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湘教版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.5.2.2勾股定理的应用第5章直角三角形湘教版八年级数学5.2.2勾股定理的应用同步练习题本次练习题针对湘教版八年级数学5.2.2勾股定理的应用专项编写，是勾股定理核心考点的实操拔高内容。在上一节掌握勾股定理公式计算的基础上，本节重点学习构造直角三角形解题，覆盖梯子滑动、航海测距、折叠问题、最短路径、高度测量、图形面积计算等中考高频模型，核心解题思路为“无直角、造直角”，熟练将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，规避模型不会转化、漏画辅助线、边长对应错误等高频易错点，题型梯度清晰，适配新课巩固、专项拔高与单元考试。一、选择题（每题4分，共20分）1.勾股定理解决实际问题的核心思路是（）A.直接测量边长B.构造直角三角形C.利用等边三角形性质D.利用等腰三角形性质2.一架梯子斜靠在竖直墙上，梯子、墙面、地面构成的图形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.一棵大树在离地面6米处折断，树顶落在地面8米处，大树折断前高度为（）A. 10米B. 14米C. 16米D. 20米4.长方形门框长12dm、宽5dm，能通过的最长直木条长度为（）A. 13dm B. 14dm C. 15dm D. 16dm5.下列实际问题不能用勾股定理求解的是（）A.求楼梯斜坡长度B.求两点斜线距离C.求任意三角形周长D.求梯子滑动距离二、填空题（每题4分，共20分）6.运用勾股定理解决实际问题的关键：把实际问题转化为________问题。7.长方形的长、宽、对角线满足________定理，对角线为直角三角形的斜边。8.台风折断树木问题中，折断部分为直角三角形的________边。9.已知长方形长8cm，宽6cm，则对角线长________cm。10.楼梯水平长3m，竖直高4m，则楼梯斜坡总长________m。三、解答题（共60分）11.基础实际应用（每题6分，共24分）（1）一架梯子长15m，底部离墙9m，求梯子顶端到地面的高度；（2）长方形黑板长16cm，宽12cm，求黑板对角线的长度；（3）一棵树高12m，折断后树顶落地距离树根5m，求折断部分的长度；（4）河面宽度未知，岸边竖直木桩高8m，从桩顶拉绳到对岸地面，绳长10m，求河宽。12.经典模型计算（每题8分，共16分）（1）梯子滑动问题：梯子长25m，靠墙底端距墙7m，若梯子顶端下滑4m，求梯子底部向外滑动的距离；（2）航海测距问题：一艘船从港口出发，向正东航行12km，再向正北航行5km，求此时船距离港口的直线距离。13.综合拔高应用（每题10分，共20分）（1）折叠模型：长方形ABCD中，AB=8，BC=6，将长方形沿对角线BD折叠，求折叠后重合部分相关边长（构造直角三角形求解）；（2）最短路径问题：一长方体木箱长12cm、宽5cm、高9cm，求底面一角到对角顶面的最短爬行路径长。参考答案与解析一、选择题1.B解析：勾股定理仅适用于直角三角形，实际问题需先构造直角三角形再计算。2.B解析：墙面与地面垂直，构成直角三角形。3.B解析：折断部分长$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$米，原高=6+10=14米。4.A解析：最长木条为对角线，$$\sqrt{12^2+5^2}=13$$dm。5.C解析：任意三角形无直角，无法直接用勾股定理。二、填空题6.直角三角形边长计算7.勾股8.斜9. 10解析：$$\sqrt{8^2+6^2}=10$$。10. 5解析：$$\sqrt{3^2+4^2}=5$$。三、解答题11.解：（1）由勾股定理得：高度$$=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$$（m）；（2）对角线长$$=\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{400}=20$$（cm）；（3）折断部分为斜边，长度$$=\sqrt{12^2+5^2}=13$$（m）；（4）河宽$$=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$$（m）。12.解：（1）初始高度：$$\sqrt{25^2-7^2}=24$$（m），下滑4m后高度：24-4=20（m），新底部距离：$$\sqrt{25^2-20^2}=15$$（m），滑动距离：15-7=8（m）；答：梯子底部向外滑动8米。（2）正东、正北方向互相垂直，构成直角三角形，直线距离$$=\sqrt{12^2+5^2}=13$$（km），答：船距离港口直线距离13km。13.解：（1）∵长方形ABCD，AB=8，BC=6，∴AD=BC=6，∠A=90°，沿BD折叠，△ABD与△A'BD重合，设重合部分边长A'D=x，构造Rt△，利用勾股定理可求得对应边长，核心思路：折叠前后边长相等、角度不变，依托直角三角形列公式求解。（2）长方体最短路径需展开平面，分情况计算：①展开长和宽面：路径$$\sqrt{(12+5)^2+9^2}=\sqrt{370}$$，②展开长和高面：路径$$\sqrt{(12+9)^2+5^2}=\sqrt{466}$$，③展开宽和高面：路径$$\sqrt{(5+9)^2+12^2}=\sqrt{340}=2\sqrt{85}$$，对比得最短路径为$$2\sqrt{85}$$cm。核心知识点与满分易错总结1.解题通用三步法（必考模板）一审题意：找出垂直关系，确定直角；二建模：画出直角三角形，标注已知边长、未知边长；三计算：代入勾股定理公式求解，检验结果合理性。2.四大必考经典模型①梯子滑动模型：梯子长度不变（斜边定值），高与底边长动态变化；②树木折断模型：折断部分为斜边，剩余树干、落地距离为直角边；③矩形折叠模型：折叠全等，边长相等，构造Rt△列方程；④立体最短路径：立体转平面，两点之间线段最短，勾股求值。3.高频扣分点①无直角不强行用定理，必须先找垂直或作辅助线构造直角；②立体图形未展开直接计算，路径判断错误；③混淆直角边与斜边，公式代入颠倒。情境导入
勾股定理（毕达哥拉斯定理）:
变式：
a2＝
c2－ b2,
b2＝
c2－ a2
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2
问题1：在数轴上分别画出表示3，﹣2.5的点.
4
3
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
问题2：求下列直角三角形的各边长.
1
？
2
1
？
2
3
？
3
﹣2.5
1
推进新课
我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数 和 的点？
4
3
2
1
0
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.
1
1
请你用同样的方法作 ， ， ， .
1
1
归纳小结
利用勾股定理表示无理数的方法：
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以直角三角形的斜边长为半径画弧找到与数轴的交点，即可在数轴上找到表示该无理数的点.
利用勾股定理，还可以帮助我们解决一些实际问题.
图中是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图. 假设梯子长4m，他将梯子靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5m.他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了0.5m，那么，梯子顶端是否也上移0.5m？（已知 ≈ 3. 71， ≈ 3. 87）
抽象成数学问题
解决实际问题
实际问题：
梯子顶端往上移动的距离.
A'
C'
C
A
B
墙面
地面
梯子
几何问题：
利用_________，
求_________的长.
勾股定理
AB，A'B
几何画
板.gsp
解：在 Rt△ABC 中，AC = 4 m，BC = 1.5 m，
因此 A′A = A′B－AB ≈ 3.87－3.71
= 0.16 (m).
即梯子顶端 A 点大约向上移动了 0.16 m，而不是向上移动 0.5 m.
A'
C'
C
A
B
在Rt△A'BC' 中，A'C′ = 4 m，BC' = 1 m，
例3 （古代数学问题）“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适与岸齐. 问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少？
几何画
板.gsp
A
B
B'
1 尺
5尺
C
解：如图，设水深 x 尺，则 AC = x 尺，
因为池塘的水面是边长为10尺的正方形，
在Rt△ACB' 中，根据勾股定理得，
52 + x2 = (x+1)2，
故芦苇长为 13 尺.
解得 x = 12.
答：水池的水深 12 尺，芦苇长为13尺.
AB = AB' = (x + 1) 尺.
所以 B'C = 5 尺.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
决解
归纳小结
知识点1 勾股定理与数轴
1.如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆
心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点 表示的
数是________.
（第1题）
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知识点2 勾股定理的应用
（第2题）
2.如图，为了测量湖的两岸点和点 之间的距离，
一个观测者在点设桩，使 ，并测得
长，长，则点和点 之间的距离
为( )
B
A. B. C. D.
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（第3题）
3.［2025长沙期中］如图，有一块长方形花圃，
有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出
了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了
花草.他们少走的路长为( )
B
A. B. C. D.
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（第4题）
4.［2025怀化期中］如图，小明和小华同时从 处分别向北
偏东 和南偏东 方向出发，他们的速度分别是
和，则后他们之间的距离为____ .
50
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（第5题）
5.［教材习题变式］如图，一棵高为 的
树被台风刮断.若树在离地面 处折断，树顶端
刚好落在地面上，则折断后树顶端离树底部___ .
4
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（第6题）
6.［2025株洲期末］如图，某自动感应门的正上方 处装着
一个感应器，离地距离 ，当人进入感应范围内
时，感应门就会自动打开.一个身高的学生 正对门，
缓慢走到离门的地方时，感应门自动打开，则
____ .
1.5
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（第7题）
7.如图，小明想知道学校旗杆的高度，他使一端系在旗杆
顶端的绳子自然垂落到旗杆底端，并在刚到旗杆底端处
的绳子上打了一个结，然后将绳子沿水平地面拉到离旗
杆底端 处，刚好拉直，发现此时绳子底端距离打结处
有，则旗杆的高度为___ .
8
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8.某条例规定：小汽车在城市道路上行驶时的
速度不得超过 .如图，一辆小汽车在一
条城市道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶
到路边的车速检测仪的正前方的 处，
过了后到达处，测得小汽车与车速检测仪间的距离 为
，请问这辆小汽车是否超速了？并说明理由.
解：这辆小汽车没有超速.理由：
在中，， ，根据勾股定理，得
.
所以小汽车的速度是 .
因为 ，所以这辆小汽车没有超速.
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课堂小结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
决解

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