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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.2.3勾股定理的逆定理第5章直角三角形湘教版八年级数学5.2.3勾股定理的逆定理同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学5.2.3勾股定理的逆定理专项编写，是勾股定理整套考点的收尾与拔高内容。上一节勾股定理是“已知直角，求边长”，本节勾股定理逆定理是“已知边长，判直角”，二者互为逆定理。本节课重点掌握逆定理内容、直角三角形判定方法、勾股数识别、不规则三角形形状判断，熟练掌握“最大边平方vs两短边平方和”的核心判断法，规避大小边找错、公式用反、非整数勾股数误判等高频易错点，题型梯度清晰，适配新课巩固、几何判定训练与单元考试。一、选择题（每题4分，共20分）1.勾股定理的逆定理的作用是（）A.求直角三角形边长B.判定三角形是否为直角三角形C.证明三角形全等D.求三角形面积2.已知△ABC三边为5、12、13，则该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.下列各组数中，是勾股数的是（）A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 6、8、10 D. 4、5、64.判断三角形是否为直角三角形，关键看（）A.三边是否相等B.最短边平方是否等于另外两边平方和C.最大边平方是否等于另外两边平方和D.三个角是否相等5.若一个三角形三边长为9、12、15，则该三角形最大内角的度数为（）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°二、填空题（每题4分，共20分）6.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足________，那么这个三角形是直角三角形。7.在三角形三边中，判定直角三角形必须以________边的平方与另外两边平方和作比较。8.满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数，叫做________。9.三边为7、24、25的三角形________直角三角形（填“是”或“不是”）。10.若三角形三边长为8、15、17，则该三角形的直角在边长为________的边所对的位置。三、解答题（共60分）11.基础判定题型（每题6分，共24分）判断以各组数为三边的三角形是否为直角三角形：（1）6、8、10（2）5、7、9（3）9、12、15（4）8、15、1712.定理规范证明与辨析（每题8分，共16分）（1）证明勾股定理的逆定理；（2）辨析勾股定理与逆定理的因果关系，说明二者区别。13.综合拔高应用（每题10分，共20分）（1）已知△ABC三边$$a=15，b=8，c=17$$，判断△ABC的形状，并求三角形面积；（2）已知三角形三边之比为3:4:5，且周长为36，求证：该三角形为直角三角形。参考答案与解析一、选择题1.B解析：勾股定理：已知直角→得边长关系；逆定理：已知边长关系→判直角三角形。2.B解析：$$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$，满足逆定理，是直角三角形。3.C解析：6、8、10为常见勾股数，其余选项均不满足平方关系。4.C解析：直角三角形中斜边最长，只需验证最大边平方是否等于两短边平方和。5.C解析：$$9^2+12^2=15^2$$，是直角三角形，最大内角为90°。二、填空题6. $$a^2+b^2=c^2$$7.最大8.勾股数9.是解析：$$7^2+24^2=25^2$$，符合逆定理。10. 17解析：最大边17为斜边，斜边所对的角为直角。三、解答题11.解：（1）$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，是直角三角形；（2）$$5^2+7^2=25+49=74\neq81=9^2$$，不是直角三角形；（3）$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，是直角三角形；（4）$$8^2+15^2=64+225=289=17^2$$，是直角三角形。12.（1）证明：勾股定理的逆定理已知：在△ABC中，三边长为a、b、c，满足$$a^2+b^2=c^2$$，求证：△ABC是直角三角形，∠C=90°。证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b，由勾股定理得：$$A'B'^2=a^2+b^2$$，∵$$a^2+b^2=c^2$$，∴$$A'B'^2=c^2$$，即$$A'B'=c$$，在△ABC和△A'B'C'中，三边对应相等，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS），∴∠C=∠C'=90°，∴△ABC为直角三角形。（2）区别辨析：①勾股定理（性质）：已知直角三角形→推出三边平方关系，用于求边长；②勾股定理逆定理（判定）：已知三边平方关系→判定直角三角形，用于判形状；二者条件、结论相反，互为互逆定理，不可混用因果。13.（1）解：最大边c=17，$$15^2+8^2=225+64=289=17^2$$，∴△ABC是直角三角形，且直角边为15和8，面积$$=\frac{1}{2}×15×8=60$$。（2）证明：设三边长分别为3x、4x、5x，周长：$$3x+4x+5x=36$$，解得$$x=3$$，三边长为9、12、15，∵$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，∴该三角形为直角三角形。核心知识点与满分易错总结1.核心判定口诀（必考）短边平方和，对比长边平方；相等即为直角，不等即为斜三角形。2.定理本质区别勾股定理：直角 边关系（性质）逆定理：边关系 直角（判定）3.勾股数必备条件①三个数均为正整数；②满足$$a^2+b^2=c^2$$；常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；9、12、15。4.高频扣分点①找错最大边，用短边平方对比出错；②小数、分数不是勾股数，只能叫符合勾股关系；③证明题因果倒置，判定直角必须用逆定理，不能用勾股定理。
我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2. ”它的逆命题是怎样的？
条件：
结论：
一个三角形是直角三角形
两直角边的平方和，等于斜边的平方
逆命题：
如果三角形的三条边a，b，c满足a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
思考：这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？
如图，在△ABC中，AB = c，BC = a，AC = b，且 a2 + b2 = c2，那么△ABC 是直角三角形吗？
A
C
B
a
b
c
△ABC≌△A′B′C′
？
∠C 是直角
△ABC 是直角三角形
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
分析：
如图，作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b.
A
B
C
c
b
a
A
B
C
b
a
在Rt△A B C 中，根据勾股定理得，
A B 2 = a2 + b2，
因为 a2 + b2 = c2,
所以 A B 2 = c2，即 A B = c.
在△ABC 和△A B C 中,
BC = B C = a，
AC = A C = b，
AB = A B = c，
所以△ABC ≌△A B C （边边边）
因此∠C =∠C = 90°. 所以△ABC 是直角三角形.
先构造满足某些条件的图形，然后根据需求证的图形与所构造的图形之间的关系完成证明，这也是解决问题的常用策略之一.
文字语言：
几何语言：
如果三角形的三条边a，b，c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
所以 △ABC 是直角三角形.
因为 a2 + b2 = c2 ，
在△ABC 中，
直角三角形的判定定理（勾股定理的逆定理）：
A
C
B
a
b
c
a、b 是直角边，c 是斜边，∠C = 90°.
例4 判断由线段a， b， c组成的三角形是不是直角三角形.
（1）a = 6，b = 8，c = 10；
（2）a = 12，b = 15，c = 20.
A
C
B
a
b
c
△ABC 是直角三角形
a2 + b2 = c2
分析 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
例4 判断由线段a， b， c组成的三角形是不是直角三角形.
（1）a = 6，b = 8，c = 10；
（2）a = 12，b = 15，c = 20.
解：（1）∵62 + 82 = 100，102 = 100，
∴62 + 82 = 102.
∴这个三角形是直角三角形.
（2）∵122 + 152 = 369，202 = 400，
∴122 + 152 ≠ 202.
∴这个三角形不是直角三角形.
我们知道 3，4，5 是一组勾股数，那么 3k，4k，5k（k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果 a，b，c 是一组勾股数，那么 ak，bk，ck（k 是正整数）也是一组勾股数吗？
随堂跟练
解：3k，4k，5k 也是一组勾股数.
∵ (3k)2 + (4k)2 = 9k2 + 16k2 = 25k2，(5k)2 = 25k2，
∴(3k)2 + (4k)2 = (5k)2.
如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck也是一组勾股数.
∵a，b，c 是勾股数，则 a2 + b2 = c2，
(ak)2 + (bk)2 = a2k2 + b2k2 = (a2 + b2)k2 = c2k2，
(ck)2 = c2k2，故(ak)2 + (bk)2 = (ck)2，
∴ak，bk，ck 也是一组勾股数.
例5 如图，在△ABC中，已知 AB = 10，BD = 6，AD = 8，AC = 17，求 DC 的长.
解：在△ABD 中，AB = 10，BD = 6， AD = 8，
∵62 + 82 = 102，
即 AD2+ BD2 = AB2，
∴△ADB为直角三角形，且∠ADB = 90°.
∴∠ADC = 180°－∠ADB= 90°.
在Rt△ADC中，DC2 = AC2－AD2，
知识点1 勾股定理的逆定理
1.下列各组数分别为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的一
组是( )
B
A.2，3，4 B.6，8，10
C.5，12，14 D.1，1，1
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2.若的三边长为，，，且 ，则该三角形
是( )
A
A.以为斜边的直角三角形 B.以 为斜边的直角三角形
C.以 为斜边的直角三角形 D.以上均错
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3.已知三角形的三边长分别为4，8， ，则该三角形最小边所对的角
与最大边所对的角依次是( )
B
A. ， B. ，
C. ， D. ，
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4.［2025株洲月考］已知，， 三地的位置及两两之间的距离如图所
示.若地位于，两地的中点处，则，两地之间的距离是___ .
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5.［2025岳阳期中］如图，四边形 中，
，，， ，
.
（1）求证： 是直角三角形；
证明：因为 ，， ，
所以 .
因为， ，
所以 ，
所以是直角三角形，且 .
（2）求四边形 的面积.
解：由（1）知， ，
所以 .
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6.在解答问题“判断由长为，2， 的线段组成的三角形是不是直角三角
形”时，小明是这样做的：
解：设,, .
因为 ，
所以由长为，2， 的线段组成的三角形不是直角三角形.
你认为小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程.
解：小明的解答不正确.
正确的解答过程：因为 ,
所以由长为，2， 的线段组成的三角形是直角三角形.
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知识点2 勾股数
7.在下列四组数中，属于勾股数的是( )
B
A.，， B.9，40，41
C.2，3，4 D.1，，
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8. 若12，，16是一组勾股数，则 的值为____.
20
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9.，，是正整数 是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果
不是，请说明理由.
解：，，是正整数 是一组勾股数.证明如下：
因为是正整数，所以，， 都是正整数.
又因为 ，
所以，，是正整数 是一组勾股数.
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课堂小结
如果三角形的三条边a，b，c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形的判定定理（勾股定理的逆定理）：
A
C
B
a
b
c
注意
最长边不一定是 c， ∠C 也不一定是直角.

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