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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.4.2角平分线的性质与判定的应用第5章直角三角形湘教版八年级数学5.4.2角平分线的性质与判定的应用同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学5.4.2角平分线的性质与判定的应用专项编写，是上一节基础定理的拔高实操内容。本节课不再单纯考查定理背诵，重点训练定理综合应用、三角形内心性质、几何等量代换、实际选址问题、多步推理证明，核心解题思维：遇角平分线、作垂直得等距；遇等距垂直、证角平分线，规避不会作辅助线、内心性质混淆、证明步骤断层、实际模型不会转化等高频扣分点，题型梯度清晰，适配新课巩固、几何拔高与单元压轴训练。一、选择题（每题4分，共20分）1.三角形三条角平分线的交点叫做三角形的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心2.三角形内心的性质是（）A.到三角形三个顶点距离相等B.到三角形三边距离相等C.在三角形外部D.平分三角形边长3.在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，若S△ABC=30，DE=DF=3，则AB+AC的长为（）A. 10 B. 20 C. 30 D. 404.到三角形三边距离相等的点的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，下列结论不一定成立的是（）A. PA=PB B. OA=OB C. OP平分∠APB D. AB垂直平分OP二、填空题（每题4分，共20分）6.三角形的内心在三角形________（填“内部”或“外部”）。7.实际选址问题中，到两条相交道路距离相等的点，在两条道路夹角的________上。8.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8，BD=5，则点D到AB的距离为________。9.若三角形内心到一边的距离为4，则该内心到另外两边的距离均为________。10.角平分线应用的核心辅助线做法：过角平分线上一点，向角两边作________。三、解答题（共60分）11.基础应用计算（每题6分，共24分）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，S△ABD=12，AB=6，求DF的长；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，CD=4，求点D到AB的距离；（3）已知点P是△ABC内部一点，且到三边距离相等，若∠A=70°，求∠BPC的度数；（4）两条公路相交成70°角，现要在夹角内部建一个加油站，使加油站到两条公路距离相等，求加油站与顶点连线平分的角度。12.几何综合证明（每题8分，共16分）（1）已知：△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点P，求证：点P在∠BAC的平分线上；（2）已知：AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF。13.压轴综合应用（每题10分，共20分）（1）面积综合题：在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=10，AC=8，DE=4，求△ABC的面积；（2）实际应用题：某地有三条两两相交的公路，现要建一个物资中转站，使中转站到三条公路的距离相等，请说明中转站的位置并阐述依据。参考答案与解析一、选择题1.B解析：三角形三条角平分线交点为内心。2.B解析：内心核心性质：到三角形三边距离相等。3.B解析：S△ABC=S△ABD+S△ACD=$$\frac{1}{2}AB·3+\frac{1}{2}AC·3=30$$，解得AB+AC=20。4.D解析：三角形内部1个内心，外部3个旁心，共4个点到三边所在直线距离相等。5.D解析：可证△OPA≌△OPB，得PA=PB、OA=OB、OP平分∠APB，但AB不一定垂直平分OP。二、填空题6.内部7.角平分线8. 3解析：CD=BC-BD=3，角平分线性质得点D到AB距离=CD=3。9. 4解析：内心到三边距离相等。10.垂线段三、解答题11.解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，由S△ABD=$$\frac{1}{2}AB·DE=12$$，代入AB=6，得DE=4，∴DF=4；（2）∵BD平分∠ABC，∠C=90°（DC⊥BC），∴点D到AB距离=CD=4；（3）∵P为△ABC内心，∴PB、PC平分∠B、∠C，∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∠PBC+∠PCB=55°，∠BPC=180°-55°=125°；（4）到两条公路距离相等的点在夹角平分线上，可将70°角分为两个35°角。12.证明：（1）过点P作PD⊥AB、PE⊥BC、PF⊥AC，垂足分别为D、E、F，∵PB平分∠ABC，∴PD=PE，∵PC平分∠ACB，∴PE=PF，∴PD=PF，又PD⊥AB、PF⊥AC，根据角平分线判定定理，点P在∠BAC的平分线上。（2）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，$$\begin{cases}AD=AD\\DE=DF\end{cases}$$，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF，又DE=DF，∴AD垂直平分EF。13.解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE=4，S△ABD=$$\frac{1}{2}×10×4=20$$，S△ACD=$$\frac{1}{2}×8×4=16$$，S△ABC=20+16=36。（2）位置：三条公路围成三角形的内心和三个旁心，共4个位置。依据：①三角形内角平分线交点（内心）到三边距离相等；②三角形任意两个外角平分线与一个内角平分线交点（旁心）到三边所在直线距离相等，共4个点满足条件。核心知识点与满分易错总结1.本节三大必考应用模型①面积模型：角平分线分三角形为两个小三角形，高相等（垂线段相等），面积比等于底边长之比；②内心模型：三角形内心是三角平分线交点，唯一在内部，到三边距离相等；③选址模型：两线夹角等距点在角平分线上，三线等距点为内心、旁心。2.万能辅助线口诀遇角平分线，两端作垂线；等距证平分，垂直得等边。3.高频扣分点①忘记作垂直辅助线，无法使用角平分线定理；②混淆内心（到三边等距）和外心（到三顶点等距）；③三线选址问题只答内心，遗漏3个旁心，答案不完整；④面积计算忽略两个小三角形面积求和，单独计算出错。回顾导入
角平分线的性质 角平分线的判定
图示
已知条件
结论
OP 平分∠AOB
PD⊥OA于点 D
PE⊥OB于点 E
PD = PE
PD⊥OA 于点D
PE⊥OB 于点E
PD = PE
OP 平分∠AOB
思考：在三角形内，角的平分线有哪些性质？
推进新课
如图，在△ABC中，D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边上的点，若 BE = CF，S△BDE = S△CDF，则点 D 在∠BAC的平分线上吗？
由于S△BDE = S△CDF，BE = CF，所以点 D 到 BE，CF 的距离相等，因而点 D 在 ∠BAC 的平分线上.
如图，已知EF⊥CD 于点E ，EF⊥AB 于点F ，MN⊥AC 于点N ，M 是 EF 的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM 分别为∠ACD 和∠CAB 的平分线呢？
解：可以添加条件___________.
MN = MF ？
MN = ME
因为ME⊥CD，MN⊥CA， MN = ME .
所以点M 在∠ACD 的平分线上，即 CM 是∠ACD 的平分线.
又M 是 EF 的中点，则MF = ME = MN.
同理可证 AM 是∠CAB 的平分线.
例2 如图， 在△ABC的外角∠CAD 的平分线上任取一点P，作 PE⊥DB， PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE + PF 与 PB 的大小关系.
解：因为AP 是∠CAD 的平分线，
又PE⊥DB，PF⊥AC，
所以 PE = PF.
在△EBP 中，BE + PE > PB，
因此 BE+ PF > PB.
任意作一个△ABC，在△ABC 内部找一点 P ，使其到三边的距离相等.
A
B
C
思考 如何才能在三角形内部作出到三角形三边的距离都相等的点呢？
可以先作出到两条边距离相等的点，再证明这个点到第三条边的距离相等.
所求作的点应在△ABC 中任意两个内角的角平分线上.
A
B
C
P
因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A 与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点.
求证：点P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等.
任意作一个△ABC，在△ABC 内部找一点 P ，使其到三边的距离相等.
在△ABC 中分别作∠BAC 与∠ABC 的平分线，它们交于点P，如图. 过点P 作PD ⊥ AB，PE ⊥ AC，PF ⊥ BC，垂足分别为点D，E，F.
因为AP 是∠BAC 的平分线，PD ⊥ AB，PE ⊥AC，所以PD = PE.
因为BP 是∠ABC 的平分线，PD ⊥ AB，PF ⊥ BC，所以PD = PF.
故PD = PE = PF，因此P 为所求作的点.
在△ABC 中分别作∠BAC 与∠ABC 的平分线，它们交于点P，如图. 过点P 作PD ⊥ AB，PE ⊥ AC，PF ⊥ BC，垂足分别为点D，E，F.
思考：点 P 在∠ACB 的角平分线上吗？
因为PD = PE = PF ，PE⊥AC，PF⊥BC，
所以CP 是∠ACB 的平分线，
故三角形三个角的角平分线经过一点，点P .
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等.
三角形内部到三边距离相等的点是
三条角平分线的交点.
知识点 角平分线的性质与判定的应用
（第1题）
1.学校一角围墙的形状如图所示，其中，， 表
示围墙，若在线段右侧的区域中找到一点 修建一座
朗读亭，使点到三面墙的距离都相等，则点 在( )
D
A.（连接，）线段， 的交点处
B.线段， 垂直平分线的交点处
C.线段， 垂直平分线的交点处
D.， 的平分线的交点处
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2.如图，点到三边的距离相等，则 _____；若
，则 ______.
（第2题）
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3.［2025长沙月考］如图， ，是的中点， 平分
，且 ，则 _____.
（第3题）
返回
4.如图，是的三条角平分线的交点，连接，， ，若
，，的面积分别为，，，则___ .
（填“ ”“”或“ ”）
（第4题）
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5.［2025怀化期中］如图，已知为 的平分
线，点在上，于，于 ，
且.求证： .
证明：因为，，且 ，
所以.因为平分，所以 ，在
和 中，
所以 ，所以
.
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6.如图，要在三条交错的公路区域附近修建一个物
流公司仓库，使仓库到三条公路的距离相等，则可
以选择的地址有( )
D
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
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（第7题）
7.如图，在中，，分别平分 和
，于点，.若 的面积
为94，则 的周长为____.
47
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8.如图，在中，，的平分线相交于点，连接 并延
长，交于点，于点，若 ， ，则
___ .
6
（第8题）
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课堂小结
角平分线的性质与判定
判定
作用
结论
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等
判断一个点是否在角的平分线上

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