容、公式变形、适用条件，熟练进行已知两边求第三边、分类讨论边长、简单几何求值、实际生活应用，规避“非直角三角形乱用定理、斜边直角边混淆、漏分类讨论”等高频易错点，题型梯度清晰，适配新课课后巩固、专项训练与单元复习。一、选择题（每题4分，共20分）1.勾股定理的适用条件是（）A.任意三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形2.在Rt△ABC中，∠C=90°，三边a、b为直角边，c为斜边，下列勾股定理公式正确的是（）A. $$a^2+b^2=c^2$$ B. $$a^2+c^2=b^2$$ C.$$b^2+c^2=a^2$$ D. $$a+b=c$$3. Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则斜边c的长为（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 84.已知直角三角形两直角边长分别为6、8，则斜边长为（）A. 9 B. 10 C. 12 D. 145.直角三角形斜边长为5，一条直角边长为3，则另一条直角边长为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6二、填空题（每题4分，共20分）6.在直角三角形中，________的平方和等于________的平方，这就是勾股定理。7.若Rt△ABC中，∠C=90°，则三边关系式为________。8.勾股定理常用变形：$$a^2=$$________，$$b^2=$$________。9.直角三角形两直角边为5、12，则斜边长为________。10.等腰直角三角形直角边长为2，则斜边长为________。三、解答题（共60分）11.基础边长计算（每题6分，共24分）在Rt△ABC中，∠C=90°，求未知边长：（1）a=6，b=8，求c；（2）a=5，c=13，求b；（3）b=9，c=15，求a；（4）a=7，b=24，求c。12.分类讨论计算（每题8分，共16分）（1）已知直角三角形两边长为3、4，求第三边长；（2）已知直角三角形两边长为5、12，求第三边长。13.综合几何与实际应用（每题10分，共20分）（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=15，求BC的长与三角形周长；（2）一架梯子长13米，斜靠在墙上，梯子底部离墙5米，求梯子顶端到地面的高度。参考答案与解析一、选择题1.C解析：勾股定理是直角三角形专属性质，仅适用于直角三角形。2.A解析：直角边平方和等于斜边平方，核心公式$$a^2+b^2=c^2$$。3.A解析：$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$。4.B解析：$$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$。5.C解析：$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$$。二、填空题6.两直角边；斜边7. $$a^2+b^2=c^2$$8. $$c^2-b^2$$；$$c^2-a^2$$9. 13解析：$$\sqrt{5^2+12^2}=13$$。10. $$2\sqrt{2}$$解析：$$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$$。三、解答题11.解：（1）$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$；（2）$$b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$$；（3）$$a=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$$；（4）$$c=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25$$。12.解：（直角三角形边长未知斜边，必须分类讨论）（1）①3、4均为直角边：第三边$$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$$；②4为斜边，3为直角边：第三边$$=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$$；综上，第三边长为$$\sqrt{7}$$5或。（2）①5、12均为直角边：第三边$$=\sqrt{5^2+12^2}=13$$；②12为斜边，5为直角边：第三边$$=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{119}$$；综上，第三边长为$$\sqrt{119}$$13或。13.解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{400}=20$$，周长$$=15+20+25=60$$。答：BC长为20，三角形周长为60。（2）由题意得：梯子长为斜边，底部距墙为一条直角边，设高度为h，$$h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$$（米）。答：梯子顶端到地面高度为12米。核心知识点与满分易错总结1.勾股定理核心公式（必背）Rt△中，直角边a、b，斜边c：$$a^2+b^2=c^2$$变形：$$a=\sqrt{c^2-b^2}，b=\sqrt{c^2-a^2}$$2.必考勾股数（直接口算）3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、253.超级易错扣分点①勾股定理只适用于直角三角形，普通三角形绝对不能用；②题目只说“直角三角形两边”，必须分类讨论：两边均为直角边/长边为斜边；③公式切勿写反：只能是直角边平方和=斜边平方。
国际数学家大会
International Congress of Mathematicians
2002年8月 20-28日在北京召开
Beijing August 20-28,2002
会徽
（2）若：直角三角形的斜边为c，求会徽的面积？
（1）若直角三角形的直角边分别为a，b，求会徽的面积？
A
B
C
D
E
F
G
H
S 四边形ABCD＝ 4S△ABE＋ S四边形EFGH
＝ a2＋ b2
S四边形ABCD＝ c2
＝ 4× ab＋（b－a）2
a
b
c
你有什么发现？
a2＋ b2＝ c2
史上证法最多的定理（约400种）
跳转勾股定理证法探究
情境导入
推进新课
探究直角三角形三边的关系 A的面积 （单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积
（单位面积）
4 9 13
9 25 34
A,B,C的面积关系 SA+SB=SC 直角三角形三边关系 a2+b2=c2
猜一猜：直角三角形三边之间应该有什么关系？
如图，在方格纸上（设小方格的边长为1）画一个顶点都在格点上的Rt△ABC，使其两直角边分别为3，4，将斜边AB绕点A旋转，使其处于水平位置，你发现这条斜边的长度是多少？
c = _____
5
《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”.
按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五.
你知道为什么吗？
勾
股
画一个边长为a + b的正方形，将其分割成4个小直角三角形和一个四边形，其中小直角三角形的两直角边都分别为a，b，斜边都为c，如图所示. 由此，你能探索出a2 + b2 = c2 这一结论吗？
如图，将这个边长为a + b的正方形分割，得到4个小直角三角形和一个四边形，小组探究有哪些方法？
c
b
a
a2 +b2=c2
几何
代数
如何探究？
c
b
a
a2 +b2=c2
c
b
a
c
教材“探究”
PPT第2页赵爽
毕达哥拉斯法
①
“重新排列”策略探究:
c
b
a
c2
b
b
a
a
＝
c
c
c
c
c2
b2
a2
②
③
c2＝a2＋b2
(点击按钮③持续出动画)
由此得到直角三角形的性质定理：
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2
A
B
C
D
E
F
G
H
a
b
c
①
②
③
（勾股定理/毕达哥拉斯定理）
文字语言：
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2 + b2 = c2.
直角三角形的性质定理：
（勾股定理/毕达哥拉斯定理）
变式：
a2＝
c2－ b2，
b2＝
c2－ a2
几何
代数
勾股定理
勾股定理反应了直角三角形三边的关系，成为沟通几何和代数的桥梁.
例1 在△ABC 中，已知∠C = 90°，BC = a，AC = b，AB = c.
（1） 若a = 1，b = 2，求c. （2） 若a = 15，c = 17，求b.
解（1） 根据勾股定理得，c2 = a2 + b2 = 12 + 22 = 5.
因为c > 0，所以c = .
（2） 根据勾股定理得，b2 = c2 － a2 = 172 － 152 = 64.
因为b > 0，所以b = 8.
例2 如图，已知在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 13，BC = 10，AD是底边BC上的高线，求 AD的长.
解：根据等腰三角形的性质定理得，AD 也是底边 BC 上的中线.
因为AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，
所以BD＝ BC＝5.
在Rt△ADB中，
由勾股定理得，AD2＋BD2 ＝AB2,
故AD的长为12.
知识点1 勾股定理
1.［2025长沙开学考］在中， ，,, 的对边长
分别为,, ，则下列等式错误的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
2.在中， ，，，则 的长是( )
C
A.3 B.4
C.5 D.7
返回
（第3题）
3.如图是由边长为1的小正方形组成的围棋棋盘的局部，
黑、白两棋子的距离为_____.
返回
（第4题）
4.［2025衡阳月考］如图，数字代表所在正方形面积，则
A代表的正方形面积为_____.
100
返回
5.如图，在中， ，，.点在射线
上运动（不与点重合），当的长为___时， .
8
（第5题）
返回
6.［教材例1变式］中， ，，， 所对的
边分别为，， .
（1）若，，求 ；
解：因为 ，且， ，
所以 .
（2）若，且，求， .
解：设，则.因为 ， ，所以
，即.所以.所以 ，
.
返回
7.如图，在中，于点，，， ，
求 的长.
解：在中， ，所以
.在 中，
.
返回
知识点2 勾股定理的证明
8.取两个同样的直角三角板，按如图所示摆放
（，， 三点在一条直线上）.
（1）连接，则 是__________三角形，
四边形 是________形；
等腰直角
直角梯
（2）设，， ，试用两种不同的
方法表示出四边形 的面积；
解：四边形的面积为或 .
（3）由（2）你能得到什么结论？
解：由，得 .
结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
返回
课堂小结
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2
勾股定理（毕达哥拉斯定理）:
几何
代数
勾股定理
变式：
a2＝
c2－ b2,
b2＝
c2－ a2

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