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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.4.1角平分线的性质与判定第5章直角三角形湘教版八年级数学5.4.1角平分线的性质与判定同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学5.4.1角平分线的性质与判定专项编写，是几何证明、距离计算、尺规作图应用的核心必考内容。本节课重点掌握角平分线的性质定理（由线得距相等）和角平分线的判定定理（由距相等得线平分角），区分两大互逆定理的因果关系，熟练解决距离求值、角度计算、几何证明、实际选址问题，规避定理混用、遗漏垂直距离条件、因果倒置等高频扣分点，题型梯度清晰，适配新课巩固、几何推理训练与单元检测。一、选择题（每题4分，共20分）1.角平分线的性质定理的核心内容是（）A.角平分线平分对边B.角平分线上的点到角两边的距离相等C.到角两边距离相等的点在角平分线上D.角平分线互相垂直2.判定一条射线是角平分线的依据是（）A.射线过角的顶点B.射线将角分成两个角C.射线上的点到角两边距离相等D.射线在角内部3.已知OP平分∠AOB，点P在OP上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=5，则PN的长为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 104.点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，则下列结论正确的是（）A. OP平分∠AOB B. OA=OB C. ∠AOB=90°D. PM∥PN5.下列说法错误的是（）A.角平分线是射线B.性质定理是“知平分线，得距相等”C.判定定理是“知距相等，得平分线” D.点到角两边的线段相等即可用性质定理二、填空题（每题4分，共20分）6.性质定理：角平分线上的点到________的距离相等。7.判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的________上。8.若OC平分∠AOB，点P在OC上，且点P到OA的距离为6，则点P到OB的距离为________。9.点P在∠AOB内部，到OA、OB的距离相等，若∠AOB=80°，则OP平分∠AOB，可得∠AOP=________°。10.三角形三条角平分线的交点到三角形________的距离相等。三、解答题（共60分）11.基础计算应用（每题6分，共24分）（1）已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=9，求PN的长；（2）点P在∠ABC内部，PD⊥AB，PE⊥BC，PD=PE，∠ABC=70°，求∠ABP的度数；（3）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=4，求DF的长；（4）∠AOB=90°，OP平分∠AOB，点P到OA的距离为3，求点P到OB的距离。12.规范定理证明（每题8分，共16分）（1）证明角平分线的性质定理；（2）证明角平分线的判定定理。13.综合几何证明（每题10分，共20分）（1）已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF；（2）已知：点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，求证：OP平分∠AOB。参考答案与解析一、选择题1.B解析：A为性质定理，C为判定定理，区分核心因果关系。2.C解析：利用距离相等的判定条件，可证射线为角平分线。3.C解析：角平分线上的点到角两边距离相等，故PN=PM=5。4.A解析：角内部到两边距离相等的点，在角平分线上。5.D解析：必须是垂线段距离相等，普通线段相等不满足定理条件。二、填空题6.角两边7.平分线8. 6解析：角平分线性质，两边垂线段距离相等。9. 40解析：OP为角平分线，平分80°的角。10.三边三、解答题11.解：（1）∵OC平分∠AOB，P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PN=PM=9；（2）∵PD⊥AB，PE⊥BC，PD=PE，∴BP平分∠ABC，∠ABP=$$\frac{1}{2}$$×70°=35°；（3）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=4；（4）∵OP平分∠AOB，∴点P到OB距离=到OA距离=3。12.证明：（1）性质定理证明：已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N。求证：PM=PN。证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POM=∠PON，∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，在△POM和△PON中，$$\begin{cases} \angle PMO=\angle PNO \\ \angle POM=\angle PON \\ OP=OP \end{cases}$$∴△POM≌△PON（AAS），∴PM=PN。（2）判定定理证明：已知：点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN。求证：OP平分∠AOB。证明：∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，在Rt△POM和Rt△PON中，$$\begin{cases} OP=OP \\ PM=PN \end{cases}$$∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴∠POM=∠PON，∴OP平分∠AOB。13.证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴DE=DF。（2）∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴点P到∠AOB两边的垂线段PM、PN相等，根据角平分线的判定定理，角内部到两边距离相等的点在角平分线上，∴OP平分∠AOB。核心知识点与满分易错总结1.两大互逆必考定理（必背）性质定理（正用）：已知角平分线 两边垂线段距离相等判定定理（逆用）：已知角内两边垂线段距离相等 射线为角平分线2.解题必备前提条件使用两大定理必须有垂直，即点到角两边的垂线段，普通线段相等无效。3.高频扣分点①无垂直条件直接用定理，步骤直接扣分；②性质与判定因果倒置，证明题混用依据；③忽略“角的内部”，外部点距离相等不满足角平分线判定；④混淆“线段相等”和“垂线段距离相等”。我们学过的角的平分线的概念是什么？
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.
几何语言：
所以 OB 平分∠AOC.
如图，因为
回顾导入
O
B
A
尺规作角的平分线
M
N
C
观察领悟作法，探索思考证明方法：
画法：
1.以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
2.分别以M，N为圆心．大于 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．
3.作射线OC．
射线OC即为所求．
动动手:
将手中的三角形纸片按如下顺序操作，并标好对应字母:
①将∠AOB对折，记折痕为OC ；
②以OA(OB)为直角边剪一个直角三角形；
③展开，观察分析.
推进新课
A
O
B
A
O
C
（B）
A
D
O
P
C
E
B
A
O
C
（B）
P
交流探究
问题一：折痕分得的两个角的大小有什么关系？
问题二：PD和PE与OA和OB有什么位置关系？它们的长度有什么关系？
问题三：你能用自己的语言总结角平分线上点的特点吗？
问题四：你能证明你的结论吗？
A
O
B
A
O
C
（B）
A
D
O
P
C
E
B
A
O
C
（B）
P
如图，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P，作PD ⊥ OA， PE ⊥ OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
若将∠AOB 沿角平分线OC 折叠，则可以发现点D 与点E 重合，因而PD与PE 重合，即PD = PE.
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：
一个点在一个角的平分线上.
求证：
验证
这个点到这个角两边的距离相等.
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
A
D
O
P
C
E
B
证明：因为PD⊥OA 于点D，PE⊥OB 于点E，
所以∠PDO =∠PEO = 90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO =∠PEO，
∠DOP =∠EOP，
OP = OP，
所以△PDO ≌ △PEO（角角边）.
因此 PD = PE.
已知：
一个点在一个角的平分线上.
求证：
这个点到这个角两边的距离相等.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线上的点到角两边的距离相等
几何语言：
文字语言：
角平分线性质定理：
如图，∵OC 是∠AOB 的平分线，
P 是 OC 上一点，
PD⊥OA 于点 D，
PE⊥OB 于点 E，
∴PD = PE.
C
A
B
O
D
E
P
应用定理需具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等
角平分线上的点到角两边的距离相等
C
A
B
O
D
E
P
角平分线上的点到角两边的距离相等
条件：
结论：
点在这个角的角平分线上
这个点到角的两边的距离相等
逆命题：
如果一个点到角的两边的距离相等，那么该点位于角的平分线上。
这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？
C
A
B
O
D
E
P
如图，点P 在∠AOB 的内部，作PD⊥OA ，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.
A
B
O
D
E
P
C
证明：如图，过点O，P 作射线 OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP，
PD = PE，
∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL）
∴∠AOC =∠BOC
因此OC是∠AOB 的平分线，即点 P 在∠AOB 的平分线OC上.
A
B
O
D
E
P
C
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
几何语言：
文字语言：
角的平分线的判定定理：
C
A
B
O
D
E
P
位置关系
数量关系
如图，∵P 为∠AOB 内部一点，
PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，
∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB.
归纳总结
所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线
1
角的平分线的性质及判定的关系
点在角的平分线上
角的内部，点到角两边距离相等
性质
判定
2
角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
例1 如图， ∠BAD =∠BCD = 90°，∠1 =∠2.求证：
（1）点B在∠ADC 的平分线上；
（2）BD 平分∠ABC.
证明：（1）在△ABC中，
因为∠1 =∠2，所以BA = BC.
又BA⊥AD， BC⊥CD，
所以点B 在∠ADC 的平分线上.
例1 如图， ∠BAD =∠BCD = 90°，∠1 =∠2.求证：
（1）点B在∠ADC 的平分线上；
（2）BD 平分∠ABC.
（2）在Rt△BAD 和Rt△BCD 中，
BA = BC，
BD = BD，
所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL）.
因此∠ABD =∠CBD，
从而 BD 平分∠ABC.
知识点1 角平分线的性质定理
1.如图，平分，于点，于点，若 ，
则 的长为( )
B
（第1题）
A.1 B.2
C.3 D.4
返回
（第2题）
2.［2025郴州月考］如图，平分，点是 上
一点，于点，点是射线 上的一个动点，
若,则 的最小值为( )
C
A.1 B.2
C.3 D.4
返回
（第3题）
3.如图，，点在上， 于
点，于点.若，，则
的长为___.
6
返回
（第4题）
4.如图，在中， ， 平分
，，，那么点 到
直线的距离是___ .
3
返回
5.［2025常德期中］如图，在中，平分，于点 .
若，，则 ___.
1
返回
6.如图，在四边形中，， ， ，
于点.求证： .
证明：因为，所以.因为 ，所以
，即是的平分线.又因为 ， ，
所以 .
返回
知识点2 角平分线的性质定理的逆定理
（第7题）
7.在由小正方形组成的网格中， 的位置如图
所示，，，均在格点上，到 两边距离相
等的点应是( )
A
A.点 B.点
C.点 D.点
返回
8.如图，两把相同的直尺的一边分别与射线， 重合，另一边相交
于点，若 ，则 _____.
（第8题）
返回
9.［2025益阳开学考］如图，已知 ，
，，相交于点，连接 .若
.求证：平分 .
证明：因为， ，所以
.在和 中，
所以 ，所以
.所以点在的平分线上.所以平分 .
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课堂小结
图形 名称 图形语言 文字语言 符号语言 关键词
角平分线 性质定理
判定定理
P
C
∵OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
∴PD = PE
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
一平分，
两个垂直，
得一个相等
P
C
∴OP平分∠AOB
∵PD = PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
一相等，
两个垂直，
得一个平分

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