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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.3直角三角形全等的判定第5章直角三角形湘教版八年级数学5.2.3勾股定理的逆定理同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学5.2.3勾股定理的逆定理专项编写，是勾股定理整套考点的收尾与拔高内容。上一节勾股定理是“已知直角，求边长”，本节勾股定理逆定理是“已知边长，判直角”，二者互为逆定理。本节课重点掌握逆定理内容、直角三角形判定方法、勾股数识别、不规则三角形形状判断，熟练掌握“最大边平方vs两短边平方和”的核心判断法，规避大小边找错、公式用反、非整数勾股数误判等高频易错点，题型梯度清晰，适配新课巩固、几何判定训练与单元考试。一、选择题（每题4分，共20分）1.勾股定理的逆定理的作用是（）A.求直角三角形边长B.判定三角形是否为直角三角形C.证明三角形全等D.求三角形面积2.已知△ABC三边为5、12、13，则该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列各组数中，是勾股数的是（）A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 6、8、10 D. 4、5、64.判断三角形是否为直角三角形，关键看（）A.三边是否相等B.最短边平方是否等于另外两边平方和C.最大边平方是否等于另外两边平方和D.三个角是否相等5.若一个三角形三边长为9、12、15，则该三角形最大内角的度数为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°二、填空题（每题4分，共20分）6.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足________，那么这个三角形是直角三角形。7.在三角形三边中，判定直角三角形必须以________边的平方与另外两边平方和作比较。8.满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数，叫做________。9.三边为7、24、25的三角形________直角三角形（填“是”或“不是”）。10.若三角形三边长为8、15、17，则该三角形的直角在边长为________的边所对的位置。三、解答题（共60分）11.基础判定题型（每题6分，共24分）判断以各组数为三边的三角形是否为直角三角形：（1）6、8、10（2）5、7、9（3）9、12、15（4）8、15、1712.定理规范证明与辨析（每题8分，共16分）（1）证明勾股定理的逆定理；（2）辨析勾股定理与逆定理的因果关系，说明二者区别。13.综合拔高应用（每题10分，共20分）（1）已知△ABC三边$$a=15，b=8，c=17$$，判断△ABC的形状，并求三角形面积；（2）已知三角形三边之比为3:4:5，且周长为36，求证：该三角形为直角三角形。参考答案与解析一、选择题1.B解析：勾股定理：已知直角→得边长关系；逆定理：已知边长关系→判直角三角形。2.B解析：$$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$，满足逆定理，是直角三角形。3.C解析：6、8、10为常见勾股数，其余选项均不满足平方关系。4.C解析：直角三角形中斜边最长，只需验证最大边平方是否等于两短边平方和。5.C解析：$$9^2+12^2=15^2$$，是直角三角形，最大内角为90°。二、填空题6. $$a^2+b^2=c^2$$7.最大8.勾股数9.是解析：$$7^2+24^2=25^2$$，符合逆定理。10. 17解析：最大边17为斜边，斜边所对的角为直角。三、解答题11.解：（1）$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，是直角三角形；（2）$$5^2+7^2=25+49=74\neq81=9^2$$，不是直角三角形；（3）$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，是直角三角形；（4）$$8^2+15^2=64+225=289=17^2$$，是直角三角形。12.（1）证明：勾股定理的逆定理已知：在△ABC中，三边长为a、b、c，满足$$a^2+b^2=c^2$$，求证：△ABC是直角三角形，∠C=90°。证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b，由勾股定理得：$$A'B'^2=a^2+b^2$$，∵$$a^2+b^2=c^2$$，∴$$A'B'^2=c^2$$，即$$A'B'=c$$，在△ABC和△A'B'C'中，三边对应相等，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS），∴∠C=∠C'=90°，∴△ABC为直角三角形。（2）区别辨析：①勾股定理（性质）：已知直角三角形→推出三边平方关系，用于求边长；②勾股定理逆定理（判定）：已知三边平方关系→判定直角三角形，用于判形状；二者条件、结论相反，互为互逆定理，不可混用因果。13.（1）解：最大边c=17，$$15^2+8^2=225+64=289=17^2$$，∴△ABC是直角三角形，且直角边为15和8，面积$$=\frac{1}{2}×15×8=60$$。（2）证明：设三边长分别为3x、4x、5x，周长：$$3x+4x+5x=36$$，解得$$x=3$$，三边长为9、12、15，∵$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，∴该三角形为直角三角形。核心知识点与满分易错总结1.核心判定口诀（必考）短边平方和，对比长边平方；相等即为直角，不等即为斜三角形。2.定理本质区别勾股定理：直角 边关系（性质）逆定理：边关系 直角（判定）3.勾股数必备条件①三个数均为正整数；②满足$$a^2+b^2=c^2$$；常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；9、12、15。4.高频扣分点①找错最大边，用短边平方对比出错；②小数、分数不是勾股数，只能叫符合勾股关系；③证明题因果倒置，判定直角必须用逆定理，不能用勾股定理。
已知有一组对应角相等，是90°
推进新课
问题3 当这两个三角形是直角三角形时，怎么判断这两个直角三角形全等？要证明三角形全等，还需要哪些条件？
SSS
SAS
AAS
ASA
A
B
C
A’
B’
C’
∠C = ∠C’
AC = A’C’
BC = B’C’
BC=B’C’、∠B=∠B’
或AC = A’C’、∠A = ∠A’
∠A=∠A’ 、AB=A’B’
∠A=∠A’ 、BC=B’C’
∠B=∠B’ 、 AB=A’B’
∠B=∠B’ 、 AC = A’C’
A
B
C
A’
B’
C’
问题4 你能用“边边边”的方法来证明这两个三角形全等吗？要证明三角形全等，还需要哪些条件？你是怎样证明的？
推进新课
SSS
直角三角形全等
三边相等
两边相等
边边边(SSS)
勾股定理
已知有一组对应角相等，是90°
∠C = ∠C’
有一条直角边和斜边分别相等
在Rt△ABC 中，由勾股定理得，BC2 = AB2－AC2，
同理，在Rt△A'B′C′中，B'C'2 = A'B'2－A'C'2，
由于AB = A'B'，AC = A'C' ，
因此BC2 = B'C'2，从而 BC= B'C′.
在△ABC与△A'B'C′中，
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C' 中，∠C =∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C′.
因此△ABC≌△A′B′C′（边边边）.
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
AB=A′B′ ，
BC = B′C′，
几何语言：
C
A
B
C'
A'
B'
文字语言：
直角三角形全等的判定定理（“斜边、直角边”定理）：
如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
AB= A′B′ ，
BC = B′C′，
几何语言：
注意
①“H”代表斜边，“L”代表直角边.
顺序不要混淆
②“HL”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要加“Rt”.
C
A
B
C'
A'
B'
例1 如图，BD，CE 是△ABC 的高，且BE = CD.
求证：Rt△BEC ≌ Rt△CDB.
证明 因为BD，CE是△ABC的高，
所以∠BEC =∠CDB = 90°.
在Rt△BEC 和Rt△CDB 中，
BC = CB，
BE = CD，
所以Rt△BEC ≌ Rt△CDB （斜边、直角边）.
归纳：两个直角三角形全等的判定思路
已知 可选方法 寻找对应相等的条件
一锐角（A）
斜边（H/S）
ASA
直角与已知锐角的夹边
AAS
已知锐角(或直角)的对边
HL
一直角边
一锐角
AAS
已知 可选方法 寻找对应相等的条件
一 直角边（L/S）
HL
斜边
ASA
已知直角边相邻的锐角
AAS
已知直角边所对的锐角
SAS
另一直角边
归纳：两个直角三角形全等的判定思路
例2 已知一直角边和斜边求作直角三角形.
如图，已知线段a，c（c＞a）.
求作Rt△ABC，使得斜边AB = c，一条直角边BC = a.
作法 (1) 作∠MCN= 90°.
(2)在CN上截取CB，使CB=a.
(3)以点B为圆心，以c为半径画弧，交CM于点A，连接AB.
则△ABC为所求作的直角三角形，如图所示.
A
M
C
B
N
知识点1 斜边、直角边定理
1.如图， ， ，
，则 的依据是( )
D
A.边角边 B.角边角
C.角角边 D.斜边、直角边
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（第2题）
2.如图，在与 中，
，添加一个条件，不能使
的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3.如图，，，垂足分别为点， ，要根据“斜边、直
角边”证明 ，应添加的条件是__________.
（第3题）
返回
（第4题）
4.如图，在四边形中， ，
， ，则 ______.
返回
（第5题）
5.［2025株洲期中］如图，， ，
点，在直线上，点，在直线上，点
在上，，， ，
则 ___.
7
返回
6.［2025张家界期中］如图，在四边形
中，,, ，垂足分别为
，， .求证：
（1） ；
证明：因为，，所以 .
在和中，
所以（斜边、直角边）.所以 .
（2） .
[答案] 由（1）知 ，
所以，所以 .
返回
7.如图，为了固定电线杆，将两根长均为 的
钢丝的一端同系在电线杆上的点 处，另一端分别固
定在地面上的两个锚上，那么两个锚 离电线杆
底部（ ）的距离相等吗？为什么？
解：相等.理由如下：
因为，所以 .
在和中，
所以 （斜边、直角边）.
所以，所以两个锚离电线杆底部 的距离相等.
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课堂小结
判断两个直角三角形全等的方法有：
直角三角形全等的判定
SAS
ASA
AAS
SSS
HL

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